不同噪聲下幾種濾波方法的比較研究及改進*

章浙濤 朱建軍 匡翠林 柯宇超

1)中南大學測繪與國土信息工程系，長沙 410083

2)河海大學大禹學院，南京211100

1 引言

GPS 技術已在變形監測領域得到廣泛應用，但由于受各種因素影響，GPS 數據中受到不同類型及不同程度噪聲的污染，這會對后續數據分析產生不良影響，因此如何消除噪聲已經成為一項重要任務［1－7］。

在GPS 變形監測數據中噪聲的污染情況千差萬別，不同濾波方法在處理不同類型的噪聲時效果各有優劣，因此根據GPS 數據所含噪聲的污染情況，選取最佳的濾波方法去噪是一個關鍵問題。由此，本文研究了在不同單一噪聲污染下小波濾波、中值濾波以及均值濾波的去噪效果，同時討論了不同混合噪聲污染下幾種組合濾波方法的去噪效果。結合三種單一濾波方法，提出了一種改進的組合濾波方法，即先通過頻率域的小波濾波，再使用空間域的中值濾波和均值濾波方法。

2 GPS 數據濾波方法

GPS 信號的模型為:

2.1 均值濾波

均值濾波的表達式為［8］:

2.2 中值濾波

中值濾波的數學表示為［9］:

2.3 小波濾波

小波分解及其重構表達式為［10］:

其中，y(n)為觀測歷元數據，Wy(a，b)為小波分解系數，ψab為小波基函數，a 為伸縮因子，b 為平移因子，＜ ＞為內積，是ψ 的共軛。

2.4 改進的組合濾波方法

改進的組合濾波方法，即利用小波濾波對信號頻率域的分離特性，中值濾波對突變信息空間域的檢測能力以及均值濾波對信號空間域的平滑性質，通過合理的順序將這三種方法相結合(圖1)。即在進行頻率域的小波濾波和空間域的中值濾波方法的基礎上，再使用均值濾波方法進行處理。

該方法不但能夠有效剔除高頻噪聲，還具有較強的抵御粗差能力，另外能夠保證數據的光滑性，因此是一種較好的組合濾波方法。

圖1 改進的組合濾波方法流程圖Fig.1 Flow chart of the improved composite filtering method

3 模擬試驗分析

3.1 試驗設計

為了比較均值濾波、中值濾波、小波濾波及組合濾波在不同噪聲影響下的去噪效果，試驗模擬了一組GPS 變形監測數據并加入各種噪聲，用不同濾波方法進行處理。模擬變形監測數據如圖2 所示，其包含3 個不同周期的正弦信號以及1 個低頻趨勢信號，信號長度為1 000 個采樣點，采樣頻率為1 Hz。數據模型為:

式中前三項為周期分別是800 s、200 s 以及50 s 的正弦信號，第四項為一個低頻趨勢信號。為了定量比較去噪效果，選用最為常用的指標信噪比(SNR)作為評判依據［11］，表達式為:

為了保證試驗的可靠性，各濾波方法選取最為常用的參數。均值濾波和中值濾波中選用最為通用的5 點均值濾波和5 點中值濾波方法［7］;使用小波濾波時，小波基函數選取具有正交性和高度緊支撐性的db6 小波基，其濾波器長度為12，消失矩為6，根據信號特點將分解層數定為5，采用較好的軟閾值處理方法，閾值大小根據啟發式閾值準則選取。

圖2 模擬的變形監測數據Fig.2 Simulated deformation monitoring data

3.2 單一噪聲污染情形

方案一按污染程度由小到大分別加入信噪比為2 ～10 dB 間隔為1 dB 的9 種高斯噪聲;方案二按污染程度由小到大分別加入粗差率為0.04 ～0.2 間隔為0.02 的9 種粗差，利用均值濾波、中值濾波及小波濾波進行處理，處理結果如圖3。

圖3 去噪效果Fig.3 De-noising effect

由圖3(a)可以發現，三種濾波方法都能對高斯噪聲進行有效剔除，其中小波濾波效果最好，均值濾波次之，中值濾波最差;分析圖3(b)可知，三種濾波方法同樣能對粗差進行剔除，但中值濾波效果遠優于其他兩種方法，其中小波濾波又好于均值濾波。根據試驗和三種濾波方法的原理進行分析，小波濾波、均值濾波在處理高斯噪聲時具有更好的效果，小波濾波是從頻率域上對高斯噪聲進行消除，而均值濾波是在空間域上對高斯噪聲進行平滑處理，由于高斯噪聲具有高頻特性，因此在頻率域上消除高斯噪聲精度更高;中值濾波則在處理粗差方面具有獨特優勢，通過排序能夠剔除粗差值，而小波濾波經過頻率域處理不能準確剔除粗差，只能進行抑制，均值濾波則是將突變信息平攤到周圍點上，并沒有真正剔除粗差。由此在處理高斯噪聲時，偏向于選擇小波濾波以及均值濾波方法，處理粗差時則偏向于中值濾波方法。

3.3 混合噪聲污染情形

根據實際經驗并結合正交試驗設計思想，將污染情況分為9 種并加入到模擬數據中，高斯噪聲信噪比和粗差率分別為:2/0.02、2/0.012、2/0.004、6/0.02、6/0.012、6/0.004、10/0.02、10/0.012、10/0.004，這9 種情況基本涵蓋了實際工程中GPS 數據所含的噪聲情況。鑒于單一濾波方法具有各自的局限性，因此考慮組合濾波方法來處理這9 種加噪模擬數據。由于小波濾波和中值濾波分別在處理高斯噪聲和粗差時效果較好，因此使用將兩者結合的組合濾波方法，采用文獻［5］的先中值濾波后小波濾波的方法，文獻［6］的先小波濾波后中值濾波的方法，文獻［7］的基于高頻中值濾波的小波濾波方法，另外還使用了本文的改進方法，同時與均值濾波、中值濾波和小波濾波進行比較研究。其中在2/0.02 的噪聲污染水平下，加噪信號與利用改進方法進行去噪得到的信號如圖4 所示，可以看到在噪聲污染最嚴重的情況下，依然能夠取得非常好的去噪效果。

各濾波方法的去噪效果如表1 所示，同時利用統計學思想，計算各方法去噪信號的平均信噪比見表2。

圖4 改進方法的去噪效果Fig.4 De-noising effect of the improved method

根據表1、2 可知，去噪效果最好的是改進的組合濾波方法，證明基于頻率域的信息分離結合空間域的粗差剔除和數據平滑，可以起到比較好的去噪效果;三種其他組合濾波方法均不同程度地優于單一濾波方法;總的來說，三種單一濾波方法中，小波去噪效果最好，中值濾波、均值濾波次之;從整體上看，先小波濾波后中值濾波比先中值濾波后小波濾波去噪效果要好，如果先用中值濾波進行處理，容易破壞信號的頻譜特性，除非待處理信號粗差率比較高，如在10/0.02 的污染下先中值濾波效果較好，一般來講優先使用小波濾波再進行中值濾波，只有在高斯噪聲污染十分輕微而粗差污染非常嚴重的情況下才考慮使用先中值濾波后小波濾波的方法;基于高頻中值濾波的小波濾波雖然在去噪精度上略差于先小波濾波后中值濾波方法，但是其集中處理高頻信息的性質，在一些復雜的觀測條件下更能防止破壞原始信息，因此也是一種較為實用的方法。

表1 各種方法去噪效果比較Tab.1 Effects comparison of various de－noising methods

表2 各方法的平均信噪比Tab.2 Average signal-to-noise ratio of various methods

5 結論

基于頻率域的小波濾波以及空間域的中值濾波和均值濾波方法，可以有效地處理GPS 變形監測數據，在剔除高斯噪聲的同時還具有抗粗差性和光滑性，去噪效果優于傳統方法，具有良好的工程應用價值。

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