灰色理論用于遙測數據中長期預測

任國恒，王 健，朱 海

周口師范學院計算機科學與技術學院，河南 周口 466001

隨著在軌衛星數量的增加和戰略意義的增強，維持衛星安全穩定運行變得越來越重要，在軌管理的難度也相應加大[1].在軌衛星運行期間，受各種空間環境因素的影響，反映其功能與性能的遙測參數會發生變化[2]，而這種變化是某點或短時間內的遙測數據無法反映的.如果衛星運行期間發生異常，相應的遙測數據的變化趨勢也會隨之改變[3]，因此開展衛星遙測數據中長期預測研究，對衛星遙測數據的變化趨勢進行建模，預測未來時段的遙測數據變化趨勢，可以提前預測衛星潛在的故障，增強診斷系統的故障早期發現能力，為指揮人員與控制中心進行實時決策提供有力的參考，對保障在軌衛星的安全穩定運行、開展衛星性能研究等方面具有非常重要的意義.

常用的中長期預測方法有支持向量機法[4-5]、反向傳播(Back Propagation,以下簡稱：BP)神經網絡法[6]、灰色預測法[7-9]等，其中灰色預測法是一種基于灰色系統理論的方法.灰色系統理論的主要研究對象是部分信息已知，部分信息未知的灰色系統[10].由于影響遙測數據變化的因素具有不確定性，表現似乎無規律，具有一定的模糊性和灰色不確定性，遙測數據系統恰好可以看作是一個灰色系統，因此利用灰色預測模型對遙測數據進行中長期預測是一種非常有效的方法.

1 灰色系統理論

灰色系統理論是由華中科技大學鄧聚龍教授于1982年提出的，以樣本小、信息少的不確定系統為主要研究對象，基于少量已知數據，對原始信息概念量化，通過構建的模型來預測未知數據.該理論由于需要的樣本數據少，建模原理簡單，預測精度高，計算方便，不需要考慮分布規律等優點而被廣泛應用[11-12].對信息不完全的衛星遙測數據采用灰色預測模型可實現對遙測數據變化趨勢、變化規律的正確描述和有效監測.

1.1 灰色系統理論的基本方法

1.1.1累加生成 GM(1,1)模型是使用最多的灰色模型，其實質是對原始數據序列做一次累加生成.累加生成作為灰色建模的基礎，灰色預測過程中可使數據由灰變白，是灰色系統中占有極為重要地位的理論.累加生成使灰量累積過程的發展趨勢變得明顯，它把任意波動的、非負的數據序列通過累加算法轉化為遞增的數據序列，累加生成后的數據序列其規律性更強.

累加過程如下:

有原始時間數列X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)} ，?x(0)(i)∈R+,n∈N,對其做一次累加生成計算，即令：

(1)

從而可得新的生成數列X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)} ，新的生成數列X(1)一般近似的服從指數規律，則稱X(1)為X(0)的一次累加生成，即如果有原始數據序列X(0)={3,5,6,2,8}，其一次累加生成序列為X(1)={3,8,14,16,24}.

1.1.2 累減還原 累減還原對累加生成起還原作用，主要作用是把通過累加生成進行建模預測后的數據進行還原.

設X(0)為原始序列,X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…x(0)(n)} ，?x(0)(i)∈R+,n∈N，a(1)X(0)={a(1)X(0)(1),a(1)X(0)(2),…,a(1)X(0)(n)} ，其中：

a(1)X(0)=X(0)(k)-X(0)(k-1),

k=1,2,…,n,

(2)

則稱a(1)X(0)為X(0)的一次累減還原.

1.2 灰色GM(1,1)預測模型的構建

灰色系統理論通過關聯空間、光滑離散函數等概念定義了灰導數和灰微分方程，用離散的數據序列來建立微分方程的動態模型. GM(1,1)模型是灰色問題建模使用最多的灰色模型.

灰色GM(1,1)預測模型建立步驟如下：

(2)根據均值序列建立灰色微分方程模型.令z(1)為x(1)的均值序列，z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n))，z(1)的計算方式為z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k-1)，k=2,3,…,n，建立白化方程:

(3)

將白化方程離散化，微分變差分，則GM(1,1)的灰色微分方程為：

x(0)(k)+az(1)(k)=b.

(4)

灰色微分方程中的待定系數a、b分別為發展系數和灰作用量.

(3)參數a、b的求解.把k=2,3,…,n代入GM(1,1)的基本形式x(0)(k)+az(1)(k)中，有

x(0)(2)+az(1)(2)=b

x(0)(3)+az(1)(3)=b

?

x(0)(n)+az(1)(n)=b

上述方程組可轉化為下述矩陣方程：

yN=BP

(5)

yN=[x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)]T

稱矩陣B為數據矩陣，向量yN為數據向量，向量P為參數向量.

根據最小二乘法yN=BP的解為：

(6)

式(6)稱為GM(1,1)參數a，b的矩陣辨識算式，矩陣(BTB)-1BT是數據矩陣B的廣義逆矩陣.

(7)

GM(1,1)預測模型x(0)(k)+az(1)(k)=b相應的時間序列為：

k=1,2,…,n.

(8)

(5)累減還原.還原后的預測值為：

k=1,2,…,n.

(9)

(6)誤差檢驗.GM(1,1)模型的誤差檢驗一般有殘差的檢驗、關聯度的檢驗和后驗差的檢驗這3種檢驗誤差方法.

(10)

(11)

(12)

記S1為原始數據序列方差，有

(13)

記S2為殘差的方差，有

(14)

2 遙測數據灰色GM(1,1)模型工程實例分析

2.1 預測數據樣本的選擇

鑒于灰色預測模型少樣本的特點，筆者選用了某地球同步衛星配電器殼溫度2013年1月至12月的遙測數據值，共12組數據.

原始數據序列X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}為X(0)=(25.3,36.1,29.2,34.9,18.5,21.3,15.8,26.0,32.7,35.8,16.2,23.8).

2.2 一次累加生成

原始數據序列一次累加生成為X(1)=(25.3,61.4,90.6,125.5,144,165.3,181.1,207.1,239.8,275.6,291.8,315.6).

2.3 根據均值序列建立灰色微分方程模型

令z(1)為x(1)的均值序列，z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k-1)，z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n))=(43.35,76,108.05,134.75,154.65,173.2,194.1,223.45,257.7,283.7,303.7)，則GM(1,1)的灰色微分方程模型為：x(0)(k)+az(1)(k)=b，k=1,2,…,12.

2.4 求解參數a和b

通過把灰色微分方程組化為矩陣的形式，用最小二乘法得到參數a，b的值為：a=0.028 7，b=31.480 9.

2.5 白化方程

2.5 累減還原，得到預測值

圖1為溫度遙測數據原始曲線與灰色預測數據曲線、RBF神經網絡預測曲線比較圖，圖中橫坐標為2013年的12個月份，單位為月，縱坐標為溫度數值，單位為攝氏度.

圖1 溫度實測曲線與預測曲線對比圖Fig.1 Comparison of predicted and measured curve

2.6 預測效果評價

某衛星配電器殼溫度遙測數據灰色預測結果和預測精度見表1，同時表1中也給出了基于RBF神經網絡預測模型的預測結果.

表1 預測值與實測值比較Table 1 Comparison of predicted and measured values

表2 預測效果對比Table 2 Comparison of evaluation predicted

相對實際值的預測精度計算發現，灰色預測的精度優于神經網絡的預測精度.因此，灰色預測GM(1,1)模型對遙測數據的中長期預測結果與實際吻合效果較好，預測精度高，滿足衛星遙測數據中長期變化趨勢預測分析需要.

3 結 語

在遙測數據短期預測的基礎上，根據遙測數據中長期預測的意義和目的，筆者基于灰色理論，采用灰色預測GM(1,1)模型對衛星某器件溫度遙測數據進行了預測研究.基于遙測數據中長期預測目的，構建了遙測數據灰色預測模型，并依據模型進行了實例分析驗證.通過后驗差比值、小誤差概率的計算，模型預測精度級別的判定，以及灰色預測GM(1,1)模型預測精度和RBF神經網絡預測精度的對比，說明灰色預測GM(1,1)模型符合衛星遙測數據中長期工程預測的要求.基于預測結果能夠提前預測遙測數據的變化趨勢和潛在故障趨勢，為地面測控人員較早發現異常變化、有效避免可能出現的故障、降低在軌衛星運行的風險提供科學決策依據.

致 謝

西安工業大學于帆教授在本研究開展、實驗驗證分析過程和論文撰寫過程中提出了很多寶貴的建議，謹致謝意.感謝國家自然科學基金委員會對本研究提供的資金支持.

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