一類七次系統(tǒng)三次冪零奇點的焦點判定與極限環(huán)分支

卜玨萍

（巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽 巢湖 238000）

討論一類七次微分自治系統(tǒng)

其中原點為三次冪零奇點，由文[1]，容易驗證，系統(tǒng)（1）中原點為中心或焦點。

由文[4]中給出的遞推公式，利用Mathematica計算求得系統(tǒng)（1）原點的前10個擬Lyapunov常數(shù)如下：

由 λ10≠0，可得

再由λ1=λ2=λ3=λ4=λ5=λ6=λ7=λ8=λ9=0得：

由于 a02≠0，b02≠0 時，

與

不能同時為零，即式（5）為零時，（6）不能為零，即當(dāng) λ9=0 時，λ10≠ 0，由此可得

定理1 系統(tǒng)（1）的原點為10階細焦點的充要條件是

對系統(tǒng)（1）作微小擾動后的系統(tǒng)

由定理 1，當(dāng)充要條件（7）成立時，有

從而有

定理2 若系統(tǒng)（1）的原點為10階細焦點，則當(dāng)0＜δ?1，且系統(tǒng)（1）的系數(shù)作適當(dāng)微小擾動時，系統(tǒng)（8）在原點的充分小鄰域內(nèi)恰有10個包圍初等結(jié)點O（0，0）的極限環(huán)。

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