一類行列式的解法

秦喜梅

（巢湖學院數學系，安徽 巢湖 238000）

行列式是代數學中的一個重要內容，在數學分析、幾何學、線性方程組理論、二次型理論等方面應用廣泛。由于行列式的計算方法很多：利用n階行列式的定義，把行列式化為上（下）三角形，按行（列）展開法則等，所以在計算行列式時，往往根據行列式自身的特點選擇方法進行計算。而且不僅僅局限于某一種算法，主要根據其組成元素的規律尋找相應的計算方法。

方法一：按行（列）展開法則。

先把Dn按照第一行展開，得

再把Mn-1按照第一列展開，得

所以 Dn=an+（-1）2n+1an-2=an-an-2=an-2（a2-1）.

方法二：化為下三角形。

或者如下分兩種情況討論計算：

方法三：化為上三角形。

當a≠0時，

方法四：利用分塊對角矩陣的行列式的計算方法。

方法五：遞推降階。

先把 Dn按照第二行展開，得 Dn=a·（-1）2+2Dn-1，再把 Dn-1按照第二行展開，得 Dn-1=a·（-1）2+2Dn-2，依次下去得 Dn=aDn-1=a2Dn-2= … =an-3D3=an-2D2=an-2（a2-1）.

方法六：利用數學歸納法。

當n=2時，Dn=

當n=3時，Dn=

當n=4時，Dn=

故猜測Dn=an-2（a2-1）下面利用數學歸納法證之。

假設當 n=k 時，Dk=ak-2（a2-1），下證 Dk+1=ak-1（a2-1）.

把 Dk+1按照第 k 行展開， Dk+1=（-1）k＋kDk＝ a·ak-2（a2-1）=ak-1（a2-1）.

[1] 同濟大學數學系.線性代數[M].北京：高等教育出版社，2007：9-27.

[2] 北京大學數學系幾何與代數教研室.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2007：68-83.

[3] 楊子胥.高等代數習題解[M].濟南：山東科學技術出版社，2001：245-329.

[4] 毛綱源.線性代數解題方法技巧歸納[M].武漢：華中理工大學出版社，2000：3-10.

[5] 古家虹.關于行列式的計算方法[J].廣西大學學報（自然科學版），2005，（S1）：174-176.

[6] 張新功.行列式的計算方法探討[J].重慶師范大學學報，2011，（4）：88-92.

[7] 鄧勇.關于行列式計算的另類降階法[J].大學數學，2012，（6）：102-108.