具有時滯和HollingⅢ型功能反應的三種群捕食模型的全局漸近穩定性

官金蘭，房少梅

具有時滯和HollingⅢ型功能反應的三種群捕食模型的全局漸近穩定性

官金蘭1，房少梅2

（1.廣東農工商職業技術學院基礎部，廣東廣州510507；2.華南農業大學理學院，廣東廣州510642）

研究具有時滯和HollingⅢ型功能反應的一個捕食者兩個食餌的三種群捕食系統，通過構造Lyapunov函數，給出該系統全局漸近穩定的充要條件，最后用Matlab軟件對所得的理論結果進行數值仿真．

時滯；HollingⅢ型功能反應；Lyapunov函數；全局漸近穩定；數值仿真

捕食者—食餌系統是生態學中描述種群動力學的一類非常重要的模型，而帶有功能性反應函數的系統能更確切地描述實際的生態捕食情況，這方面已有一些很好的研究工作［1-5］.如文獻［1］研究了HollingⅡ型功能反應函數對一個捕食者兩個食餌的捕食系統的影響.由于HollingⅡ型功能反應函數是線性的，它只能描述類似藻類細胞動物和無脊椎動物這樣的簡單捕食系統，還要對系統的很多因素進行忽略，才能用線性函數來進行描述.為了能準確的描述實際生態捕食系統，文獻［4］引入HollingⅢ型功能反應函數：?(x)=ax2/ (a2+b2)，這是一個二次函數，它比HollingⅡ型功能反應函數能更好地描述實際的生態捕食系統，描述的捕食系統范圍也比較大，包括了脊椎動物在內的捕食系統.

在一個捕食者兩個食餌的捕食系統中，由于兩個食餌躲避捕食者的捕捉能力不一樣，所以每個食餌對捕食者的HollingⅢ型功能反應函數是不同的，與此同時，在生態系統中，時滯能更好地描述實際情況.

因此本文在一個捕食者兩個食餌的3種群Volterra型捕食模型［1］:

的研究基礎上，建立如下具有時滯和HollingⅢ型功能反應的一個捕食者兩個食餌的3種群捕食模型:其中xi(t)(i=1,2)分別表示兩食餌的種群密度，x3(t)表示捕食者種群的密度．τ1,τ2分別表示兩食餌種群x1(t),x2(t)負反饋引起的時滯，τ3為捕食者種群從幼年到成年的成熟期，而且捕食者種群只有到了成年后才具有捕食能力．ri,aij(i,j=1,2,3),α,β都為正常數，τ=max{τ1,τ2,τ3}．xi(t)(i=1,2,3)都是定義在區間［-τ,+∞)上的連續可微函數．本文主要研究系統（1）的正平衡點的全局穩定性．通過構造Lyapunov函數，證明得到該系統全局漸近穩定的充要條件，最后用Matlab軟件對所得的理論結果進行數值仿真．

1 預備知識

假設系統（1）滿足下列條件：

則存在T>0,對所有τ>T有：

其中，

由于系統（1）的3個種群的密度xi(t)(i=1,2,3)相互之間具有循環的相同類型的影響，因此本文約定集合?R+×R+×R+，其中={x∈R3|xi≥0,i=1,2,3}．

定義1函數V(N)稱為是連續時間生態模型：

（1）V(N*)=0,V(N)>0，當N≠N*時，其中N*為生態模型（2）的正平衡點；

（2）V(N)=k，對每一個正值K是一個閉的超曲面，且V(N)→∞，當N→0或VN→∞時［6］.

定義2對連續生態模型（2），如果存在上述定義的正定且無限大的V函數，使得V(N(t))<0，則稱生態模型（2）的正平衡點N=N*是全局穩定的［6］．

2 主要結果

引理1（解的存在性）系統（1）至少存在唯一滿足以下初始條件：

的解，這里φi(s)(i=1,2,3)均在區間［-τ,+∞)上連續可微．證系統(1)可以寫成如下的一個初值問題：

其中

則其對應的雅可比矩陣：

引理2如果系統（1）的初值恒大于零，則系統（1）的解一定為正解.

證設x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))是系統（1）的任意一組解，代入系統（1），由假設(H1),(H2),(H3)，m1,m2,m3,M1,M2, M3均大于零，且有：

然后在［0,t］上積分，有：

當t=0時，C1=C2=x1(0),C3=C4=x2(0),C5=C6=x3(0)，所以x1(t),x2(t),x3(t)均大于零．所以引理2成立．

定理1系統（1）存在正平衡點x*=(x1*(t),x2*(t),x3*(t))，且x*全局漸近穩定的充要條件是(H1),(H2),(H3)條件成立，且滿足：

證設x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t))是系統（1）的任意一組正解，根據(H1),(H2),(H3)和引理1，存在正的常數mi(i=1,2,3)，使對所有的t≥T，有：

構造Lyapunov函數［6］如下：

則V(t)沿著系統（1）的任意正解的右導數為：

令：

對（4）在［T,t］上積分，則有：(i=1,2,3)及其導數在［T,+∞］上有界，

所以系統（1）的任意正解是穩定的且是全局漸近穩定的．

3 數值仿真

利用Matlab求解微分方程（1）的數值解，設置方程的系數為：r1=2,a11=1,a12=2,a13=0.5,r2=2,a21=1,a22= 0.2,a23=0.1,r3=1,a31=0.5,a32=0.5,a33=0.2,α=0.5,β=0.5編寫Matlab程序運行，可以得到如圖1所示的密度分布圖及相圖．

從圖1中可以看出，經過一定的時間后，3個種群都達到平衡，x1(t),x2(t),x3(t)分別在x1(t)=0.812 2,x2(t)= 0.083 5,x3(t)=0.465 7處達到平衡．

圖1 三種群的密度分布圖和相圖

4 結論

生態種群之間在滿足一定的條件下，它們相互依存的數量變化最終都將趨于穩定，達到現實生活中的生態平衡．但影響種群達到平衡的因素很多，既有自然的因素，如環境的容納量和資源的數量有限等；也有人為的因素，如人類對環境的破壞會對種群的平衡產生很大的影響．所以，接下來的工作，就是要對系統（1）進行改進，把環境和人為的因素加以考慮，使之更符合實際的生態系統．

［1］程惠東,藏秀紅,張偉偉.具有HollingII類型功能反應的3種群捕食時滯模型［J］.數學的實踐與認識，2008，38(13)：130-133.

［2］王穩地.帶時滯的生態模型的漸近性態［J］.生物數學學報,1997，11(5):1-7.

［3］徐瑞,陳蘭蓀.具有時滯和基于比率的三種群捕食系統的持久性與全局漸近穩定性［J］.系統科學與數學,2001，21(4):204-212.

［4］陳蘭蓀．數學生態學模型與研究方法［M］．北京：科學出版社出版,1988.

［5］Wangersky P J,Cuningham W J.On time lage in equations of growth［J］.Proc Acad Sci USA,1956,4(2):6992-7002.

［6］陳菊芳,楊霞．生態系統中Lyapunov函數的構造［J］．生物數學學報，1996，11(3)：12-23.

［7］鐘益林，彭樂群，劉炳文．常微分方程及其Maple,MATLAB求解［J］．北京：清華大學出版社，2007．

On the three population predator-prey model with time delay and HollingⅢ-type functional response

GUAN Jin-lan1,FANG Shao-mei2
(1.Department of Basic Courses，Guangdong Agricultural Industry Business College，Guangzhou 510507，Guangdong,China；2.College ofScience,South China AgriculturalUniversity,Guangzhou 510642,Guangdong,China)

This paper studies the three population Predator-prey model with time delay and HollingⅢ-type functional response.By constructing Lyapunov function,it provides the sufficient condition for global asymptotic stability,and ituses Matlab software to simulate the theory result.

HollingⅢ-type functional response;time delay;Lyapunov function;global asymptotic stability; numerical simulation

O175.2

A

1007-5348（2014）04-0005-05

（責任編輯：邵曉軍）

2013-12-22

國家自然科學基金項目（11271141）.

官金蘭（1982-），女，廣東韶關人，廣東農工商職業技術學院基礎部講師，博士，主要從事生物數學模型與可視化方面的研究.