基于響應面的結構疲勞壽命6σ穩健優化設計*

賀新峰，于德介，肖枚清

(1.株洲時代新材料科技股份有限公司，株洲 412000；2.湖南大學，汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙 410082；3.柳州乘龍專用車有限公司，柳州 545036)

前言

由于部件加工工藝、材料特性、幾何特性、載荷歷程和溫度等因素的影響，相同部件在同一應力水平下的疲勞壽命也會很離散。為滿足部件的疲勞可靠性要求，工程上通常使疲勞壽命平均值遠大于結構的設計壽命，從而造成材料的浪費和疲勞壽命的較大富余。因此，需要對結構的疲勞壽命進行穩健優化設計，使結構疲勞壽命對隨機因素的變化靈敏度降到最低，即在結構滿足疲勞可靠性的同時，疲勞壽命的平均值最小。

田口玄一博士于20世紀70年代末創立的三次設計法奠定了穩健設計的理論基礎[1]。此后，穩健設計受到了各發達工業國家的關注，并進行了一系列與田口思想相結合的研究與生產應用活動。如文獻[2]中采用田口方法對設計參數進行優化，為應用遺傳算法對結構進行優化提供了穩健的種群。隨著計算機技術、優化設計理論和CAD技術的發展，逐漸形成了現代穩健設計方法。

6σ穩健性設計是結合蒙特卡洛分析、可靠性分析、田口穩健設計法的要素，根據6σ設計理論建立的穩健設計方法。它將可靠性設計和基于容差模型的穩健設計相結合，在優化過程中使響應均值遠離約束，并減小響應偏差，以提高設計結果的可靠性和穩健性。文獻[3]中采用6σ穩健設計方法對拼焊板車門進行了輕量化研究，在減輕車門質量的同時，提高了響應的穩健性。

從現有文獻來看，對結構疲勞壽命穩健性的研究很少。文獻[4]中將結構優化設計理論和隨機有限元法相結合，建立了一種結構疲勞壽命穩健優化模型。本文中將響應面法、6σ穩健設計法與疲勞設計相結合，提出一種提高結構疲勞壽命穩健性且減輕結構質量的方法。以某攪拌車副車架為研究對象，對其疲勞壽命進行了穩健優化設計。在優化過程中，先用拉丁超立方抽樣對設計參數進行采樣，并用MSC公司的有限元分析軟件MSC.Nastran計算攪拌車副車架疲勞關鍵點處的平均應力和對稱應力譜；再用Miner法求出結構關鍵點處的疲勞壽命；獲得疲勞壽命的仿真數據后，構造疲勞壽命的響應面模型；最后利用構造的響應面模型進行副車架疲勞壽命的6σ穩健優化設計。結果表明，該方法在保證副車架疲勞壽命可靠性和滿足設計要求的基礎上，有效提高了副車架疲勞壽命的穩健性，減輕了副車架結構質量。

1 疲勞壽命估算

S-N曲線方程為

lgN=a+blgσ-1

(1)

式中：a、b為待定系數；N為疲勞壽命；σ-1為應力幅值。

通過最小二乘法擬合得到的S-N曲線是標準光滑試樣在對稱循環應力作用下得到的試樣疲勞性能曲線。但實際零件由于尺寸、形狀和表面情況的不同，不能通過標準試樣得到S-N曲線進行結構疲勞設計，因此須對得到的S-N曲線進行修正。考慮尺寸、形狀和表面情況的影響時，對稱循環下零件疲勞強度降低系數為

KσD=Kσ/ε+1/β1-1

(2)

式中：Kσ為疲勞缺口系數；ε為尺寸系數；β1為表面加工系數。

修正后，零件某一疲勞壽命下的應力幅值為

(3)

式中：KS為離散系數。

將式(3)代入式(1)，可得修正后的S-N曲線方程為

(4)

σD=σaσf/(σf-σm)

(5)

其中σf=σb+350

(6)

式中：σm為平均應力；σa為沒有平均應力作用時的應力幅值；σf為真斷裂強度，MPa；σb為材料抗拉強度。

當結構承受隨機載荷時，由Miner法則[6]可得某一載荷歷程循環一次的疲勞累積損傷為

(7)

式中：m為某一載荷歷程應力幅值水平的級數；ni為一個載荷時間歷程中某一幅值載荷的循環次數；Ni為在相應應力幅值作用下部件達到破壞所需的循環次數。

假設D=k時，部件發生破壞，則結構的疲勞壽命為

f=k/D

(8)

2 響應面模型[7]的建立

系統響應y與設計變量(x1,x2,…,xn)之間的關系可表示為

y=g(x1,x2,…,xn)

(9)

通過試驗設計，系統響應與設計變量確定的函數關系表示為

y=f(x1,x2,…,xn)

(10)

式中f(x1,x2,…,xn)為多項式，f(x1,x2,…,xn)是對g(x1,x2,…,xn)的近似。f(x1,x2,…,xn)表示的曲面為響應面。

采用二次多項式響應面近似模型，其基本形式為

(11)

式中：n為設計變量數目；ai,aii,aij為多項式系數。

多項式系數是在拉丁方試驗設計[8]和有限元分析的基礎上，采用最小二乘法擬合得到。

為使響應面能夠很好滿足結構疲勞壽命穩健設計的要求，在對結構進行疲勞壽命6σ穩健設計前須對響應面模型進行精度檢驗，本文中采用F檢驗。在二次多項式響應面模型中，若在置信水平α下有

則認為在α水平下該響應面模型是顯著的，擬合精度好；反之則說明響應面方程意義不大，須重新設計試驗，構建新的響應面方程。

3 疲勞壽命的6σ穩健設計

疲勞壽命的6σ穩健設計是采用6σ穩健設計方法，使結構疲勞壽命在滿足可靠性要求的條件下，疲勞壽命的平均值與方差最小。圖2為疲勞壽命穩健優化示意圖，假定疲勞壽命為單設計變量x的函數，設計變量的容差為Δ±x，這時穩健設計的目的不在于尋找疲勞壽命y=y(x)的較大解xopt，而是在安全區內選擇最接近目標值且其方差小的設計點xrobust。從圖2可以看出，設計變量在相同的變化范圍±x內，當取xopt時，函數的最大波動范圍為Δfa，當取xrobust時，函數的最大波動范圍為Δfb，Δfb?Δfa。變量取xrobust時，系統穩健性大大提高。

疲勞壽命6σ穩健優化設計的數學模型為

(12)

其中F(μlgy(xi),σlgy(xi))=

(13)

式中：F為目標函數；w1、w2為權因子；μxi和σxi分別為隨機變量xi的均值和標準差；μlgy和σlgy為疲勞壽命的對數均值和標準差；M為疲勞壽命對數均值的目標值；μgj和σgj分別為不同約束條件的均值和標準差；xL,i、xU,i分別為設計變量的最小值和最大值。

穩健優化設計須計算響應和約束的均值和方差，目前常用的計算方法有解析法、矩法和蒙特卡洛模擬法[9]。解析法計算精確，但對于多變量、復雜非線性問題求解困難。蒙特卡洛模擬法通過統計模擬抽象來獲得隨機響應分布特征值，方法簡單，適用于各種分布，但當模擬次數增多時，耗費時間長。矩法通過對響應函數進行泰勒級數展開，計算展開式的均值和方差，求解容易，結果雖為近似解，卻具有足夠的精度。考慮以上各方法的特點，本文中采用矩法獲得多維隨機變量的均值和方差近似計算表達式。

設y=f(x1,x2,…,xn)為隨機變量x1,x2,…,xn的函數，已知這些隨機變量的均值分別為μ1,μ2,…,μn，將函數在點[x1,x2,…,xn]T=[μ1,μ2,…,μn]T處用泰勒級數展開，有

y=f(x1,x2,…,xn)=f(μ1,μ2,…,μn)+

(xi-μi)(xj-μj)+Rn

(14)

式中：Rn為余項。對式(14)取數學期望，變量x1,x2,…,xn相互獨立，得均值和方差的簡化表達式為

(15)

(16)

對常采用的二階響應面模型，均值和方差的近似表達式分別為

(17)

(18)

式中:γ為待定系數。

遺傳算法能在較大的設計變量空間內迅速尋優，有較強的全局優化性能[10]，本文中采用遺傳算法對結構疲勞壽命穩健性進行全局優化。取設計變量x為遺傳算法群體，選擇遺傳算法的交叉概率為0.5，變異概率為0.01。

基于響應面的結構疲勞壽命6σ穩健優化設計流程如圖3所示。

4 應用實例

4.1 有限元模型的建立

以某型攪拌車副車架為研究對象進行疲勞穩健性優化設計。攪拌車主要由底盤、攪拌筒、前后支座和副車架構成，攪拌筒、前后支座和副車架組裝在一起，統稱為攪拌車上裝。上裝與底盤橫梁通過連接塊連接。該攪拌車在實際使用過程中，由于連接塊位置、副車架結構設計和梁厚度的選擇不合理，使有些攪拌車副車架在使用年限內發生斷裂；而有些攪拌車的疲勞壽命卻遠遠超過設計要求的使用年限，故須對該攪拌車副車架進行疲勞穩健優化設計。

為更真實地獲得攪拌車副車架的受力情況，用有限元軟件Altair.Hypermesh建立了某型攪拌車的有限元模型，模型采用殼單元來模擬各部件，最終建立有321 560個節點和314 250個單元的有限元模型，如圖4所示。副車架與底盤車架之間以GAP單元定義接觸。罐體、駕駛室和發動機的質量以非結構質量的形式附加到與車架連接的部位上，輪胎和鋼板彈簧用具有一定動剛度的彈簧模擬。各單元厚度、鋼材的彈性模量、泊松比和密度按實際結構確定。

4.2 輪胎與鋼板彈簧動剛度計算

輪胎與鋼板彈簧的動剛度因激振方式的不同有較大變化。當輪胎從靜止狀態轉入滾動狀態時，徑向剛度急劇變小，而后隨著速度的變大緩慢升高。當車速穩定后，激振幅值的變化對動剛度的影響較小[11]。

本文中采用位移時間歷程對模型進行激勵，用恒定的剛度系數近似代替動剛度系數。彈性元件的阻尼系數通常較小，采用的阻尼系數為6N·s/mm[12]。

輪胎徑向剛度計算公式[13]為

(19)

K=15×10-3B0+0.42

(20)

式中：c1為與輪胎設計有關的參數，斜交輪胎的c1=1.15，子午線輪胎的c1=1.5；W為輪胎上的載荷，10N；D為輪胎直徑，cm；B0為輪胎寬度，cm；p1為輪胎充氣壓力，100kPa。

鋼板彈簧剛度的計算公式[14]為

k1=[(2+n′/n)Enbh3]/(6l3)

(21)

式中：n′為鋼板彈簧端部片數，后輪n′=3，前輪n′=2；n為鋼板彈簧總片數，后輪n=12，前輪n=8；b為鋼板彈簧單片寬度，前后輪均為b=90mm；h為鋼板彈簧單片厚度，后輪h=22mm，前輪h=8mm；E為鋼板彈簧鋼的彈性模量，E=206GPa；l為鋼板彈簧的半長。

通過式(19)和式(21)得到輪胎與鋼板彈簧的剛度系數，分析各輪胎之間和輪胎與鋼板彈簧的組合方式，得到前、后支撐彈簧總的剛度系數，如表1所示。

表1 彈性支撐參數 N/mm

4.3 響應面模型的建立和精度檢驗

采用Matlab軟件生成在時域內表示的路面譜[15]，將路面譜加載到攪拌車車輪位置進行瞬態響應分析，得到對稱應力譜。瞬態響應分析中，某時刻攪拌車上裝的應力云圖如圖5所示，圖中圓圈為應力較大的區域。在攪拌車自重的作用下進行靜態分析，得到平均應力，靜態分析中的應力云圖如圖6所示，圖中圓圈為應力較大的區域。

由某攪拌車的有限元分析和實際使用情況可知，圖4所示響應點10是副車架上最容易發生斷裂的地方，即點10為須通過優化提高副車架疲勞壽命穩健性的關鍵點。

疲勞壽命的離散性主要是由有效應力集中系數、尺寸系數、表面加工系數和部件本身尺寸的離散性造成的。而有效應力集中系數、尺寸系數、表面加工系數與部件本身的材料和加工方式等有關，通常只考慮它們的離散性對疲勞壽命穩健性的影響，不對它們進行數值上的優化。故本文中以4類梁的厚度為設計變量建立響應面模型對副車架進行疲勞壽命的穩健優化設計，4類梁如圖7所示。圖中x1，x2，x3，x4為副車架中4類梁的厚度。以表2所示設計變量范圍為設計空間，采用拉丁超立方試驗設計方法進行77次試驗，并計算每次試驗副車架關鍵點的平均應力和對稱應力譜，然后通過式(8)計算點10處的疲勞壽命，計算疲勞壽命的相關系數如表3所示。

表2 試驗設計空間 mm

表3 疲勞壽命相關系數

最終獲得點10處疲勞壽命的試驗仿真數據。

根據數值仿真試驗結果，采用最小二乘法構造點10疲勞壽命的二次多項式響應面模型為

(22)

式中：y為點10的疲勞壽命；ai為多項式系數；φi(x)為多項式基函數。多項式基函數及其對應的系數分別如表4所示。

表4 響應面模型系數

對副車架點10的疲勞壽命響應面模型進行方差分析，得到F=557.25，而在顯著水平α=0.05有F>F0.05(14,62)≈1.84，表明所得到的響應面模型在α=0.05的水平下是顯著的，可利用此響應面近似模型對副車架的疲勞壽命進行穩健優化。

4.4 疲勞壽命的6σ穩健優化

攪拌車的使用期限通常是5年以上，工作3年左右會產生初始裂紋。假定每年工作200天，每天工作8h，可得攪拌車經過5.76×105個載荷歷程的循環后產生初始裂紋，故設計壽命的對數值為5.76。優化前后點10疲勞壽命的穩健性參數如表5所示，結構疲勞壽命的對數平均值為6.42，遠大于設計壽命，疲勞壽命的σ值也較高，故須對攪拌車副車架的疲勞壽命進行6σ穩健優化。

表5 點10疲勞壽命的穩健設計參數

優化中，以疲勞壽命的穩健性為主要目標，采用式(17)和式(18)計算式(22)的對數均值和方差。6σ穩健性優化的數學模型為

(23)

由式(13)，分別取權因子W1=0.3；W2=0.7，并將M=5.76代入，得

(24)

4類梁厚度的初始值如表5所示，各梁厚度x1，x2，x3，x4的變異系數為0.01。在獲得疲勞壽命響應面模型的基礎上，以設計壽命的對數值為約束，采用遺傳優化算法對攪拌車副車架進行6σ穩健優化。優化后，副車架疲勞壽命的參數如表5所示。

從表5可以看出，穩健優化后，副車架關鍵點的疲勞壽命在滿足可靠性的同時，其對數平均值由原來的6.42降低到5.88，減小了疲勞壽命裕度；對數疲勞壽命方差也降低了20%，提高了疲勞壽命穩健性；并且副車架質量減輕了30.7kg，降低了副車架的材料消耗，提高了經濟性。

5 結論

(1) 針對結構疲勞壽命離散性較大的問題，將6σ穩健設計引入疲勞設計中。以疲勞壽命的對數平均值和對數方差為目標函數進行疲勞穩健優化設計，使結構在滿足疲勞可靠性的條件下，達到提高疲勞穩健性與減小疲勞壽命裕度的目的。

(2) 將響應面法和結構疲勞壽命的6σ穩健設計相結合，提高了計算效率，縮短了產品設計周期，更有利于該方法在工程中的應用。

(3) 通過對某攪拌車副車架關鍵點的疲勞壽命進行6σ穩健性設計，疲勞壽命的對數方差值降低了20%，對數平均壽命與對數設計壽命的差值從0.66減小為0.12，減輕了副車架質量，提高了經濟性。

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