基于區間的車架不確定性多目標優化*

李偉平，謝 鋒，馬騰飛，張寶珍

(湖南大學，汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙 410082)

前言

車架是汽車上重要的承載部件，車輛所受到的載荷最終都會傳遞給車架，因此車架的結構直接影響到整車的性能。車架結構設計的主要目的是在確保車架強度、剛度和動態性能的前提下，減輕車架的質量，以達到輕量化設計的目的。在車架的設計中，由于材料在加工制造過程中，不可避免地存在著與材料性質、邊界條件、初始條件、測量偏差等有關的誤差或不確定性。這些誤差或不確定性雖然在多數情況下數值較小，但耦合在一起可能使系統響應產生較大的偏差[1]。因此考慮車架參數的不確定性影響對車架的設計有重要的理論和實際意義。

不確定性優化問題的研究一直是工程領域中研究的熱點。傳統的方法大多采用概率方法來描述參數的不確定性，即把不確定變量作為隨機變量。然而由于概率方法對于實際工程問題有其本身的局限性，比如有時很難提供充分的概率分布信息來描述這些隨機變量，從而限制了基于概率的優化方法在工程中的應用[2-4]。而基于區間方法的不確定性優化方法把不確定參數看作區間數，只須知道不確定參數的上下界信息，這些信息在工程實際中較易獲得。因此基于區間數的不確定優化在工程應用中具有明顯的優勢[5-10]。

本文中首先建立了車架的有限元模型，并構建了設計變量和不確定變量與目標函數之間的Kriging代理模型。選取車架各梁的厚度作為優化變量，材料的彈性模量和密度作為不確定變量。以車架強度和車架質量最小作為優化目標進行不確定性多目標優化。

1 區間數不確定優化和算法

1.1 區間多目標優化模型的描述

在工程實際中，要得到隨機變量的精確概率分布是很困難的，因為需要在大量統計數據的基礎上，運用數理統計的相關理論來近似獲得。但是獲得不確定量的界限則相對容易。在描述不確定性量的方法中，區間法只須知道不確定參數的變動范圍即可，故采用區間數來描述不確定量的不確定性。

利用區間數來描述不確定量，則不確定多目標優化問題可以描述為

(1)

1.2 不確定性優化問題的確定性優化

本文中將不確定性優化轉化為確定性優化的主要內容是將不確定性目標函數轉化為確定性目標函數。利用目標函數中點值來判斷不同設計向量之間的優劣,則

(2)

(3)

(4)

通過上面的處理，式(1)可轉化為如下的確定性多目標優化問題：

(5)

1.3 不確定性多目標優化算法

不確定性問題的求解都是典型的雙層嵌套問題。其中外層優化用于設計向量的尋優，而內層優化用于計算不確定目標函數的區間。由于嵌套優化的存在，轉化后的優化問題通常是非連續和不可導的，所以傳統的基于梯度的優化方法難以對之有效求解。本文中對于外層和內層優化都選用隨機搜索的遺傳算法。內層采用隔代遺傳算法(IP-GA)在不確定域求解目標函數區間，外層采用加入精英保持策略和去除重復個體的非支配排序遺傳算法(NSGA-II)對車架應力響應和質量響應兩個目標進行不確定性優化。

目前多目標優化遺傳算法分為基于Pareto概念與不基于Pareto概念的遺傳算法?；赑areto概念的遺傳算法是求解多目標問題非劣最優解的有效途徑，也是目前研究的熱點[11]。在基于Pareto的方法中NSGA-II是最有效的。NSGA-II算法由非支配排序遺傳算法(NSGA)發展而來，其基本思想是[12]：采用非支配排序算法對種群進行非支配排序分層，為每個個體賦予虛擬適應度值，然后進行選擇、交叉、變異等操作；為了保持Pareto最優解集的均勻分布，使用共享函數和小生境技術，為處于同一非支配層上的個體指定虛擬的適應度。該算法采用了擁擠度和擁擠度比較算子，使種群中的個體能均勻地擴展到整個Pareto域，保持種群的多樣性，避免局部收斂；采用精英保持策略，將父代種群和子代種群一起排序競爭而得到下一代，從而保證下一代的個體更加優良；求解Pareto解集準確性和分散性較好。

(6)

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(8)

2 車架有限元模型

某半掛牽引車車架為邊梁式結構。主要由2根主縱梁、2根副縱梁和4根橫梁組成。主副縱梁之間通過鉚釘連接。本文中以車架最為典型的彎曲工況進行不確定性多目標優化，利用Hypermesh軟件對車架進行幾何清理、網格劃分以及約束和載荷的加載。加載時車架質量和載荷乘以動載系數，本文中動載系數取2.5，方向豎直向下，以模擬牽引車在平坦路面上以較高速度行駛時產生的對稱垂直動載荷。

在分析計算時，為消除車架的剛體位移，須對車架的自由度進行約束，約束前板簧的3個平動自由度UX、UY、UZ；釋放前板簧的3個轉動自由度ROTX、ROTY、ROTZ；約束后板簧豎直方向的平動自由度UZ；釋放其它方向的所有自由度。車架結構有限元模型如圖1所示。P1為駕駛室作用在車架上的載荷，P2為發動機總成及其它附件的載荷，P3為油箱等附件的載荷，P4為備胎等附件的載荷，P5為滿載時貨物作用在牽引車車架上的垂向載荷，P6為滿載時貨物作用在牽引車車架上的水平載荷。

3 不確定性多目標優化

3.1 設計變量和不確定變量的選取

選取車架橫梁和縱梁共5種不同的厚度作為設計變量。由于制造和測量等誤差，材料的密度ρ和彈性模量E為不確定量，根據文獻[10]和文獻[15]，取彈性模量和密度的不確定水平均為5%。設計變量和不確定量取值范圍分別如表1和表2所示。

表1 各優化變量取值范圍

表2 各不確定變量取值范圍

3.2 目標函數的建立

本文中通過合理優化車架各梁的厚度以達到加強車架強度和減輕車架質量的目的。因此以車架強度最大(即應力最小)和車架質量最小建立多目標優化問題，考慮車架材料密度ρ和彈性模量E的不確定性，車架的不確定性多目標優化模型可以描述為

(9)

式中：σ為車架的應力值；m為車架的質量值，σC(X,U)和mC(X,U)可通過式(3)求得。

3.3 近似模型的構建

本文中使用Kriging模型來代替直接的有限元模型計算，以節省計算時間。

Kriging模型是一種估計方差最小的無偏估計模型，它能夠提供一種精確的插值。它由全局模型和局部偏差迭加而成，可表示為

Y(X)=f(X)+Z(X)

(10)

式中：Y(X)為未知的近似模型；f(X)為已知的多項式函數；Z(X)為均值為零、方差σ2和協方差不為零的隨機過程。選取Kriging模型函數類型為高斯函數。本文中構建了設計變量和不確定變量與目標函數之間的近似模型。具體步驟如下：

(1)采用拉丁超立方實驗設計，對5個設計變量和2個不確定變量進行50次采樣；

(2)將采樣值賦予車架有限元模型進行計算，得出車架應力和車架質量的響應值；

(3)通過Matlab-DACE工具箱分別建立設計變量和不確定變量與車架應力響應的近似模型以及設計變量和不確定變量與車架質量響應的近似模型；

(4)精度判斷：設計變量和不確定變量空間，采用拉丁超立方實驗設計，選擇3個采樣點，分別對真實模型和近似模型進行求解，并計算兩者的相對誤差，如果相對誤差滿足給定精度要求(設定為5%)，則構建近似模型成功，獲得Kriging近似模型的具體參數；否則將這些采樣點加入步驟(1)的采樣點集，轉步驟(3)重新構建近似模型。

通過以上步驟構建的近似模型，其精度如表3和表4所示。從表中可以看出，模型的相對誤差都小于5%，滿足預先設定的要求。

表3 近似模型應力響應精度判斷

表4 近似模型質量響應精度判斷

3.4 優化過程與結果分析

本文中將加入精英保持策略和去除重復個體的非支配排序遺傳算法(NSGA-II)和隔代遺傳算法(IP-GA)結合起來，在近似模型的基礎上，求解車架雙層嵌套優化問題。

首先，外層NSGA-II在車架各梁組成的設計空間內尋優，對于每個所取的設計向量進入內層IP-GA，在不確定彈性模量E和密度ρ組成的不確定參數空間內搜索，通過計算近似模型確定目標函數響應的上下界，進而得到目標函數響應的平均值。把內層優化結果反饋給外層優化算法，以幫助外層算法繼續尋優，直到滿足停止準則輸出最后的Pareto最優解集。優化流程如圖2所示。

經過200次迭代，得到Pareto解集如圖3所示；其中比較有代表性的10組解如表5所示。車架優化前后的數據見表6。

對比表5和表6的數據可以看出，通過不確定性多目標優化，車架的質量和應力值可以得到明顯改善。設計者可根據自己對目標的期望和工程經驗來選擇合適的設計變量，如果設計者對整車質量關注較大，可以選擇9、10這兩組數據；如果對車架受力比較關注，可以選擇4、5這兩組數據；如果需要綜合考慮車架的應力和質量，則可選擇6～8這3組數據。

表5 不確定性優化的Pareto最優解

表6 車架優化前數據

利用NSGA-II算法對車架進行確定性多目標優化，將優化得出的值和不確定性多目標優化得出的值進行對比，如圖4所示。

由圖可見，不確定性優化的結果值絕大部分略高于確定性優化結果的值，這是由于在不確定性優化過程中考慮了材料參數不確定性的影響，采用目標函數區間中間值來判斷設計變量的優劣。在圖中應力大于190MPa的區域出現幾組不確定性優化解小于確定性優化解。這說明在沒有對不確定性參數對目標函數的影響大小進行優化時，只考慮目標函數平均值得出的解也有可能比確定性得出的結果要小。通過結果的對比，盡管不確定性優化值偏大，但它考慮了材料參數波動對車架性能的影響。因此不確定性優化比確定性優化具有更好的可靠性，也更能反映真實的情況，具有更好的工程實際意義。

4 結論

本文中在車架有限元模型的基礎上構建了設計變量和不確定變量與目標函數之間的近似模型，以代替計算時調用真實的有限元模型。在滿足精度的前提下，大大減少了計算時間。考慮車架材料參數不確定因素，提出將NSGA-II和IP-GA結合起來求解車架雙層嵌套優化問題。由于內層采用效率很高的IP-GA算法，因此節約了計算時間。該法能兼顧設計目標性能和可靠穩定性，使設計對不確定擾動不敏感，具有一定的理論和工程實際意義。

最后將確定性優化值和不確定性優化值進行對比，得出不確定性優化的優越性，同時也說明不確定性優化能更好地反映實際模型。

雖然文中考慮了不確定性參數的影響，但沒有分析不確定性參數對目標函數的影響。下一步的工作將會在提高計算效率和不確定性參數對目標函數的影響方面做進一步的研究。

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