考慮瞬時脫離的列車作用下橋梁振動分析

楊宏印，張海龍，陳志軍，黃 雯

(1.華中科技大學 土木工程與力學學院，湖北 武漢 430074；2.中鐵大橋局集團 武漢橋梁科學研究院有限公司，湖北 武漢 430034)

0 引 言

車輛的振動會引起橋梁的振動，而橋梁的振動亦會引起車輛的振動，近年來，隨著鐵路和公路交通中行車速度的不斷提高及車輛荷載的不斷增大，車-橋耦合相互作用一直是人們普遍關注的問題。車-橋耦合分析要建立兩組動力方程，即車和橋的動力方程，通過車輪與橋的相互關系耦合起來。而車輪和橋的相互作用是一個高速移動接觸-碰撞-滑移非線性過程，通常都被簡化為力和位移的協調[1-2]，即基于車輪密貼假設。分析車-橋耦合動力響應主要分為兩種方法：解析法和數值法。前者僅能計算移動力(集中力、連續力)作用下簡單結構的動力響應[3-4]。而對于后者，有限元是被廣泛采用的方法之一[5-6]。各國學者提出了各種不同車-橋相互作用單元，但都基于車輪密貼假設。然而在脈沖型不平順或車輛速度非常高等情況下，存在車輪瞬時脫離[1]，故車輪密貼假設存在以下不足[7]：忽略了車輪脫離現象；車輪沒有獨立豎向自由度；時變的動力方程矩陣使求解計算量增大；發生脫離時很難得到正確的結果。

筆者先視車輛和橋梁為兩個獨立的動力系統，研究了移動車輛作用下車輪與橋梁的接觸關系，采用非線性Hertz彈性接觸理論[8]，并從各子系統動力方程出發，推導了考慮車輪瞬時脫離和不平順的車-橋相互作用單元動力方程。然后視車輛-橋梁為整體系統，將列車編組，應用形成矩陣的“對號入座”法則建立了系統動力微分方程。采用Newmark-β方法逐步積分求解，不需迭代，能同時準確獲得車輛和橋梁的動力響應。最后應用所提出的方法對現有鐵路橋梁進行了分析，討論了車-橋共振現象，并研究了脈沖型不平順對動力響應的影響，得到了一些有益的結論。

1 車-橋耦合系統方程的建立及求解

圖1描繪了列車過橋時耦合系統模型，將列車模擬為一系列作用在車軸處的移動質量-彈簧-阻尼系統以簡化計算，Mv，Mw分別為車身和車輪質量，kv，cv分別為車身和車輪間懸架的剛度和阻尼；橋梁簡化為長度為Lb，單位長度質量為mb，抗彎剛度為EbIb的Euler-Bernoulli簡支梁，采用Rayleigh阻尼。

圖1 列車過橋時耦合系統模型Fig.1 Vehicle-bridge coupling system model

1.1 車輛-橋梁耦合單元動力方程推導

將車輛和橋梁視為兩個獨立的子系統，通過其間接觸力耦合。由于車輪與梁間只能承受壓應力，而不能承受拉應力，是一個典型的單面約束接觸問題[9]。采用非線性Hertz彈簧來模擬這種接觸關系，設其切線壓縮剛度為kH，拉伸剛度為0，車輪與橋梁間距離為yin，且為方便計算和推導，引入參數a，使接觸剛度可統一表示為akH，則接觸力fin為：

fin=-akHyin

(1)

式中：yin≥0時，a=0，表示車輪發生脫離；yin<0時，a=1，表示車輪未脫離。

而由非線性Hertz彈性理論可知接觸力為：

(2)

式中：CH為Hertz接觸彈簧常數，與材料及車輪半徑有關。

將式(2)求導得Hertz接觸彈簧切線剛度：

將車輛作用看為一系列的外部激勵荷載，則橋梁振動的偏微分方程可表示為：

(3)

采用有限元方法將整個橋梁離散，考慮不平順r(x)的影響，并沿梁長每個單元對式(3)進行加權積分，則共有兩種橋梁單元：無車輛作用的普通梁單元，其振動方程可由結構動力學直接寫得[10]；有車輛作用的耦合單元，如圖2，其動力方程為：

(4)

Hermite3次插值形函數為：

圖2 車-橋耦合單元模型Fig.2 Vehicle-bridge coupling element model

車輪和橋梁間距離為：

yin=[y1-yb-r(x)]x=xi

(5)

而梁單元位移可表示為：

(6)

車輛動力方程為：

(7)

聯立式(1)和式(4)～式(7)可得圖2所示的考慮車輪瞬時脫離和不平順的耦合單元動力方程：

(8)

1.2 車-橋耦合系統方程組裝及求解

將所要計算車輛編組，運用形成矩陣的“對號入座”法則[11]組裝所有普通梁單元和耦合梁單元方程，得到整個系統的動力方程，其分塊表達式為：

(9)

式中：下標b和v分別代表與橋梁和列車相關的項；下標c表示由接觸而產生的項。

式(9)為2階時變微分方程，而由前面推導可知，只有矩陣[Kbv]，[Kcb]和[Kcv]及向量[Fcb]和[Fcv]是時變的，而其他項均是時不變的。故在求解時可先由式(8)組裝時不變部分，作為初始方程，然后在每個積分步根據時間疊加時變部分便可得到系統動力方程，采用Newmark-β方法直接積分求解，不需迭代。而非線性Hertz彈簧剛度可根據前一積分步的相對壓縮距離求得其切線剛度而作為下一積分步的線性剛度。由于文中考慮了車輪瞬時脫離，即a=0，脫離后，整個系統解耦為兩個獨立的動力系統，使得整個系統呈現很強的非線性，脫離發生臨界時刻的準確性對整個系統求解的精度有很大的影響，筆者采用自動半步長方法來準確尋找脫離發生臨界時刻，設精度為ε，具體求解步驟如下：

1)按a=1逐步算得下一時刻系統的反應及yin，直至ti時刻yin>ε；

2)回到ti-1時刻，且取上一時間步長的一半重新計算ti時刻系統的反應及yin，直至yin≤ε；

3)按a=0逐步算得下一時刻系統的反應及yin，直至ti+k時刻-yin>ε；

4)回到ti+k-1時刻，且取上一時間步長的一半重新計算ti+k時刻系統的反應及yin，直至yin≤ε，回到步驟1)，再向后進行。

2 列車作用下橋梁動力響應分析

以現有鐵路線上大量使用的32 m標準跨簡支箱梁橋為分析對象，考慮車輪瞬時脫離和不平順，編制了相應MATLAB計算程序，研究圖1所示列車過橋時耦合系統的動力響應。橋梁參數如下：Eb= 34.5×109Pa，Ib=11.1 m4，mb=43 628 kg/m，Lb=32 m，阻尼比ξ=0.025。車輛模型參數如下[12]：Mw=5 000 kg，Mv=24 000 kg，軸距Lc=18 m，kv=1.5×106N/m，cv=8 500 Ns/m，車輛間距Lv=24 m。

2.1 不同車輛模型對橋梁動力響應的影響

忽略不平順的影響，分別用圖1所示列車模型和將列車重量轉化為軸重的移動力模型對列車過橋進行對比分析，以研究兩種模型所產生的影響。

橋梁跨中最大位移響應對比見圖3(a)，由圖可見所得結果和速度并沒有很好的相關性；兩種模型所得結果基本一致，但400 km/h時(接近共振速度)，移動力模型響應大于列車模型，與文獻[13]結果一致，即共振速度下移動力模型所得結果偏于安全。橋梁跨中最大加速度響應對比見圖3(b)，同位移響應類似，在200～400 km/h間，響應隨速度增加而增大；兩種模型所得結果基本一致，說明由于橋梁的剛度很大，列車振動產生的影響很小，同時也反映了前面推導的耦合單元的準確性。

圖3 橋梁跨中最大位移和最大加速度對比Fig.3 Comparison of maximum deflection and acceleration at the mid-span of bridge

橋梁的1階頻率為4.54 Hz，理論共振車速為392 km/h，圖4分別為跨中位移和加速度響應時程對比。可見共振車速下，兩種模型所得結果基本一致，且隨著通過車輛數目的增加而急劇增大，形成了明顯的“拍”，出現了共振現象；而列車下橋后在結構阻尼影響下，響應逐漸衰減。共振車速下響應峰值滯后于350 km/h情況，且前者最大位移響應為后者的1.4倍，最大加速度響應為后者的2.5倍，在設計中應盡量避免出現共振。

圖4 橋梁跨中位移和加速度時程對比Fig.4 Comparison of the time history of bridge mid-span deflection and acceleration

2.2 脈沖型不平順對耦合系統動力響應的影響

鐵路有縫線路的軌道接頭，及由溫度力或制動力等作用造成的斷軌，均會形成脈沖型不平順，同時橋梁結構變形也會引起不平順。根據文獻[14]，考慮如下脈沖型不平順：

r(x)=Ae-k|x|

(10)

式中：A和k分別取3.6 mm和0.66，考慮5級線路。

將式(10)不平順置于橋梁跨中，分別采用考慮和不考慮車輪瞬時脫離的模型分析其不利影響。同時對橋面光滑的情況也進行了分析。分析發現175 km/h時車輪開始出現瞬時脫離，且速度越大，脫離越顯著。橋梁跨中最大位移響應見圖5(a)，可見共振車速附近響應最大，在200～300 km/h間，不平順使響應增大；但在350 km/h時結果卻減小，說明此時不平順激起了強烈的高頻振動。跨中加速度響應見圖5(b)，可見同光滑情況相比，不平順使響應顯著增大，說明激起了很強的沖擊作用，未發生脫離時,考慮和不考慮脫離所得結果一樣；發生脫離時，后者響應偏大，且高速下相差很顯著，說明后者結果不準確。

圖5 橋梁跨中最大位移和最大加速度Fig.5 Maximum mid-span deflection and acceleration of the bridge

速度為350 km/h時橋梁跨中加速度響應時程見圖6，可見不考慮脫離時，振動更劇烈，幅值明顯大于考慮的情況。

圖6 橋梁跨中加速度時程Fig.6 Time history of mid-span acceleration of the bridge

圖7為300 km/h時中間車輛前輪接觸力時程對比，可見跨中不平順尖點處激起了強烈的振動，考慮車輪脫離情況最小接觸力為0，準確模擬出瞬時脫離現象；而未考慮情況出現了負的接觸力，與實際情況不符。同時可見出現車輪脫離前，兩者的振動幾乎一致；而出現脫離后，振動的幅值和頻率特性均出現了差別。

圖7 車輪接觸力時程對比Fig.7 Time history of contact force of the wheel

綜上，即使幅值較小的脈沖不平順也能激起強烈的橋梁振動，甚至出現了危及安全的車輪脫離現象，說明了線路養護維修和橋梁變形控制的重要性。而分析中應采用考慮車輪瞬時脫離的模型，以準確高效計算耦合系統動力響應。

3 結 論

基于車-橋耦合分析中“車輪密貼”假設的不足，采用非線性Hertz接觸理論，并將其線性化，推導了考慮不平順和車輪瞬時脫離的車-橋耦合單元方程，并建立了系統分析動力方程。結合現有鐵路橋梁進行了分析，討論了車-橋共振現象，并研究了脈沖型不平順對動力響應的影響，得到了如下結論：

1)光滑時，移動力模型結果和列車模型基本一致；共振速度時，前者結果更偏于安全。共振時，橋梁動力響應會顯著增大，在設計中應盡量避免。

2)不平順會使橋梁加速度響應顯著增加，卻使特定速度下位移響應減小，說明其激起了強烈的高頻振動。車輪未發生脫離時，考慮和不考慮脫離模型所得結果一樣；而發生脫離時，后者加速度響應偏大，且高速下相差很顯著。

3)發生脫離時，不考慮脫離模型出現了負的接觸力，說明其結果是不準確的；而考慮脫離模型準確模擬出了脫離現象。同時兩種模型振動的幅值和頻率特性均會出現差別。

4)應重視線路養護維修和橋梁變形控制以避免出現脈沖型不平順，同時應采用考慮車輪脫離的模型進行車-橋耦合振動分析。

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