一類矩陣方程的算法研究

崔曉梅，許 潔

(吉林化工學院理學院，吉林吉林132022)

本文研究矩陣方程

當t∈(0，1］時的Hermite正定解，其中A，B是n階非奇異復方陣，I是n階單位陣.A*表示共軛轉置.矩陣方程產生于控制理論、隨機過濾等領域［1］，近年來各種形式的方程被廣泛研究［1-4］，解的存在性條件、性質、迭代算法及其收斂速度是主要的研究內容.本文與文［5］都是迭代過程中避免求矩陣逆運算的自由逆變量迭代法，但本文方法運算速度較文［5］方法有所提高.

A＞0(A≥0)表示矩陣A是(半)正定矩陣，A＞B(A≥B)表示矩陣A－B是(半)正定矩陣.

1 主要結果

定理1［5］:若方程(1)有一正定解，且序列{Xn}，{Yn}由算法1決定，則 { Xn}單調下降且收斂于正定解XL.

算法2:

由上知不等式(2)對n≤1成立，假設(2)對n≤k 時成立，即

如下我們證明(2)當n≤k+1時成立.由引理2則

2 數值算例

通過數值例子對本文給出的迭代方法進行說明.所有的結果都在matlab7.1中運行得到.設殘差

算例:考慮方程(1)其中

任取t=0.2，分別用算法1和算法2進行計算得到

算法1迭代11次，R(X11)=2.555 9e-011;算法2迭代8次，R(X8)=5.558 9e-012.

任取t=0.8，分別用算法1和算法2進行計算得到

算法1迭代14次，R(X14)=2.677 5e-011;算法2迭代10次，R(X10)=7.0505e-011.

通過算例說明算法2比較算法1迭代速度更快.

［1］ A.M.Sarhan，Naglaa M.El-Shazly，Enas M.Shehata，On the existence of extremal positive definite solutions of the nonlinear matrix equationXr+I［J］.Mathematical and Computer Modelling，2010，51:1107-1117.

［2］ 廖安平，黃葉楠，沈金榮.矩陣方程的正定解X+.長沙大學學報，2009，23(2):

［3］ Xin-Guo Liu，Hua Gao，On the positive definite solutions of the matrix equationsXs± ATX－tA=In［J］.Linear Algebra and its Application，2003，368:83-97.

［4］ Jian-hui Long，Xi-yan Hu，Lei Zhang.On the Hermitian positive definite solution of the nonlinear matrix equationX+A*X－1A+B*X－1B=I［J］.Bull Braz Math Soc，New Series 2008，39(3):371-386.

［5］ 崔曉梅.一類矩陣方程的正定解研究［J］.吉林化工學院學報:自然科學版，2014，31(1):108-110.

［6］ M.Parodi，La localisation des valeurs caracterisiques des matrices etses Application［M］.Gauthiervillars，Paris 1959.

［7］ X.Zhan.Computing the extremal positive definite solutions of a matrix equation［J］.SIAM J.Sci.Comput.，1996(17):1167-1174.