空間解析幾何教學中培養學生探究能力的思考

張 靜，牛冬平

(通化師范學院 數學學院,吉林 通化 134002)

1 問題提出

空間解析幾何的基本思想是用代數的方法研究、解決空間幾何結構問題，因此以向量為工具，用坐標表示點，用方程表示空間曲線、曲面，討論空間曲線、曲面等圖形的形成過程，各種圖形的性質特征，以及圖形之間的關系成為了空間解析幾何課程的主要內容．在該課程的教學中，以幾何畫板作為輔助教學的工具，以點、線、圓為基本元素，通過對這些基本元素的變換、構造、計算、跟蹤軌跡，構造出較為復雜的圖形，動態演示復雜圖形的形成過程，揭示圖形的變化規律進而探究空間幾何規律．

面對素質教育和創新教育的基礎教育改革，在空間解析幾何教學中如何有效利用信息技術，培養學生自主學習的能力，掌握自主學習的方法，從而培養學生的自主探究意識，促進其探究能力的形成，是擺在普通高等院校數學教育工作者面前的重要課題．

2 探究能力的內涵及模式

2.1 探究能力的內涵

探究能力是一種綜合的能力，主要指圍繞某個問題，自主探索、自主研究、自主學習的心理能力，包括通常所說的追根究底、好奇，企圖自己弄清事情等．它包括五部分：敏銳的觀察力；提出、分析和概括問題的能力；思維的獨創性；評價批判的能力；收集處理信息的能力．學生的探究能力是學生順利完成探究活動的心理條件，是研究過程所必需的能力．

2.2 培養探究能力的模式

美國《國家科學教育標準》認為 “探究是一種多側面的活動”，依據該定義，空間解析幾何教學中培養學生探究能力模式的基本流程是：提出問題→搜集數據→交流研討→做出答案→評價反思．可將課內、課外有機整合，使學生在不斷分析問題、解決問題的過程中發展和完善探究能力，進而培養學生的創新能力．

3 利用幾何畫板培養學生的探究能力的實踐路徑

空間解析幾何教學過程中，培養學生探究能力的實踐路徑就是以幾何畫板為平臺，制作動態圖形，通過動態演示幾何圖形的形成過程，激發學生探究欲望，引導學生發現問題，進而培養學生創新思維，完善探究能力．

3.1 通過創設問題情境，激發學生的探究欲望

興趣使人的探究和認識活動染上強烈、肯定的色彩，激發學生強烈的求知欲，推動學生自主探究．在空間解析幾何教學中，教師有效利用幾何畫板設計動態圖形,充分體現數形結合思想,幫助學生分析問題，最終找到問題的答案,進而培養學生的創新精神和實踐能力.變被動、消極的“要我學”為主動、積極的“我要學”，使學生主動參與到探究性學習活動中來．

例如，在研究直線與平面的相關位置時，教師可以利用幾何畫板動態地展示直線與平面的相關位置，學生很容易判斷出直線與平面具體的位置關系(相交、平行、直線在平面上)，但如果進一步提出這些位置關系與直線方程和平面方程的哪些參數有關，有著什么樣的關系時，這些問題僅憑空間想象就難以解決了．如果學生進一步觀察圖形的動態變化，自主地進行分析和研究，就會發現這些位置關系和直線的方向向量及平面的法向量有關，并且能總結出其具體關系．在這個過程中，幾何畫板的應用，使學生在問題的引導下，自主參與幾何圖形變化規律的探討中，激發了他們的探究欲望.

3.2 通過引導學生發現問題，培養自主探究精神

空間解析幾何教學中討論曲面的方程是一類重要問題，常見曲面的方程雖然有其特定的解法，若教師在教學中直接給出固定解法，不利于學生面對新問題時及時找出解決問題的方法．因此，教師作為學生的指導者，應有效利用幾何畫板，營造問題情境，鼓勵學生質疑，以創造者的姿態進行探究式、發現式學習，發現問題，大膽地提出問題，從而激發他們的探究意識．

例如，在教授旋轉曲面及其方程時，可以選取空間中兩條異面直線，其中一條作為母線，另一條作為旋轉軸，將母線繞旋轉軸旋轉一周后得到旋轉曲面，即旋轉單葉雙曲面．在此過程中利用幾何畫板的動態描述，使學生從視覺角度直觀地認識到旋轉單葉雙曲面形成的同時，也對旋轉曲面有了深刻地理解．進一步地，教師應鼓勵學生向自己提問，引導學生根據旋轉單葉雙曲面上任意點的特征，結合曲面的形成過程，啟發學生思考旋轉單葉雙曲面的方程．并以此過程和方法為基礎，再深入思考一般的旋轉曲面方程的求解方法，以此逐步培養學生的自主探究精神．

3.3 通過鼓勵學生積極思考，培養學生創新思維

學生是學習的主體，是意義的主要構建者，所以在教學過程中，教師要合理運用幾何畫板，使學生在實際情境下進行學習,并應充分利用多種方式，展示知識產生和發展的過程，誘發學生的創新靈感，幫助學生構建新的知識體系．鼓勵學生積極思考，激發學生的聯想思維、學習興趣與好奇心,有效地降低學生的恐懼感，使學生能利用自己原有知識,去同化和索引當前學習到的新知識,從而在新舊知識之間建立起聯系．

例如，在教授平面與空間直線內容時，教師可結合直線與平面相關位置的研究，通過一步步地誘導，利用幾何畫板展現圖形的動態變化過程，引導學生進一步思考、探討空間兩直線的相關位置，以及在此過程中直線的方向向量之間的關系．這一過程可以使學生經歷數學知識的再發現、再創造過程，加深對知識的理解，激發學生學習的積極性，有效培養學生的創新意識，逐步提高學生探究能力與創新思維能力．

3.4 通過設計數學實驗環境，培養探究能力

在數學教學中,教師不僅要培養學生嚴謹的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力,還要培養學生數學建模能力和數據處理能力,加強在“應用數學”方面的教育.其中最好的方式就是用多媒體軟件或諸如幾何畫板這樣的工具軟件,為學生創設數學實驗情境.通過數學實驗的創設,學生更能體會數學的魅力,了解數學的實踐意義,感受數學所帶來的樂趣.

例如，學生在學習橢球面、雙曲面、拋物面這些復雜的二次曲面時，一般要從曲面的對稱性、曲面與坐標軸的交點、與坐標面的交線以及與坐標面平行的平面截割曲面時得到的截線等幾方面去認識和了解這些二次曲面的圖形特征．其中比較復雜的雙曲面、橢圓拋物面、雙曲拋物面(又稱馬鞍面)對學生來說是學習的難點，如果在這些內容的教學過程中教師借助幾何畫板，按照由簡單到復雜的過程，營造實驗空間，給學生提供實踐和自主探究的機會，引導學生在探究過程中發現問題、分析問題和解決問題，這樣不僅可以使學生清楚直觀地了解這些曲面的幾何特征，還能提升學生的實際操作能力，養成良好的探究習慣，形成探究能力．

4 利用幾何畫板培養學生探究能力的幾點建議

(1)設計合適的探究內容.在明確探究任務和目標后，需選定恰當的探究內容．這對整個探究性學習是至關重要的．探究性學習內容首先是基于探究的，能與各種探究工具自然地整合．另外，它還應滿足學生的身心發展，激發學生的探究欲望，有利于學生進行探究性學習．筆者認為空間解析幾何的教學中可以選擇規律性強的，或者靜態圖形難以反映曲線、曲面幾何特征的內容作為學生探究學習的內容．總之，符合這些條件的探究性內容，應該基于探究目標，與學生生活密切有關，能激發學生的探究意識，激勵學生探究性學習，促進學生探究能力的形成．

(2)及時向學生提供指導.幾何畫板是空間解析幾何教學中學生進行自主探究學習的有利工具，但學生對其掌握水平的大小會影響學習的積極性，進而影響整個探究性學習的效率和效果．因此，教師可以以集體的方式進行教授，或個別輔導，逐步提高學生運用幾何畫板的能力，增強學生探究信心．在實際的探究性學習過程中，學生探究的自主性需要教師的引導、啟發，要及時向學生提供指導，防止學生在探究過程中迷失方向．

(3)及時給予學生反饋與評價.心理學認為，及時反饋的效果最好．因此教師應找準最佳時機及時評價，讓學生受到最有效的教育刺激．通過反饋信息，讓學生了解到自己在探究性學習過程中出現的失誤，及時改正、完善并制定下一步探究計劃．當學生得出探究結論時，教師應盡快通過系統或當面給予評價和鼓勵，增強學生探究的興趣和信心，進一步挖掘學生的潛能，完善學生的探究能力．

總之，探究能力的培養是一個長期的系統工程，需要教師、學生的共同努力．在教學過程中，利用幾何畫板，制作動態幾何圖形，注意發掘問題，巧妙設計情景，營造探究的環境，引導學生觀察問題，提出問題，通過多元化學習模式，合作研究小組，自主設計調研方案，合作研究中模擬實驗，分析數據，給出答案，不斷討論修正研究結果，形成研究報告，當然，這個過程的實現，有待于設計發展學生能力為目標的考試方式．

參考文獻：

[1]張書陶,韓亞洲.《幾何畫板》在空間解析幾何教學中的應用[J].科教文匯(理工),2010:92-93.

[2]李曉偉.基于幾何畫板的中學數學課堂探究式教學的研究[D].長春:東北師范大學,2006.

[3]周亮.中學數學研究性實驗教學初探[D].武漢:華中師范大學,2008.

[4]陳英.高中數學教學情境創設的有效策略[J].數學大世界,2012(1):15-16.