簡諧運動的物理模型

李小蕾

摘 要： 本文就參考圓對研究簡諧運動的規律的妙用作了概述。

關鍵詞： 簡諧運動 物理模型 參考圓 妙用

構建物理模型，是研究物理問題的科學方法和重要手段。在簡諧運動的描述中，引入物理模型“參考圓”，不僅使簡諧運動方程的推導簡單易行，而且對抽象概念（如圓頻率，相位）的理解更具體形象。對學生而言，既降低了學習難度，明白了振動和圓周運動的聯系，又體驗到了科學的研究方法，為今后進一步探究簡諧運動的規律開辟了廣闊天地。那么，什么是參考圓呢？參考圓對研究簡諧運動的規律有什么妙用呢？本文概述如下。

一、簡諧運動的物理模型——參考圓

設想一個質點做勻速圓周運動，其圓心就是簡諧運動的平衡位置。半徑為簡諧運動的振幅A，過圓心建立直角坐標系（如圖1）。以y軸為參照，則做勻速圓周運動的質點P在x軸上的投影的運動就是簡諧運動。反過來，可以把任何一個實際的簡諧運動設想為一個和它相對應的勻速圓周運動的投影，這個設想的圓周就叫參考圓。

圖1

二、參考圓的妙用

1.易推導簡諧運動的方程

做簡諧運動的振子P看成是做勻速圓周運動的質點P在x軸上的投影。設t=0時P所在位置的半徑與y軸的夾角為φ，若做勻速圓周運動的質點P的角速度是ω，經過時間t，P所在位置的半徑與y軸的夾角是（φ+ωt），則振子在t時刻偏離平衡位置的位移為：

X=Asin（φ+ωt）

這就是簡諧運動的振動方程。

2.好理解圓頻率、相位、初相概念的物理意義

通過簡諧運動方程的推導，使學生體會到參考圓不僅能將振動和勻速圓周運動聯系起來，而且進一步對較難理解的圓頻率ω、相位（φ+ωt）、初相φ這些抽象的概念有了具體形象的認識：簡諧運動的圓頻率ω就是做勻速圓周運動的角速度；簡諧運動的初相φ就是初始時刻振子所對應的參考圓上的質點所在位置的半徑與y軸的夾角；相位（φ+ωt）就是t時刻振子所對應的參考圓上的質點所在位置的半徑與y軸的夾角。有了參考圓，把抽象變形象，降低了學習難度，加深了對概念的理解。

3.能探究簡諧運動的周期公式

做勻速圓周運動的質點在x軸上的投影就是做簡諧運動的振子。假設t=0時φ=0（如圖2）。

對做簡諧運動的振子：

∵F■=kx

X=Asinωt

∴F■=kAsinωt

與之對應的做勻速圓周運動的質點：

∵F■=mω■A

該向心力在x軸上的分力就是振子做簡諧運動的回復力

∴F■=F■sinωt

即kAsinωt=mω■Asinωt

∴ω=■

故T=■=2π■

這個推導過程實在精彩，突出了物理模型對解決物理問題的重要性。它給學生用科學方法探究物理規律以啟迪，同時也提高了學生綜合運用知識的能力。

4.巧判斷簡諧運動■時間內振子的最大路程

簡諧運動是變速運動，具有對稱性的特點。在■時間內運動的路程又具有多解性，其結果取決于振子初始時刻的位置和振動方向。要判斷■時間內振子運動的最大路程對學生來說是個難點，教學中更多采用函數求極值的辦法。但我們若能巧用參考圓，稍作分析就可判斷出振子在■時間內運動的最大路程。

圖3

當振子在以O點為中心的■時間內運動時，其平均速度最大，則運動的路程也是最大。所以在剛好運動到距平衡位置O點的■的時間內的位移是最大路程的一半。而振子所對應的做勻速圓周運動的質點在該■時間內轉過的角度是■，故振子在■時間內運動的最大路程為

S■=2x=2Asin■=■A.