三角形里一個點
2014-02-14 19:10:12張景中
數學教學通訊·初中版 2014年1期
張景中
三角形中的一個點，居然導致經濟學家致電幾何學家，這里面藏有多少不為人知的奧秘？看似平凡的三角形卻讓眾多數學家得出很多不平凡的結論，這里面真的暗藏玄機？一個小小的圖形，卻是數學家的萬花筒，只要稍微一動，就會綻放光彩，如果信手拆開，原來只不過是幾片涂有顏色的紙片而已……
一天，幾何學家佩多教授接到了某位經濟學家打來的電話. 這位經濟學家向他請教：如果正三角形內有一個點P，那么，不管P的位置在三角形內如何變動，P到三角形三邊距離之和是否總是不變的呢？
佩多教授馬上給了讓他滿意的答復. 如圖1，把△ABC分成△PAB，△PBC，△PCA.
上式右端恰好是△ABC的高！
其實，那位經濟學家大可不必為此去麻煩佩多教授，一個初中二年級的學生就能給他滿意的答復，因為這個題目常常被選為平面幾何的習題！不過，它當初還是數學家維維安尼的一條定理呢！
但是，這個小小的習題卻啟發我們：從平凡的事實出發，有時a能得到并不平凡的結論.
不是嗎？把△ABC一分為三，這太平凡了. 但正是這一平凡的事實和另一個平凡的公式“三角形的面積等于底乘高之半”一結合，便得出一個有趣的結論.
就在三角形內隨便放一個點，這里就有不少文章可做. 例如，在圖2中，當然有S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，
上面這個題目著眼于重心G所分的兩線段之比，有的數學家想到了面積比，于是出了一些競賽題 .
也許你不曾想到，三角形內的這個點也是數學家發現某些有名結論的源泉呢.
17世紀的法國數學家費馬提出過這么一個問題：已知平面上有D，E，F 三點，尋求一點P，使（PD+PE+PF）最小.
事實上，在圖1中，如果D，E，F恰巧是某個正三角形三邊上的點，當PD，PE，PF分別與正三角形三邊垂直時，P就是所要求的點.
不信，另選一點Q比比看. （QD+QE+QF）當然要比Q到△ABC三邊距離之和要大！又Q到這三邊距離和與P到這三邊距離和是一樣的（如果Q在△ABC外，Q到三邊距離之和會更大），所以也就推出QD+QE+QF>PD+PE+PF.
這就表明P到D，E，F距離之和比任意另一點到這三點的距離都小！
如何確定點P呢？在圖1中，因為∠BAC，∠ABC，∠ACB都是60°，所以∠DPE，∠EPF，∠FPD都是120°. 如圖4，在EF邊和DE邊上分別向外作正三角形△EFR和△DES. 再作這兩個正三角形的外接圓交于不同于E的點P. 因為∠DPE與∠S互補，所以∠DPE=120°. 同理∠EPF=120°，當然∠DPF也是120°. 過D，E，F分別作PD，PE，PF的垂線，三條線自然圍成正三角形.
這樣，費馬的問題就被解決了，這是卡瓦利列首先發現的方法.
要補充一句的是：如果∠DEF=120°，兩圓的交點便不會落在△DEF之內，這時，P應當取在E點.
三角形中一個點，這樣簡簡單單的圖形變出了多少花樣啊！數學家眼里，一個基本圖形就像孩子手里的萬花筒，稍一轉動，就會出現一種美麗的花朵圖案. 但拆開來，只是幾片不起眼的涂有顏色的紙片而已.endprint
三角形中的一個點，居然導致經濟學家致電幾何學家，這里面藏有多少不為人知的奧秘？看似平凡的三角形卻讓眾多數學家得出很多不平凡的結論，這里面真的暗藏玄機？一個小小的圖形，卻是數學家的萬花筒，只要稍微一動，就會綻放光彩，如果信手拆開，原來只不過是幾片涂有顏色的紙片而已……
一天，幾何學家佩多教授接到了某位經濟學家打來的電話. 這位經濟學家向他請教：如果正三角形內有一個點P，那么，不管P的位置在三角形內如何變動，P到三角形三邊距離之和是否總是不變的呢？
佩多教授馬上給了讓他滿意的答復. 如圖1，把△ABC分成△PAB，△PBC，△PCA.
上式右端恰好是△ABC的高！
其實，那位經濟學家大可不必為此去麻煩佩多教授，一個初中二年級的學生就能給他滿意的答復，因為這個題目常常被選為平面幾何的習題！不過，它當初還是數學家維維安尼的一條定理呢！
但是，這個小小的習題卻啟發我們：從平凡的事實出發，有時a能得到并不平凡的結論.
不是嗎？把△ABC一分為三，這太平凡了. 但正是這一平凡的事實和另一個平凡的公式“三角形的面積等于底乘高之半”一結合，便得出一個有趣的結論.
就在三角形內隨便放一個點，這里就有不少文章可做. 例如，在圖2中，當然有S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，
上面這個題目著眼于重心G所分的兩線段之比，有的數學家想到了面積比，于是出了一些競賽題 .
也許你不曾想到，三角形內的這個點也是數學家發現某些有名結論的源泉呢.
17世紀的法國數學家費馬提出過這么一個問題：已知平面上有D，E，F 三點，尋求一點P，使（PD+PE+PF）最小.
事實上，在圖1中，如果D，E，F恰巧是某個正三角形三邊上的點，當PD，PE，PF分別與正三角形三邊垂直時，P就是所要求的點.
不信，另選一點Q比比看. （QD+QE+QF）當然要比Q到△ABC三邊距離之和要大！又Q到這三邊距離和與P到這三邊距離和是一樣的（如果Q在△ABC外，Q到三邊距離之和會更大），所以也就推出QD+QE+QF>PD+PE+PF.
這就表明P到D，E，F距離之和比任意另一點到這三點的距離都小！
如何確定點P呢？在圖1中，因為∠BAC，∠ABC，∠ACB都是60°，所以∠DPE，∠EPF，∠FPD都是120°. 如圖4，在EF邊和DE邊上分別向外作正三角形△EFR和△DES. 再作這兩個正三角形的外接圓交于不同于E的點P. 因為∠DPE與∠S互補，所以∠DPE=120°. 同理∠EPF=120°，當然∠DPF也是120°. 過D，E，F分別作PD，PE，PF的垂線，三條線自然圍成正三角形.
這樣，費馬的問題就被解決了，這是卡瓦利列首先發現的方法.
要補充一句的是：如果∠DEF=120°，兩圓的交點便不會落在△DEF之內，這時，P應當取在E點.
三角形中一個點，這樣簡簡單單的圖形變出了多少花樣啊！數學家眼里，一個基本圖形就像孩子手里的萬花筒，稍一轉動，就會出現一種美麗的花朵圖案. 但拆開來，只是幾片不起眼的涂有顏色的紙片而已.endprint
三角形中的一個點，居然導致經濟學家致電幾何學家，這里面藏有多少不為人知的奧秘？看似平凡的三角形卻讓眾多數學家得出很多不平凡的結論，這里面真的暗藏玄機？一個小小的圖形，卻是數學家的萬花筒，只要稍微一動，就會綻放光彩，如果信手拆開，原來只不過是幾片涂有顏色的紙片而已……
一天，幾何學家佩多教授接到了某位經濟學家打來的電話. 這位經濟學家向他請教：如果正三角形內有一個點P，那么，不管P的位置在三角形內如何變動，P到三角形三邊距離之和是否總是不變的呢？
佩多教授馬上給了讓他滿意的答復. 如圖1，把△ABC分成△PAB，△PBC，△PCA.
上式右端恰好是△ABC的高！
其實，那位經濟學家大可不必為此去麻煩佩多教授，一個初中二年級的學生就能給他滿意的答復，因為這個題目常常被選為平面幾何的習題！不過，它當初還是數學家維維安尼的一條定理呢！
但是，這個小小的習題卻啟發我們：從平凡的事實出發，有時a能得到并不平凡的結論.
不是嗎？把△ABC一分為三，這太平凡了. 但正是這一平凡的事實和另一個平凡的公式“三角形的面積等于底乘高之半”一結合，便得出一個有趣的結論.
就在三角形內隨便放一個點，這里就有不少文章可做. 例如，在圖2中，當然有S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，
上面這個題目著眼于重心G所分的兩線段之比，有的數學家想到了面積比，于是出了一些競賽題 .
也許你不曾想到，三角形內的這個點也是數學家發現某些有名結論的源泉呢.
17世紀的法國數學家費馬提出過這么一個問題：已知平面上有D，E，F 三點，尋求一點P，使（PD+PE+PF）最小.
事實上，在圖1中，如果D，E，F恰巧是某個正三角形三邊上的點，當PD，PE，PF分別與正三角形三邊垂直時，P就是所要求的點.
不信，另選一點Q比比看. （QD+QE+QF）當然要比Q到△ABC三邊距離之和要大！又Q到這三邊距離和與P到這三邊距離和是一樣的（如果Q在△ABC外，Q到三邊距離之和會更大），所以也就推出QD+QE+QF>PD+PE+PF.
這就表明P到D，E，F距離之和比任意另一點到這三點的距離都小！
如何確定點P呢？在圖1中，因為∠BAC，∠ABC，∠ACB都是60°，所以∠DPE，∠EPF，∠FPD都是120°. 如圖4，在EF邊和DE邊上分別向外作正三角形△EFR和△DES. 再作這兩個正三角形的外接圓交于不同于E的點P. 因為∠DPE與∠S互補，所以∠DPE=120°. 同理∠EPF=120°，當然∠DPF也是120°. 過D，E，F分別作PD，PE，PF的垂線，三條線自然圍成正三角形.
這樣，費馬的問題就被解決了，這是卡瓦利列首先發現的方法.
要補充一句的是：如果∠DEF=120°，兩圓的交點便不會落在△DEF之內，這時，P應當取在E點.
三角形中一個點，這樣簡簡單單的圖形變出了多少花樣啊！數學家眼里，一個基本圖形就像孩子手里的萬花筒，稍一轉動，就會出現一種美麗的花朵圖案. 但拆開來，只是幾片不起眼的涂有顏色的紙片而已.endprint
