追不上烏龜?shù)拈L跑英雄

王娟

古希臘哲學(xué)家們曾討論過這樣一個(gè)話題：阿基里斯是當(dāng)時(shí)的一位長跑英雄，能否追趕上和他相距100米的烏龜。毋庸置疑，阿基里斯能在很短的時(shí)間內(nèi)追上烏龜。但愛利亞學(xué)派的代表人物芝諾卻提出了完全相反的意見。

他的推理是這樣的：假定賽跑開始的時(shí)候，烏龜在阿基里斯前方的100米，并假設(shè)阿基里斯的速度是烏龜爬行速度的10倍。當(dāng)阿基里斯跑了100米到達(dá)烏龜原來所在的位置時(shí)，烏龜又向前跑了10米。當(dāng)他再跑完10米去追趕烏龜時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜還在他前面1米。他再跑1米，烏龜還在他前面10厘米。如此下去，他似乎只能一次次到達(dá)烏龜所經(jīng)過的地點(diǎn)，而永遠(yuǎn)追不上烏龜。

芝諾的推論看似荒謬，但從純數(shù)學(xué)的角度來看，芝諾的推論卻沒有任何問題，因?yàn)槿魏蝺牲c(diǎn)之間都有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，根本無法逾越。這一現(xiàn)象告訴我們：無限并不遙遠(yuǎn)，有限之中蘊(yùn)含著無限。

如果讓人計(jì)算無窮數(shù)列S=1-1+1-1+1-1……的結(jié)果，很多人會說，結(jié)果是0，因?yàn)槊績身?xiàng)一組，每一組都是0，無窮個(gè)0相加，結(jié)果自然是0；也有人會說，結(jié)果應(yīng)該是1，因?yàn)榘训谝豁?xiàng)獨(dú)立出來，后面每兩項(xiàng)一組，每一組都是0，1與無窮個(gè)0相加，結(jié)果自然是1；還有人說，結(jié)果應(yīng)該是1/2，因?yàn)樯厦娴牡仁娇梢愿膶懽鱏=1-（1-1+1-1+1-1……）=1-S，移項(xiàng)后得出S=1/2。

這三種結(jié)果似乎都有道理。但是，根據(jù)現(xiàn)代無窮級數(shù)理論，這個(gè)式子沒有結(jié)果。因?yàn)槿藗兞?xí)慣了1+1=2這類精確數(shù)學(xué)，卻不知道數(shù)學(xué)中的確存在沒有結(jié)果的“無限”算式。