例說解題方法的改進

李劍

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）01-0114-01

我相信許多數學教師都會發現，不少學生雖然喜歡解題，但只考慮答案的對否。題目一旦獲解，就會產生滿足感，往往不愿意再回頭看看，不愿意再想想這種解決是否最佳，忽略解題后的再思考，這是非常可惜的，因為這樣恰好錯過了提高的機會，無異于“入寶山而空手回”。美藉數學家波利亞曾有一句名言：沒有任何一道題是可以解決得十全十美的，總會有點滴的發現，總能改進這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平。

仿照他的做法，我與我的初中畢業班學生一起，也經常分析，力圖開發解題智慧，并收到一些效果。

一、通過介紹“改進‘曹沖稱象的方法”提高學生對開發智慧的認識

“曹沖稱象”這個千古流傳的故事，稱贊了年僅七歲的曹沖智慧過人，解決了當時歷史條件下的一道非常規數學應用題。為了開發解題智慧，我引導學生想一想，這種方法是否還可以改進。羅增瑞教授曾就這個問題與一位小學二年級學生進行探討。在他的啟發下，這位小學生最后得出：“組織圍觀的人代替石頭，要不，趕一群羊上船也行，既省工又省時。”看到這里，相信讀者也會與羅教授一樣高興，稱贊這個方法確實比曹沖強。由此，也一定能得出以下結論：（1）即使是“智慧典范”的解題過程也會有解題愚蠢。（2）即使是對小學生進行解題過程的分析與啟引，也能開發解題智慧來。

通過這個生動事例的介紹與講解，同學們都感到解題分析的前景是廣闊的，從而大大增強了他們的信心。

二、通過具體的解法的改進，開發學生的解題智慧

1.抓住本質。例1：如果關于x、y的二元一次方程組 。

評析：這道題，有些同學會很匆忙把x、y代入第一個方程組，求出a、b后再解第二個方程組，這明顯是解題的愚蠢了。我們知道，對于同一類方程（組），它的解取決于它的系數，而與它采用的字母無關，這道題前后兩個方程組，雖然表面不同，但只要把第二個方程組的x+y、x-y分別看成兩個整體變元，那么它與第一個方程中的系數就相同，那么它的解也應相同，即有 抓住問題的本質，運用方程的思想，解這道題就容易多了。

2.考慮題型。例2：某個體戶在一次買賣中，同時賣出兩件上衣，每件以135元出售，若按成本計算，其中一件盈利25%，另一件虧本25%。在這次買賣中這個個體戶是（ ）。

A、不賺不賠 B、賺9元 C、賠18元 D、賺18元

請比較下面兩種解法：

解法1（直接法）：設兩件上衣成本分別為x、y，依題意

解法2（篩選法）：因虧本那件上衣成本肯定大于135元，其虧的款大于25%×135，而盈利那件上衣成本肯定小于135元，真賺的款小于135×25%，由此可知這個買賣肯定是賠，故可刪除A、B、D，選C。

顯然，解法2比解法1簡捷，根據題目類型，采用不同解法，往往能達到事半功倍的效果。

3.“問道于零”。例3，閱讀下面的解題過程：已知a、b、c為△ABC的三邊，且滿足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，試判斷△ABC的形狀。

解：∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴（A）

∴c²（a²-b²）= （a²+b²）（a²-b²） （B）

∴c²= a²+b²（C）

∴△ABC是直角三角形

問：①上述解題過程，從哪一步開始出現錯誤，代號 ；②錯誤的原因為___________；③本題的結論是___________ 。

評述：我國著名數學家傅種孫先生說過：“總之，在中學代數，把根本概念的難關通過后，每遇困難，即問道于零可爾，當教師的人，能對零謹慎小心，則受福無量矣！”閱讀分析解題過程可發現（C）步錯誤，原因是a2-b2可以為零，當學生在解代數題過程中，思路受阻或出現錯誤，教師若引導學生“問道于零”，往往可“受福無量”。

4.結合實際。例4：（丟番圖的墓碑趣題）他生命的六分之一是幸福的童年，再活了他壽命的十二分之一，兩頰長起了細細的胡須；他結了婚，又度過了一生的七分之一；再過5年，他有了兒子，可是兒子只活了他父親全部年齡的一半；兒子死后，他在極度悲痛中過了四年，也與世長辭了。請回答：①他結婚時的年齡；②他開始當爸爸時的年齡；③他兒子死時他的年齡；④他去世的年齡。

評析：這是人教版初中代數第一冊（上）“想一想”的內容，選自世界上許多國家的中學代數教材或趣味代數，課外讀物中的著名問題。學生一般是這樣解的：設他去世時的年齡為x，依題意得x=+++5++4，通過解方程可得出全部結果。

深入想一想，這道題是否可以不列方程，而求解呢？不少學生馬上意識到，這是可能的，因為從題意可知，他的年齡應當是6、12、7、2的最小公倍數84，其它公倍數是不可能的，例如168，則其六分之一應是28，28歲是童年嗎？而一般人也活不到168歲。

認真引導學生進行解題分析，開發解題智慧，通過有限道題的學習培養解無限道題的解題機智，提高他們分析問題、解決問題的能力，這是數學教學的目的所在。對那些獨到的、新疑的、絕妙的解法以特別的鼓勵，這對培養學生的創新思維習慣更具有積極意義。

（責任編輯 劉凌芝）endprint