基于城市區域發展的勞瑞模型動態改進

王力生，帥 斌

(西南交通大學 交通運輸與物流學院，四川 成都 610031)

集聚效應是城市經濟發展過程中表現出來的企業和人口集中化現象，有利于提高資源和公共物品的配置效率以及降低生產成本[1]。與此同時，城市土地資源作為一種不可再生的生產要素，其價值會隨著不同區位的集聚程度而變化。城市居民和廠商根據不同的集聚效應和土地價值進行選址活動，引起城市空間布局的內部調整和外表擴張現象[2]。隨著我國經濟產業結構調整，傳統的制造業開始遠離市中心向城市外圍或其它地區遷移，以金融、商業和服務業為代表的第三產業逐漸成為大城市的主導產業。城市中心區土地價值的持續升值，也迫使人口居住地向郊區擴張，造成居住地和就業場所日益分離[3]。因此，研究城市區域經濟發展對人口和就業等空間布局的作用機理具有重要意義。

勞瑞模型是交通規劃中研究土地利用的基礎模型，由美國交通學者勞瑞于1964年研究匹茲堡交通規劃問題時提出。其最主要的價值在于用數學方法探討了十分基礎的城市就業和人口分布等問題，使與之相關的城市土地利用和區位理論得以定量化研究。勞瑞模型作為研究交通規劃問題的基礎模型，從它提出開始就得到了許多學者的研究改進，其中最主要的兩個方向是對模型的動態改進和經濟改進[4]。動態改進主要指在城市發展過程中，基礎產業發生變化如何引起人口分布的變化；經濟改進則研究如何確定基礎產業與服務產業之間的關系。筆者通過對原始勞瑞模型、Garin矩陣改進模型以及Rogers動態改進模型基本思想的研究，在Rogers動態模型基礎上，引入種群生長模型模擬城市區域基礎產業發展，提出在城市土地和人口等資源限制條件下，區域經濟發展對人口和就業布局的影響模型。

1 勞瑞模型及其改進形式

1.1 原始勞瑞模型

原始勞瑞模型[5]的基本思想是：將研究區域劃分為若干個小區，每個小區存在一定已知數量的基礎產業(如市政部門、學校和工廠等)，基礎產業帶來就業數量并引起就業人口在研究區域的分布(理解為不同小區的人口數量)；另一方面，基礎產業就業人口產生對服務業的需求，引起服務產業在研究區域的分布，服務產業同樣會帶來就業增加，并形成新的人口分布，因此，最終的人口和產業分布產生于上述“循環過程”的均衡或在人口和土地限制條件下的極限情況。

為求解模型，勞瑞給出的算法思路[6]是將小區的就業數量看成該小區的吸引力函數，而人口分布則表示為小區就業數量和吸引力的函數，通過一次迭代計算可求出一個人口及就業分布，并對計算結果進行是否滿足人口和土地等限制條件的檢驗，直到求出滿足限制條件的最優解(即最大人口和就業分布)。

通過以上分析，不難發現原始勞瑞模型存在以下兩個最為突出的問題：

1)勞瑞模型在求解過程中并不考慮土地和人口等限制條件約束，而是對計算結果進行檢驗，因此求出的解有可能部分滿足限制條件(即有的小區滿足人口和土地限制，而另外的小區不滿足)，這種情況下模型無解；另一方面，每進行一次迭代計算，都要對結果進行檢驗，這將是十分繁瑣的；

2)勞瑞模型只是解決了一定已知基礎產業分布條件下的最終人口和就業分布情況，這實際上是一個靜態的過程，因為城市經濟和人口的增長必然會引起基礎產業的變化，由此引出勞瑞模型的動態改進形式。

1.2 勞瑞模型改進形式

R.A.Garin[7]在原始勞瑞模型的基礎上，引入向量描述人口和就業分布，并通過矩陣表達勞瑞模型中的函數關系，這樣勞瑞模型的迭代計算過程變為矩陣的計算，從而使模型大大簡化。值得注意的是，Garin模型并未改變勞瑞模型的“靜態”屬性，其收斂條件的確定來源于級數求和的數學證明，未考慮實際的土地和人口限制條件。

與本文密切相關的是Rogers 模型，由A.Rogers[8]在Garin模型的基礎上引入增長矩陣G進行動態建模。基本思想是：給定一個基礎產業增長矩陣G，引入時間變量t，建立基礎產業與時間t的函數關系，從而對于不同的時間t，可求出相應的人口分布。模型的終止條件是迭代過程產生人口和時間t的線性關系，表示人口達到穩定增長狀態；同理，對于就業也可建立相應的迭代關系，求得就業增長率，由此Rogers通過該模型分析了人口和就業之間的關系。但是，Rogers 模型仍存在許多亟待修改的問題：首先，模型中基礎產業增長矩陣G是人為給定的并且與時間t無關，與實際情況并不相符；其次，人口按穩定的速率增長意味著人口無限的增多，勢必違反勞瑞模型中人口和土地的限制條件。對上述兩個問題的深入探討，是筆者提出動態改進模型的基礎。

2 改進模型

2.1 改進模型的出發點

針對上述各個模型存在的問題，提出勞瑞模型的另一種動態改進模型，主要從以下3個方面考慮：

1)如何將原始勞瑞模型中的限制條件通過模型本身的約束條件表示出來，使模型求得的解一定符合人口和土地因素等限制；

2)如何確定與時間相關的動態增長矩陣，反映城市區域經濟隨時間發展的情形；

3)對模型的邊界值即穩定狀態探討，保證模型的解一定是滿足約束條件的最優解。

2.2 改進模型

首先，將研究區域劃分成n個小區，對每個小區編號1，2，…，n；那么時間為t時的基礎產業分布可表示為：

(1)

按照Garin模型中的結論[7]，一定的基礎產業分布最終會決定相應的人口分布Pt和就業分布Et，它們滿足關系：

(2)

(3)

這里著重探討一下矩陣A，B的含義與計算問題。矩陣A可看成就業-人口生成矩陣，表示由就業引起人口分布的“生成關系”(參考式(3)的第1個等式)，具體計算公式為：

A=[aij′][ai]

(4)

式中：[ai]表示對角矩陣diag(ai)，其元素ai表示i小區就業人口占總人口的比重；矩陣[aij′]的元素aij′表示“到家旅程函數”(a journey to home function)[7]。

不同的構造會產生不同的迭代結果，這里將“到家旅程函數”表述為在小區i工作的人口居住在小區j(j=1，2，…，n)的概率，計算方法參照Logit模型的解法[5]，選取距離、土地價格、就業崗位等因素xk(k=1，2，…，m)建立效用函數：

(5)

值得注意的是，Garin模型求得的解有可能不滿足約束條件，原因在于效用函數中參數xk的不同取值會造成不同小區人口和就業分布的變動。一個明顯的事實是，如果xk中考慮j小區的擁擠情況的話會使結果滿足人口和土地限制條件。

同理，矩陣B可看成人口-就業生成矩陣，表示一定的人口分布產生相應的服務需求，計算過程同A，那么B的計算表示為：

B=[bij′][bi]

(6)

(7)

從另一個角度考慮，基礎產業的增長，一方面受規模效應的影響，即開始階段由于產業配套設施和產能等尚未完善，發展比較緩慢；隨著建設發展，規模效應逐漸顯現出來，增長速度變快；最后，區域發展完善，土地和人口限制作用表現出來，經濟達到飽和狀態，增速放緩。因此可考慮用種群生長模型對其進行模擬，即：

(8)

式中：λ表示增長系數矩陣。

就其計算方法而言，一般應通過實際調查，收集城市不同區域基礎產業和社會經濟發展等數據進行線性回歸求解[9]，使計算結果盡可能擬合實際情況；M表示n維對角方陣，其對角線上的元素由每個小區的基礎產業用地限制與該小區基礎產業數量之差。化簡得：

(9)

式中：E(l)b表示基礎產業最大分布向量，其計算通過式(12)給出。

聯立式(7)和式(9)得：

(10)

(11)

式中：X，Y，Z為對角矩陣，元素分別表示基礎產業、服務產業和單位人口的用地面積；S，Su分別表示區域總面積和不能利用的土地面積。

因此，E(l)b的求解表述為以下線性規劃問題：

MaxE(l)b

s.t.E(l)bX+E(l)b(I-AB)-1Y+

E(l)b(I-AB)-1AZ≤S-Su

E(l)b≥0

(12)

通過上述模型，可解出3個變量Gt，Et和Pt。其中：Gt反映了不同小區基礎產業的增長率，也即區域經濟發展的速度；Et和Pt則分別反映城市隨著時間t不斷變化著的人口和就業分布。

2.3 算 法

由上述模型分析可知，該模型算法本質上是一個迭代過程，表述如下：

Step 3：判斷t≤T，若是則轉Step2，否則轉入Step4；

Step 4：終止算法，輸出Et，Pt，Gt。

值得注意的是，A，B為實際調查數據計算的結果，與其它輸入無關，因此作為已知數據給出；λ在模型中采取近似算法，參考式(13)；T為給定時間長度，可理解為規劃年限，當T趨向于無窮大時，可計算模型的邊界人口和就業分布。

3 算 例

式中：tij表示從小區i到j的距離，且tij由下述矩陣給出(注：tij=tji，表中沒有列出)。

表1 小區距離數據Table 1 Distance data between zones

(續表1)

1234567891042．006．0010．505．366．009．0010．7251．504．5011．363．006．007．7262．0015．226．683．863．8672．008．3611．3613．0882．003．004．7291．501．72102．00

矩陣[a]中對角元素取值為5，[b]中對角元素取值為0.2。

初始條件：

E(o)b=[4 500,5 000,3 000,2 500,3 500,

9 000,3 000,2 000,3 000,4 000]

土地限制矩陣S-Su取為行向量s(數據單位：km2)：s=[18,22,16,15,20,30,15,17,19,20]

X，Y，Z矩陣分別取對角元素為10，3，1的對角矩陣(數據單位：m2)。

由式(12)可求出各小區基礎產業限制向量E(l)b：

E(l)b=[8 746,11 513,6 028,6 196,8 789,

17 369,7 485,6 746,8 620,9 939]

對于系數矩陣λ的計算，在本模型中采用式(13)近似計算：

λ=diag((E(l)b-E(o)b)./[E(o)b(E(l)b-

(13)

在MATLAB R2011a環境下，對模型進行了模擬求解：

1)取增長系數矩陣λ=λ1,λ2,λ3對模型進行模擬，討論不同系數矩陣對模型收斂的影響(此時最佳增長系數矩陣λ1取值參考式(13)且取T=10)。

λ1=diag(0.222 2,0.2,0.333 3,0.4,0.285 7,0.111 1,0.333 3,0.5,0.333 3,0.25)×10-4

λ2=diag(0.3,0.4,0.3,0.5,0.3,0.4,0.3,0.2,

0.3,0.4)×10-4

λ3=diag(0.3,0.4,0.3,0.5,0.3,0.4,0.3,0.2,

0.3,0.4)×10-5

圖1表明在增長系數矩陣λ取最佳值時(即λ=λ1)各小區基礎設施建設發展比較穩定，且以正常速度收斂于限制曲線；若增長系數矩陣λ取值過大(即λ=λ2)，雖然收斂于限制曲線的速度較快，但是各小區發展不平衡；若增長系數矩陣λ取值過小(即λ=λ3)，則以較慢的速度收斂于限制曲線。

圖1 不同增長系數矩陣下的基礎產業隨時間變化情況Fig.1 Basic-industry variation with time underdifferent growth factors

2)為敘述的簡便，只給出小區j=1在上述模型下人口的長期形態，并檢驗其是否收斂于一個極限值，其它小區人口極限分布同理可求。

由圖2可知，在t﹡=6時人口基本上達到極值41 357，值得注意的是，理論上達到極值點對應的時間t﹡應該等于確定最佳增長系數矩陣λ所取的時間t。圖2中t﹡≠t(t=10)，主要是由繪圖時人口數量坐標軸坐標間隔太大造成的。

圖2 人口隨時間變化Fig.2 Population variation with time

3)考慮增長矩陣Gt與時間的關系，確定各個時期的基礎設施建設速度，為繪圖的方便，在不影響結果的情況下把增長矩陣Gt轉換為向量。

由圖3可以看出兩個明顯的規律：①隨著時間的增加，增長矩陣取值越來越小，表明就長期而言，基礎設施總量上逐步增加，但增速逐漸變慢；②增長矩陣(向量)曲線越來越平，說明就長期而言，各小區逐步開發完善，人口和土地等得到充分利用。

圖3 增長矩陣隨時間變化Fig.3 Increasing matrix variation with time

4 結論及展望

從算例的模擬結果來看，最終就業分布Et和人口分布Pt較好的滿足了原始勞瑞模型中有關人口和土地的限制條件，并給出了動態增長矩陣Gt的算法及其現實含義：即城市經濟發展過程對不同區域基礎設施的投資應該具有怎樣的規律，以便達到城市總體發展均衡性的要求。但是，有關模型中參數的計算還值得進一步研究，如增長系數矩陣λ最佳值的求解，一般而言要通過搜集實際數據做回歸分析，算例中只提供了考慮時間因素的近似算法。

在實際的城市發展過程中，包含兩個方面的內容：①對既有的區域進行結構調整(如居民區重建、產業搬遷等)；②進行城市擴張，實現多區域中心發展。對于結構調整而言，本模型可用于分析調整前后人口和就業的分布情況；對于城市擴張，本模型可用于研究新區投資對人口和就業的吸引。

本模型的建立可以看成兩個過程：①人口和就業的產生；②人口在空間的分配。其中人口和就業的產生是一個自增長的過程，即一定的人口需求產生一定的就業崗位，就業又會引起新的人口增長。人口在空間的分布通過構建Logit模型，給出人口對居住區域選擇的概率分布。因此，為使模型更好的模擬現實城市區域發展與人口、就業分布情形，需要對人口和就業生產模型及人口分配模型進行更加深入的研究。

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