一類Lotka-Volterra合作系統的四個正周期解問題

張友梅

（合肥職業技術學院基礎部，安徽 巢湖 238000）

1 引言

近年來，各類生物模型的周期解的存在性得到廣泛的研究。考慮到時滯的影響，考慮以下帶收獲項的時滯Lotka-Volterra合作系統：

其中 x（t）和 y（t）分別表示合作種群的密度；ai（t），bi（t），di（t），τi（t），ci（t），hi（t），h=1，2 都是正的連續函數，分別表示自然增長率，成蟲死亡率，幼蟲死亡率，時滯，合作效率和兩種群的收獲率。對于該種群模型的詳細介紹，可參看文獻[1-5]。

重合度理論是研究周期解的存在性和多解性的重要工具[6-7]。受以上論文的啟發，我們利用重合度理論來研究模型（1.1）多個正周期解的存在性。 此外，假設（1.1）中所有的參數都是正的ω-周期函數，ω＞0.

2 預備知識

首先介紹幾個相關概念。

令X，Z是賦范向量空間，L：D omL?X→Z是線性映射，N：X×[0，1]→Z是連續映射。如果dim KerL=codim ImL＜∞且I mL在Z中是閉的，則稱L為Fredhol映射。如果L是指標為0的Fredhol映射，則存在連續映射 P：X→X 和 Q：Z→Z，使得 I m P=KerL，I m L=Ker Q=I m（I-Q），X=KerL⊕Ker P，Z=I m L⊕ I m Q.因此LDomL∩KerP：（I-P）X→I m L是可逆的。記KP為L映射的逆。如果Ω為X的有界開子集，且QN×[0，1]）是有界的，Kp（I-Q）N：× [0，1]→X 是緊的，則稱 N 在× [0，1]上為 L-緊的。因為 I mQ 和 KerL 是同構的，所以存在同構映射J：I mQ→KerL.

定理2.1[8]令L是指標為0的Fredholm映射，且令N在×[0，1]上是緊的，設

下面給出文中用到的一些記號：對于連續ω-周期函數f（t），記：

再作假設如下：

記八個正數如下：

3 四個正周期解的存在性

定理 2.2 若條件（H1），（H2），（H3），（H4），（H5）成立，則系統（1.1）至少存在四個周期解。證明：首先利用變量代換

則模型（1.1）可變為：

因為P，Q是連續的投影，所以ImP=K erL，K erQ=ImL=Im（I-Q）.則L是指標為 0的Fredholm映射。 算子 L的廣義逆算子則有

這里

QN和KP（I-Q）是連續的。用Arzela-Ascoli定理容易驗證對任意的有界開集是緊的。進一步，是有界的。因此在上，對于任意的有界開集Ω?X，N是L-緊的。

為了利用定理2.1，必須在X中找到至少4個合適的有界開子集。考慮算子方程L x=λN（x，λ），λ∈（0，1）得到：

假設存在 λ∈（0，1），u∈X 是方程組（2.3）的一個 ω-周期解。 則存在使得

ui（ξi）=且有

由以上討論和（2.3）有：

（2.4）（a）和（b）給出：

從（2.6），（2.7）有

由（H1），有

即

同理由（2.5）（a）和（b）和（H1），得

則

即

然后可得

注意到

由這個不等式和（H2），可得

那么有

類似地，由（2.4）（b）及（H3）得

則

同理，由（H4）和（2.5）（a）可得

則

類似地，由（H5）和（2.5）（b）可得

從（2.8），（2.10），（2.12），（2.14）得

或者

從（2.9），（2.11），（2.13），（2.15）得

或者

顯然，K1，K2，K3，K4，K5，K6，K7，K8是不依賴于 λ 的。

現作

那么有 Ωi（i=1，2，3，4）是 X 的有界開子集，且 Ωi∩ Ωj= φ，i≠j，i， j=1，2，3，4.因此 Ωi（i=1，2，3，4）滿足定理 2.1 的條件（1）.

下面證明定理 2.1 的條件（2）也是滿足的。 即要證當 u∈?Ωi∩KerL=?Ωi∩R2時，QN（u，0）≠（0，0）T（i=1，2，3，4）.若該結論不成立，則當 u∈?Ωi∩KerL=?Ωi∩R2，（i=1，2，3，4），常向量 u∈?Ωi（i=1，2，3，4）滿足

因此存在兩個點 ti=（i=1，2）滿足

由（2.16）-（2.19），有

所以 u∈Ω1∩R2或 u∈Ω2∩R2或 u∈Ω3∩R2或 u∈Ω4∩R2，這與 u∈?Ωi∩R2（i=1，2，3，4）是相矛盾的，這就證明了定理2.1的條件（2）是滿足的。

最后證明定理 2.1 的條件（3）也滿足。 由條件（H1），（H2）得方程組

有4個不同的解，它們分別是

這里

易證：

因此

因為K erL=ImQ，J=1則：

因為

故有

所以

至此，證明了Ωi（i=1，2，3，4）滿足定理2.1中的所有假設條件。因此模型（2.2）至少存在4個不同的ω-周期解。以（1.1）至少存在4個不同的正的ω-周期解，定理2.2得證。

[1] 馬知恩.種群生態學的數學建模與研究[M].合肥：安徽教育出版社，1996：46-55.

[2] Zhengqiu Zhang,Zhicheng Wang.The existence of a periodic solution for a generalized predator_prey system with delay[J].Math.Proc.Cambridge Philos.Soc.,2004，（137）：475-486.

[3] Zhengqiu Zhang,Zhicheng Wang.Periodic solutions of a two-species ratio-dependent predator-prey system with time delay in a two-patch environment[J].ANZIAM J.,2003，（45）：233-244.

[4] Zhengqiu Zhang,Jun Wu,Zhicheng Wang.Periodic solutions of nonautonomous stage-structured cooperative system[J].Comput.Math.Appl，2004，（47）：699-706.

[5] Yongkun Li.Periodic solutions of a periodic delay predator-prey system[J].Proc.Amer.Math.Soc.1999，（127）：1331-1335.

[6] 劉娟風，魏鳳英.具有捕獲的三種群Lotka-Volterra系統的多個周期解[J].福建師大福清分校學報，2010，（5）：1-8.

[7] 雷慧榕，魏鳳英.具有捕獲的四種群捕食系統的多個正周期解[J].福州大學學報（自然科學版），2011，（2）：167-172.

[8] R.E.Gaines,J.L.Mawhin.Coincidence degree and nonlinear differential equations,in Lecture Notes in Mathematics,vol.568[M].Berlin：Springer-Verlag，1977.