為概念的理解而教

徐斌

《倍的認識》是蘇教版數學二年級下冊的教學內容。本節課的學習內容主要是倍的認識和求一個數是另一個數的幾倍的實際問題。倍數關系是生活中最為常見的數量關系之一，建立倍的概念，有助于學生進一步理解乘法和除法的含義，拓寬應用乘、除法運算解決實際問題的范圍。教材首先呈現了經過加工的生活場景，圖中三個小朋友圍著一個花壇數其中各種花的朵數，并根據每種花的數量進行比較，由此引出“藍花有2朵，黃花有3個2朵，黃花的朵數是藍花的3倍”，從而使學生初步認識倍的含義。在此基礎上，通過紅花有8朵，8里面有4個2朵，讓學生學會用除法算式進行計算。然后通過相應練習幫助學生逐步理解概念，積累活動經驗，掌握求一個數是另一個數的幾倍的方法，體會數學與生活的密切聯系，獲得解決問題的成功經驗，提高學好數學的信心。

【教學過程】

一、復習舊知，孕伏算法

談話引入，提問口答：6里面有幾個3？用什么方法可以算出來？10里面有幾個2？15里面有幾個5？

求一個數里面有幾個另一個數用什么方法計算？（用除法計算）

二、引入新知，理解概念

1.創設情境。（課件顯示）

講述：春暖花開，同學們來到學校花壇。花壇里開滿了鮮花。圖（見教材）中有哪幾種顏色的花？你能分別數數有幾朵嗎？

提問：根據這些已知信息，你能提出哪些數學問題？

（預設學生可能會提出的問題）

（1）藍花和黃花一共有多少朵？

（2）藍花和紅花一共有多少朵？

（3）紅花和黃花一共有多少朵？

（4）三種花一共有多少朵？

（5）黃花比藍花多幾朵？

（6）藍花比紅花少幾朵？

講述：同學們提出的問題都很有價值。其中，不少同學提出了比較兩種花多少的問題，也就是求兩個數量相差多少。其實，比較兩個數量除了我們已經學過的求相差多少，還有另一種方法——倍。（揭示課題：倍的認識）

2.初步感知。（教具演示）

（教師根據學生數出的花朵，先把2朵藍花排在一起并畫上集合圈）我們把2朵藍花看作1份。那么黃花有這樣的幾份呢？

講述：黃花有3個2朵，我們就說黃花的朵數是藍花的3倍。

3.動手操作。（圈畫圖形）

提出：剛才我們比較了黃花朵數和藍花朵數之間的倍數關系。那么紅花朵數是藍花的幾倍呢？（教師帶領學生在教材上圈一圈，填一填。）提問：藍花有2朵，紅花有8朵，8里面有幾個2？用什么方法計算？

（板書：8÷2=4）在這里8表示什么？2表示什么？4表示什么？

4.變式訓練。（課件分別動態顯示）

（1）變化紅花的數量。

講述：我們剛才已經比較了紅花的朵數是藍花的4倍。現在老師適當改變紅花的朵數，你還能比較嗎？

（2）變化兩種花的數量。

講述：剛才我們已經知道，藍花2朵，黃花6朵。現在藍花增加1朵變成3朵，如果依舊要使黃花朵數是藍花的3倍，可以怎么辦？如果藍花變成1朵呢？

5.歸納小結。

提問：通過剛才的學習，你對倍有了怎樣的認識？

三、活動探索，內化新知

1.拍手游戲。

×××

××× ××× ×××

（師先拍三下，要求學生拍的次數是老師的3倍。）

（學生首先同桌進行拍手游戲，然后指名兩個學生演示拍手游戲，其余同學根據拍手情況列式計算。）

2.操作小棒。（學具活動）

第一排擺：

第一排擺：

6里面有（ ）個3，第二排小棒的根數是第一排的（ ）倍。

如果第二排擺15根，15里面有（ ）個3，第二排小棒的根數是第一排的（ ）倍。

3.觀察圖形。（課件動態演示）

講述：這里有兩種顏色的帶子，你能看出紅帶子的長是綠帶子的幾倍嗎？（1倍）

提問：紅帶子的長是綠帶子的1倍，其實兩根帶子的長度是什么關系？

觀察提問：變化后的紅帶子的長是綠帶子的幾倍？為什么？

當帶子變細了，這時紅帶子的長是綠帶子的幾倍？

當帶子繼續變化，成了兩條線段，第二條線段的長度是第一條的幾倍？

4.測量線段。（學生操作）

（學生在課本上測量并列式計算，然后交流反饋。）

5.連線填空。（學生在課本上獨立完成）

（1）

10里面有（ ）個2，個數是的（ ）倍。

（2）

12里面有（ ）個4，的個數是的（ ）倍。

6.口答倍數。（卡片選擇）

教師出示幾張數字卡片，讓學生選擇兩個數，說出兩數之間的倍數關系。

（卡片上的數有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。）

四、應用拓展，積累經驗

課堂總結后進行涂色游戲。（要求先涂色，然后算出空白圓的個數是涂色圓的幾倍。）

【教學思考】

“倍的認識”這節課屬于概念教學。著名心理學家奧蘇伯爾說過：“比起世界上的各種現象來說，人實際上是生活在一個概念的世界里。”概念是數學學科知識中的重要組成部分，概念教學歷來是數學教學中的難點，因為數學概念通常比較抽象，而兒童的思維又是以具體形象思維為主。從概念學習的一般規律來說，本課主要抓住了以下四個方面的要點。

一、了解概念的來源

小學數學的大多概念來源于學生的生活經驗，同時也常常能從學生的已有知識中發展而來，倍的概念就是如此。一方面，學生生活經驗中經常遇到兩個量成倍數關系的現象，也經常聽到有關倍的比較性說法，甚至有一些錯誤的說法；另一方面，學生認知結構中已經積累了對一些數量之間進行比較的方法，尤其是比較多少的方法。在這樣的基礎上學習新知“倍”，可以充分利用學生的生活經驗，同時在比較多少的方法基礎上引出“倍”，有利于實現從“差比”到“倍比”的自然過渡。

課始，教者組織相關舊知的復習，突出求一個數里有幾個另一個數的含義和除法運算，為本課學習求一個數是另一個數的幾倍做好必要鋪墊。而在生活情境中讓學生搜集數學信息，提出數學問題，比較數量多少，再引出一個數是另一個數的幾倍的新知。這樣的設計，從學生的數學現實出發，以舊引新，以新促舊，新舊比較，使學生了解“倍”概念產生的來龍去脈，為深入理解倍的本質打下重要基礎。

二、突出概念的本質

“倍”的本質其實就是幾個幾，是乘法和除法意義的進一步發展。如何讓學生在學習乘除法意義的基礎上理解“倍”的本質，是這節課教學的重點。在新知教學過程中，通過五步展開：第一步，初建倍的概念。用教具直觀演示講解，使學生在具體形象中了解6朵是2朵的3倍。第二步，引入除法運算。讓學生在動手圈畫圖形中進一步理解倍的概念，同時聯系求8里面有幾個2可以用除法計算。第三步，變化幾份數。通過8朵紅花變為10朵、12朵、4朵、2朵，藍花朵數不變，使學生在變式中理解倍的含義與算法。第四步，變化一份數。通過把藍花由2朵變為3朵、4朵、1朵，使黃花朵數依然是藍花的3倍，這要怎么做，讓學生在變和不變中深入理解倍的意義。第五步，歸納概括。讓學生結合具體的數量比較過程，歸納有關倍的含義，初步概括倍的本質特征。

新課程改革以來，數學概念的教學倡導“淡化形式，注重本質”，因此，概念的教學，不像過去過早采用抽象的繁瑣的文字來完整敘述，而是注重讓學生不斷積累感知經驗，在具體形象中逐步感悟概念的含義，并逐步對相關數學活動經驗進行歸納和提升，以達到對概念本質的豐富性理解。

三、溝通概念的聯系

孤立的概念容易被遺忘，而單一的概念也不成體系。倍的概念雖然本課是首次學習，但是學生在生活經驗中偶爾也會聽說。更重要的是，倍的概念與學生已經學過的相關知識間存在著很多的內在聯系。因此，在教學過程中，要不斷加強溝通和比較，使新建的概念納入學生原有的認知結構中，從而加深對概念的深度理解。

在引入倍的概念時，從求兩數相差多少的比較，過渡到用“倍”來進行比較，體現從“差比”到“倍比”的發展需要；新知學習時，首先從乘法的基本含義“幾個幾”出發，并通過“1份”和“幾份”的比較，初步建立倍的認知模型；接著在求一個數是另一個數的幾倍時，聯系除法的含義，通過運算再次形成倍的思維模型；然后通過變式練習活動，分別改變幾份數和改變一份數，讓學生鞏固對倍的概念的理解；在“1倍”這一特例的處理上，結合數量的變化過程，直觀地溝通起“1倍”與“同樣多”的聯系，并進一步溝通“1倍”和“幾倍”的關系。

四、體現概念的應用

學以致用是數學教學的重要目標。因此，數學教學中有意識地利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象，解決現實世界中的問題，這是培養學生應用意識的重要途徑。而低年級學生的認知規律啟示我們，只有設計目標多層、內容豐富和形式多樣的應用練習，才能順應兒童的心理特點和數學學科的本質。正如烏申斯基所說：“一般說來，兒童是依靠顏色、聲音、動作等感覺來進行思維的。”

從概念應用的目標來看，本課的應用體現為基礎性應用、對比性應用和發散性應用三方面；從概念應用的內容來看，本課主要體現為數學應用（應用倍的知識判斷兩數關系和列式計算倍數）、生活應用（判斷白球和彩球的倍數關系、紅蘿卜和白蘿卜的倍數關系等）和拓展應用（從12個圓圈中靈活尋找空白和涂色數量之間的倍數關系）三方面；從概念應用的形式來看，則有操作應用（包括擺小棒和測量）、運算應用（包括列式計算和選擇卡片）、游戲應用（包括拍手游戲和涂色游戲）三方面。

從這節課的教學可以看出，數學概念教學需關注四個要素，即來源、本質、聯系和應用。讓學生了解概念的產生和來源，有利于引發學生的認知動機，有利于為概念尋找現實意義；理解概念的本質和意義，有利于經歷概念的形成過程，有利于建構概念的數學模型；溝通概念間的內在聯系，有利于豐富學生的認知結構，有利于形成有效的知識系統；加強概念的練習和應用，有利于提高學生的應用意識，有利于培養學生的數學素養。

課始，教者組織相關舊知的復習，突出求一個數里有幾個另一個數的含義和除法運算，為本課學習求一個數是另一個數的幾倍做好必要鋪墊。而在生活情境中讓學生搜集數學信息，提出數學問題，比較數量多少，再引出一個數是另一個數的幾倍的新知。這樣的設計，從學生的數學現實出發，以舊引新，以新促舊，新舊比較，使學生了解“倍”概念產生的來龍去脈，為深入理解倍的本質打下重要基礎。

二、突出概念的本質

“倍”的本質其實就是幾個幾，是乘法和除法意義的進一步發展。如何讓學生在學習乘除法意義的基礎上理解“倍”的本質，是這節課教學的重點。在新知教學過程中，通過五步展開：第一步，初建倍的概念。用教具直觀演示講解，使學生在具體形象中了解6朵是2朵的3倍。第二步，引入除法運算。讓學生在動手圈畫圖形中進一步理解倍的概念，同時聯系求8里面有幾個2可以用除法計算。第三步，變化幾份數。通過8朵紅花變為10朵、12朵、4朵、2朵，藍花朵數不變，使學生在變式中理解倍的含義與算法。第四步，變化一份數。通過把藍花由2朵變為3朵、4朵、1朵，使黃花朵數依然是藍花的3倍，這要怎么做，讓學生在變和不變中深入理解倍的意義。第五步，歸納概括。讓學生結合具體的數量比較過程，歸納有關倍的含義，初步概括倍的本質特征。

新課程改革以來，數學概念的教學倡導“淡化形式，注重本質”，因此，概念的教學，不像過去過早采用抽象的繁瑣的文字來完整敘述，而是注重讓學生不斷積累感知經驗，在具體形象中逐步感悟概念的含義，并逐步對相關數學活動經驗進行歸納和提升，以達到對概念本質的豐富性理解。

三、溝通概念的聯系

孤立的概念容易被遺忘，而單一的概念也不成體系。倍的概念雖然本課是首次學習，但是學生在生活經驗中偶爾也會聽說。更重要的是，倍的概念與學生已經學過的相關知識間存在著很多的內在聯系。因此，在教學過程中，要不斷加強溝通和比較，使新建的概念納入學生原有的認知結構中，從而加深對概念的深度理解。

在引入倍的概念時，從求兩數相差多少的比較，過渡到用“倍”來進行比較，體現從“差比”到“倍比”的發展需要；新知學習時，首先從乘法的基本含義“幾個幾”出發，并通過“1份”和“幾份”的比較，初步建立倍的認知模型；接著在求一個數是另一個數的幾倍時，聯系除法的含義，通過運算再次形成倍的思維模型；然后通過變式練習活動，分別改變幾份數和改變一份數，讓學生鞏固對倍的概念的理解；在“1倍”這一特例的處理上，結合數量的變化過程，直觀地溝通起“1倍”與“同樣多”的聯系，并進一步溝通“1倍”和“幾倍”的關系。

四、體現概念的應用

學以致用是數學教學的重要目標。因此，數學教學中有意識地利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象，解決現實世界中的問題，這是培養學生應用意識的重要途徑。而低年級學生的認知規律啟示我們，只有設計目標多層、內容豐富和形式多樣的應用練習，才能順應兒童的心理特點和數學學科的本質。正如烏申斯基所說：“一般說來，兒童是依靠顏色、聲音、動作等感覺來進行思維的。”

從概念應用的目標來看，本課的應用體現為基礎性應用、對比性應用和發散性應用三方面；從概念應用的內容來看，本課主要體現為數學應用（應用倍的知識判斷兩數關系和列式計算倍數）、生活應用（判斷白球和彩球的倍數關系、紅蘿卜和白蘿卜的倍數關系等）和拓展應用（從12個圓圈中靈活尋找空白和涂色數量之間的倍數關系）三方面；從概念應用的形式來看，則有操作應用（包括擺小棒和測量）、運算應用（包括列式計算和選擇卡片）、游戲應用（包括拍手游戲和涂色游戲）三方面。

從這節課的教學可以看出，數學概念教學需關注四個要素，即來源、本質、聯系和應用。讓學生了解概念的產生和來源，有利于引發學生的認知動機，有利于為概念尋找現實意義；理解概念的本質和意義，有利于經歷概念的形成過程，有利于建構概念的數學模型；溝通概念間的內在聯系，有利于豐富學生的認知結構，有利于形成有效的知識系統；加強概念的練習和應用，有利于提高學生的應用意識，有利于培養學生的數學素養。

課始，教者組織相關舊知的復習，突出求一個數里有幾個另一個數的含義和除法運算，為本課學習求一個數是另一個數的幾倍做好必要鋪墊。而在生活情境中讓學生搜集數學信息，提出數學問題，比較數量多少，再引出一個數是另一個數的幾倍的新知。這樣的設計，從學生的數學現實出發，以舊引新，以新促舊，新舊比較，使學生了解“倍”概念產生的來龍去脈，為深入理解倍的本質打下重要基礎。

二、突出概念的本質

“倍”的本質其實就是幾個幾，是乘法和除法意義的進一步發展。如何讓學生在學習乘除法意義的基礎上理解“倍”的本質，是這節課教學的重點。在新知教學過程中，通過五步展開：第一步，初建倍的概念。用教具直觀演示講解，使學生在具體形象中了解6朵是2朵的3倍。第二步，引入除法運算。讓學生在動手圈畫圖形中進一步理解倍的概念，同時聯系求8里面有幾個2可以用除法計算。第三步，變化幾份數。通過8朵紅花變為10朵、12朵、4朵、2朵，藍花朵數不變，使學生在變式中理解倍的含義與算法。第四步，變化一份數。通過把藍花由2朵變為3朵、4朵、1朵，使黃花朵數依然是藍花的3倍，這要怎么做，讓學生在變和不變中深入理解倍的意義。第五步，歸納概括。讓學生結合具體的數量比較過程，歸納有關倍的含義，初步概括倍的本質特征。

新課程改革以來，數學概念的教學倡導“淡化形式，注重本質”，因此，概念的教學，不像過去過早采用抽象的繁瑣的文字來完整敘述，而是注重讓學生不斷積累感知經驗，在具體形象中逐步感悟概念的含義，并逐步對相關數學活動經驗進行歸納和提升，以達到對概念本質的豐富性理解。

三、溝通概念的聯系

孤立的概念容易被遺忘，而單一的概念也不成體系。倍的概念雖然本課是首次學習，但是學生在生活經驗中偶爾也會聽說。更重要的是，倍的概念與學生已經學過的相關知識間存在著很多的內在聯系。因此，在教學過程中，要不斷加強溝通和比較，使新建的概念納入學生原有的認知結構中，從而加深對概念的深度理解。

在引入倍的概念時，從求兩數相差多少的比較，過渡到用“倍”來進行比較，體現從“差比”到“倍比”的發展需要；新知學習時，首先從乘法的基本含義“幾個幾”出發，并通過“1份”和“幾份”的比較，初步建立倍的認知模型；接著在求一個數是另一個數的幾倍時，聯系除法的含義，通過運算再次形成倍的思維模型；然后通過變式練習活動，分別改變幾份數和改變一份數，讓學生鞏固對倍的概念的理解；在“1倍”這一特例的處理上，結合數量的變化過程，直觀地溝通起“1倍”與“同樣多”的聯系，并進一步溝通“1倍”和“幾倍”的關系。

四、體現概念的應用

學以致用是數學教學的重要目標。因此，數學教學中有意識地利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象，解決現實世界中的問題，這是培養學生應用意識的重要途徑。而低年級學生的認知規律啟示我們，只有設計目標多層、內容豐富和形式多樣的應用練習，才能順應兒童的心理特點和數學學科的本質。正如烏申斯基所說：“一般說來，兒童是依靠顏色、聲音、動作等感覺來進行思維的。”

從概念應用的目標來看，本課的應用體現為基礎性應用、對比性應用和發散性應用三方面；從概念應用的內容來看，本課主要體現為數學應用（應用倍的知識判斷兩數關系和列式計算倍數）、生活應用（判斷白球和彩球的倍數關系、紅蘿卜和白蘿卜的倍數關系等）和拓展應用（從12個圓圈中靈活尋找空白和涂色數量之間的倍數關系）三方面；從概念應用的形式來看，則有操作應用（包括擺小棒和測量）、運算應用（包括列式計算和選擇卡片）、游戲應用（包括拍手游戲和涂色游戲）三方面。

從這節課的教學可以看出，數學概念教學需關注四個要素，即來源、本質、聯系和應用。讓學生了解概念的產生和來源，有利于引發學生的認知動機，有利于為概念尋找現實意義；理解概念的本質和意義，有利于經歷概念的形成過程，有利于建構概念的數學模型；溝通概念間的內在聯系，有利于豐富學生的認知結構，有利于形成有效的知識系統；加強概念的練習和應用，有利于提高學生的應用意識，有利于培養學生的數學素養。