形心軸附加彎矩對四周布筋混凝土墩柱整體受力的分析

王 軍，劉少乾，蘇文明，鄭 罡

(1.重慶交通大學 土木建筑學院，重慶400074；2.招商局重慶交通科研設計院有限公司，重慶 400067)

0 引 言

地震是人類面臨最嚴重的自然災害之一。縱觀20世紀70年代以來世界各地多次大地震對橋梁造成的破壞情況，可以清楚地發現，很大一部分橋梁的破壞都與橋墩的破壞有關，如：墩頂位移預計不足而導致的落梁以及墩身、墩底結點位置開裂。所以，橋墩在地震作用下的性能是橋梁結構抗震研究的重要內容之一。

在實際工程中對于常見的單柱式橋墩在地震力作用下的性能分析，目前，學術上常采用的受力簡化模式是[1-4]：墩頂受到來自于橋梁上部結構自身重量所產生的軸壓力N以及由于地震作用引起的墩頂水平慣性力F的共同作用，且忽略墩身的質量、地震豎向慣性力以及墩頂位移引起的P-Δ效應，同時墩身各截面的彎矩沿墩高呈直線分布，如圖1。

圖1 橋墩受力示意Fig.1 Force diagram of bridge pier

由于混凝土材料的抗拉強度較小且其在受力過程中主要承受壓力，因此在實際工程中，對于常見的鋼筋混凝土橋墩，當其受到由地震作用產生的水平力作用時，在靠近墩以及墩身的部分截面，由于受拉區內的拉應力大于混凝土的抗拉強度而產生開裂，導致截面不再是開裂前的完整截面，開裂截面的中性軸和形心軸都將向受壓區發生偏移、截面有效抗彎剛度減小。此時，對于墩身開裂截面，作用于墩頂的軸向壓力N不再是位于截面形心軸上，而仍是位于截面開裂前的形心軸上，故軸向壓力N會對開裂截面產生偏心受壓的影響，并對開裂截面產生附加彎矩作用，該彎矩稱之為形心軸附加彎矩。

1 模型簡化

圖2 鋼筋混凝土墩柱受力形式示意Fig.2 Force diagram of reinforced concrete pier

對于常見的鋼筋混凝土構件，在彈性范圍內可做以下3個基本假定[6]：

1)平截面假定，即受彎之前的正截面在受彎后仍保持為平面，同時忽略剪切變形與滑移變形；

2)混凝土的抗拉強度為0，即混凝土受拉后立即開裂；

3)鋼筋與混凝土均為理想的線彈性材料。

為了便于推導、分析，根據變換截面法[7]，可將構件中截面的鋼筋換算成與混凝土彈性模量相同的變換截面，且在推導過程中忽略混凝土保護層厚度的影響。于是，四周布筋混凝土墩柱截面的受力情況可簡化如圖3，圖中：εt表示截面受拉鋼筋邊緣的拉應變；εp表示截面受壓鋼筋和混凝土邊緣的壓應變；Nst表示受拉鋼筋的拉力；Nsp、Ncp表示受壓區鋼筋與混凝土的壓力；e表示水平力作用前、后形心軸偏移的距離。

圖3 開裂截面受力示意Fig.3 Force diagram of the cracking section

當墩頂只有軸向力N作用時，此時墩身的各個截面都處于全截面受壓狀態，且墩身所有截面的形心軸都與截面的幾何中心軸重合。當墩頂同時有軸向力N和水平力F作用時，靠近墩底區域的部分截面將在受拉區邊緣出現拉應力，根據第2)條假定，墩底的部分截面一旦出現拉應力，截面內的混凝土即開裂，截面開裂后受拉區的拉應力完全有受拉鋼筋承擔，墩身截面開裂后，開裂截面的形心軸、中性軸將同時向受壓區偏移。

2 理論推導

形心軸附加彎矩是由于靠近墩底區域的部分截面開裂、形心軸向受壓區偏移引起的。為此，在分析形心軸附加彎矩對墩柱受力和整體剛度的影響之前，先對形心軸偏移情況進行分析。

2.1 開裂截面形心軸偏移分析

對于簡化后的混凝土墩柱構件，任取墩身截面進行分析，當墩頂只有軸向力N作用時，截面處于全截面受壓狀態，由截面形心軸兩邊的靜矩相等可知其形心軸位于截面的幾何中心軸上，如圖4(a)；當墩頂在軸向力N與水平力F共同作用時，靠近墩底區域的部分截面受拉后開裂，此時截面的形心軸向受壓區偏移，如圖4(b)。

圖4 截面形心軸偏移示意Fig.4 Diagram of deviation of center axis at the cross-section

2.2 截面平衡方程

根據圖3的截面示意以及力學理論，截面受拉鋼筋的拉力Nst、受壓鋼筋的壓力Nsp、受壓混凝土的壓力Ncp的表達式如式(1)：

(1)

截面的平衡方程如式(2)：

(2)

截面的變形協調方程如式(3)：

(3)

2.3 形心軸沿墩高方向分布

根據式(2)可推導出忽略混凝土保護層厚度時截面的受壓區高度與墩高的關系方程，如式(4)：

(4)

整理后可得：

(5)

對于式(5)，當c=h時，可求得全截面受壓沿墩高的高度z0，即：

(6)

對于給定參數的四周布筋混凝土墩柱，在墩頂水平力F與軸壓力N共同作用下，墩柱中性軸沿墩高分布如圖5。

圖5 截面受壓區高度沿墩高分布示意Fig.5 Diagram of the cross-section force distributing along with the pier

對于墩身任一開裂截面，運用截面形心軸兩側的面積矩相等的原理，可求得偏心距與受壓區高度存在如式(7)關系：

(7)

式(7)關于c求導并簡化后得：

(8)

當墩頂在軸向力N與水平力F共同作用時，根據圖3中e和c的關系有：

(9)

將式(7)帶入式(9)得：

(As1+2ρh)(h-2c)-bc2<0

(10)

將式(10)帶入式(8)可知e′<0，即函數e是關于變量c的單調減函數。

當墩高趨于無窮大或水平力很大時，式(4)可化簡為：

bc2+(2As1+4ρh)nc-nAs1h-2nρh2=0

(11)

此時，墩底截面受壓區高度趨于最小值c0，即：

c0=

(12)

將式(12)帶入式(7)可得墩底截面形心軸偏移距離為：

(13)

根據圖3，墩底截面偏心距e0與受壓區高度c0的關系為：

(14)

將e0，c0帶入式(14)可得：

d≠0

由分析過程可知，當墩高很高或水平力很大時，墩底截面的形心軸與中性軸位于同一位置；對于墩身開裂截面以上的未開裂截面，其截面的形心軸與截面的幾何中心線位于同一位置。因此，由式(7)的單調關系以及墩底截面、墩身開裂與未開裂兩個邊界條件可以畫出橋墩在水平力F與軸壓力N共同作用時墩柱開裂區形心軸沿墩高的分布曲線，如圖6中的e=f(c)曲線。此時，開裂截面由于偏心距的存在，軸壓力與開裂截面的偏心距產生附加彎矩，該附加彎矩對整個墩柱的受力和變形都會產生一定的影響。

圖6 形心軸沿墩高分布及彎矩示意Fig.6 Diagram of center axis distributing along with the pier and bending moment

3 外力彎矩沿墩高方向分布

對于鋼筋混凝土墩柱構件，當墩頂受到軸壓力N和水平力F共同作用時，軸壓力N和水平力F均會對墩柱產生彎矩[8]影響。

對于墩頂水平集中力F，其引起的彎矩為MFi=Fzi，MFi沿墩高呈線性分布， 如圖6。對于墩頂軸壓力N，其引起的彎矩為MNi=Nei，由于開裂截面的形心軸沿墩高呈曲線分布及軸向壓力N為常量，故MNi沿墩高呈曲線分布，由式(13)可知，墩底截面由軸向壓力N引起的附加彎矩近似為一常量Ne0，且形心軸附加彎矩的方向與集中力F引起的彎矩方向相反，具體曲線分布如圖6。

作用于混凝土墩頂的水平力F大小不同時，墩身的開裂程度不同，開裂截面的中性軸和受壓區高度分布也不同。不同大小的水平力F作用下，墩柱的開裂以及總體彎矩分布情況是不同的,在水平力為F1

圖7 不同大小水平力作用下墩柱開裂及彎矩分布示意Fig.7 Diagram of the pier cracking and bending moment with different horizontal forces

從圖7可知，四周布筋的混凝土橋墩所受外力彎矩M隨著墩頂水平力的增加而增大，且在墩身截面開裂區段顯曲線分布。形心軸附加彎矩在一定程度上能夠抑制墩身的變形。

4 形心軸附加彎矩對橋墩整體剛度影響

為使得分析結果簡單明了，該部分以一個具體的四周布筋的矩形混凝土橋墩為例，對其截面剛度特性以及橋墩的整體剛度進行分析。橋墩受力模式簡化后如圖2，其中，墩高H=12 m，截面寬度b=1.5 m、高度h=2.0 m，經截面換算后的縱向鋼筋總面積As=0.3 m2，截面上下(沿截面高度方向)兩側鋼筋的變換面積As1=0.13 m2，截面左右(沿截面寬度方向)兩側鋼筋的變換面積As2=0.17 m2、鋼筋的寬度ρ=0.043 m，鋼筋四周對稱布置，軸壓比μ=0.2，材料采用C30混凝土，其抗壓強度設計值fcd=13.8 MPa，彈性模量Ec=3×104MPa；縱向鋼筋采用HRB335鋼筋，彈性模量Es=2×105MPa。為便于計算分析，水平力的加載模式采用集中力單向加載，墩頂水平力F由0逐漸增加的過程中，當墩底截面縱向邊緣受拉鋼筋應變εt=0.002時即發生屈服，以鋼筋屈服為界，分析其在屈服前的受力特性及截面剛度、整體剛度的變化情況。

經計算，當墩底縱向受拉鋼筋的應變εt=0.002時，墩柱開裂截面的受壓區高度的分布曲線以及截面形心軸沿墩高的分布曲線如圖8，墩柱在不考慮P-Δ效應的情況下總彎矩分布如圖8。

圖8 橋墩開裂及彎矩分布Fig.8 Diagram of the pier cracking and bending moment

在分析該混凝土墩柱的整體剛度之前，先對墩柱的變形進行分析，當不考慮形心軸附加彎矩的情況下計算出墩頂的位移；當考慮形心軸附加彎矩影響時計算出墩頂位移，得到如圖9的水平力-位移曲線。

圖9 橋墩墩頂水平力-位移曲線Fig.9 Diagram of force-displacement curve of the horizontal force at the top of bridge pier

由圖9可知，在墩頂最大水平力作用下，不考慮形心軸附加彎矩情況下的墩頂位移明顯大于考慮形心軸附加彎矩情況下的墩頂位移，這說明混凝土墩柱此時有一定的位移儲備。換句話說，在墩頂承受相同的位移時，考慮形心軸附加彎矩比不考慮形心軸附加彎矩能承受更大的水平力。經計算，考慮形心軸附加彎矩的墩頂位移與不考慮形心軸附加彎矩時的墩頂位移之差約占不考慮形心軸附加彎矩情況下墩頂位移的20%。圖9曲線上任意一點的割線斜率即為該墩的整體剛度，將兩種情況下的割線斜率繪制成如圖10的墩柱整體剛度變化曲線。

圖10 橋墩歸一化割線剛度變化Fig.10 Diagram of normalization secant stiffness of the bridge pier

從圖10中可以看出，當橋墩有水平力F與軸壓力N共同作用時，混凝土墩柱由于墩身的截面開裂而使混凝土墩柱的整體剛度明顯下降，且當考慮形心軸附加彎矩時，混凝土墩柱整體剛度的退化比不考慮形心軸附加彎矩時要緩一些，即形心軸附加彎矩具有減緩混凝土墩柱整體剛度退化以及抑制截面開裂作用。

5 結 論

四周布筋混凝土墩柱在墩頂水平力和軸壓力的共同作用下靠近墩底區域的部分截面開裂，軸向力引起的形心軸附加彎矩對混凝土墩柱的受力和變形都有一定的影響。通過理論分析、推導及具體實例的計算，得到如下結論：

1)當計入形心軸附加彎矩對墩柱的影響時，墩柱的總彎矩在靠近墩底的截面開裂區域呈曲線分布，而不再是直線分布。

2)形心軸附加彎矩具有減緩混凝土墩柱整體剛度退化以及抑制截面開裂作用，與不考慮形心軸附加彎矩影響的混凝土墩柱相比，考慮形心軸附加彎矩可使四周布筋的混凝土墩柱構件承受更大的水平力。

3)在水平推力一定的條件下，考慮形心軸附加彎矩時的墩頂位移小于不考慮形心軸附加彎矩時的位移，說明混凝土墩柱此時有一定的位移儲備。因此，建議在相關的抗震研究分析中考慮形心軸附加彎矩對墩柱變形的影響。

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