環中Lie理想上的右導子

王奕涵,王云慶

(吉林師范大學 數學學院,吉林 長春 130103)

1 引言

環論是代數學的基礎，有許多其它相關的學科都涉及到環的知識．而一個環中，導子的性質與環的構造有深刻的聯系，所以利用對導子的研究來討論環的性質具有重大的意義．自從1957年，E.C．Posner[1]證明了帶有非零中心化導子的素環一定是交換環后，許多學者從不同的方面，利用大量的方法推廣了Posner的定理，并取得了豐碩的成果．例如1969年，Herstein[2]的一個重要結果表明：在2-扭自由素環上，任意的Jordan導子是導子；隨后Bresar[3]給出了這個結果的簡單證明；Awtar[4]在1984年又將這一結果推廣到Lie理想上；而M.Ashraf[5]通過對環R的限制(2-扭自由素環)，獲得了任意Jordan左導子是左導子的結果，并在Lie理想上得到了一些恒等式，受M.Ashra的結果的啟發，我們在環的Lie理想中將左導子進行推廣，得到了一些恒等式并給出證明.

2 預備知識

本文中，R表示帶有中心為Z的結合環.有交換子[x,y]=xy-yx.

定義1 設非空的集合R有兩個代數運算，一個稱為加法，用+表示，另一個稱為乘法，用·表示，如果對任意a,b,c∈R，有

(1)R對加法做成一個加群；

(2)R對乘法滿足結合律，(ab)c=a(bc)，即是一個半群；

(3)乘法對加法滿足結合律，a(b+c)=ab+ac，(b+c)a=ba+ca；

則稱R對這兩個代數運算做成環.

定義2 若環R滿足aRb=0，有a=0或b=0，則稱R為素環．

定義3 設M是一個R-模，如果有r∈R，r≠0，使ra=0，則稱M中元素a為扭元素；如果不存在R中非零元素r使ra=0，則a稱為自由的．

定義4 若滿足[u,r]∈U，u∈U，r∈R,則環R的可加子群U稱為R的Lie理想．

定義5 對所有的x,y∈R，若有d(xy)+xd(y)+yd(x)成立,則可加映射d:R→R稱為左導子.

注：環R上任意一個左導子是Jordan左導子，然而Jordan左導子不一定是左導子，除非當環R是2-扭自由素環時，有Lie理想中的任意Jordan左導子是左導子．

類似的，給出右導子定義.

定義6 對所有的x,y∈R，若滿足d(xy)=d(x)y+d(y)x,則可加映射d:R→R稱為右導子.

3 主要結果

首先給出以下引理，這些結果對定理的證明有很大的幫助.

引理1 設R是任意的環，U是R的Lie理想，且滿足u2=U，u∈U，則對任意的u,v∈U，有2uv∈U成立.

引理2 令R是2-扭自由素環，對a,b∈R，滿足aUb=0，則a=0或b=0.

引理3 若U?Z是2-扭自由素環R的Lie理想，如果滿足[U,V]?Z，則U?Z．

引理4 令R是2-扭自由的環，U是R的Lie理想，對所有u∈U，有u2=U.若可加映射d:R→R，滿足d(u2)=2ud(u)，u∈U，則：

(i)d(uv+vu)=2ud(v)+2vd(u);

(ii)d(uvu)=u2d(v)+3uvd(u)-vud(u);

(iii)d(uvw+wvu)=(uw+wu)d(v)+3uvd(w)+3wvd(u)-vud(w)-vwd(u);

(iv)[u,v]ud(u)=u[u,v]d(u);

(v)[u,v](d(uv)-ud(v)-vd(u))=0;其中u,v,w∈U.

定理1 令R是2-扭自由的環，U是R的Lie理想，對所有u∈U，有u2=U.若d:R→R是可加映射，且滿足d(u2)=2d(u)u，u∈U，則

(i)d(uv+vu)=2d(u)v+2d(v)u;

(ii)d(uvu)=d(v)u2+3d(u)vu-d(u)uv;

(iii)d(uvw+wvu)=d(v)(uw+wu)+3d(w)vu+3d(u)vw-d(w)uv-d(u)wv;

(iv)d(u)u[u,v]=d(u)[u,v]u;

(v)(d(uv)-d(v)u-d(u)v)[u,v]=0;其中u,v,w∈U.

證明 (i)因為uv+vu=(u+v)2-u2-v2,所以uv+vu∈U，u,v∈U，從而結果可證.

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(ii)由于uv+vu∈U，在(i)式中用uv+vu替換v,可得下式：

d(u(uv+vu)+(uv+vu)u)=
4d(v)u2+6d(u)vu+2d(u)uv

(1)

另一方面，

d(u(uv+vu)+(uv+vu)u)=
d(u2v+vu2)+2d(uvu)=
2d(v)u2+4d(u)uv+2d(uvu)

將上式與(1.1)式結合可得結果.

(iii)在(ii)式中，用u+w替換u，即對u線性化可得

d((u+w)v(u+w))=
d(v)u2+d(v)w2+d(v)(uw+wu)+
3d(u)vu+3d(w)vu+3d(u)vw+3d(w)vw-
d(u)uv-d(w)uv-d(u)wv-d(w)wv

(2)

而

d((u+w)v(u+w))=
d(uvu)+d(wvw)+d(uvw+wvu)=
d(v)u2+3d(u)vu-d(u)uv+d(v)w2+
3d(w)vw-d(w)wv+d(uvw+wvu)

(3)

將(2)式與(3)式聯立可證；

(iv)因為uv+vu∈U且uv-vu∈U，對所有u,v∈U，可得2uv∈U.因此由假設可知，d((uv)2)=3d(uv)uv.在(iii)中用2uv替換w，且由題設，R的特征不為2，可得

d(uv(uv)+(uv)vu)=
d(v)(u2v+uvu)+3d(uv)vu+3d(u)v2u-
d(uv)uv-d(uvuv)

(4)

d((uv)uv+(uv)vu)=d((uv)2+uv2u)=
2d(uv)vu+2d(v)vu2+3d(u)v2u-d(u)uv2

(5)

聯立(4)與(5)，對u,v∈U，

有

d(uv)[u,v]=d(v)[u,v]u+d(u)[u,v]v

(6)

在(6)式中，用u+v代替v，有

2d(u)u[u,v]+d(uv)[u,v]=
2d(u)[u,v]u+d(v)[u,v]u+d(u)[u,v]v.

再應用(6)可證得結論.

(v)在(iv)中對u線性化，即

d(u)u[u,v]+d(v)v[u,v]+d(v)u[u,v]+
d(u)v[u,v]=d(u)[u,v]u+d(v)[u,v]u+
d(u)[u,v]v+d(v)[u,v]v

其中u,v∈U，由(iv)和(1.6)式可知d(v)u[u,v]+d(u)v[u,v]=d(uv)[u,v]，

因此，(d(uv)-d(v)u-d(u)v)[u,v]=0，u,v∈U.證畢．

推論1 令R是2-扭自由的環，U是R的Lie理想，對所有u∈U，有u2=U.若d:R→R是可加映射，且滿足d(u2)=2d(u)u，u∈U，則對任意u,v∈U，有(1)d([u,v])[u,v]=0;(2)d(v)(u2v-2uvu+vu2)=0.

4 結語

本文在2-扭自由環R的Lie理想U上，討論了當可加映射d滿足右導子條件時，具有的一些性質，并得到了一些恒等式，進而給出了推論．從而對環的性質的完整性具有重要意義．隨著對導子的研究不斷深入，許多學者將導子的形式進行了推廣，從而今后我們還可以在以下方面進行研究：(1)將2扭自由環推廣到半素環，素環或帶有對合的環上；(2)在環的Lie理想上，可將右導子推廣到廣義右導子，Jordan右導子，(θ,φ)導子等；(3)將Lie理想換成Jordan理想，Lie理想，Jordan理想等.

參考文獻：

[1]Posner,E.C..Derivations in prime rings,Proc[J].Amer.Math.Soc,1957,8:1093-1100.

[2]Herstein,I.N.Topics in ring theory[M].Chicago：Univ.of Chcago Press,1969.

[3]Bresar,M.and Vukman,J..Jordan derivations of prime rings[J].Bull.Aust.Math.Soc,1988,37:321-322.

[4]Awtar,R..Lie ideals and Jordan derivations of prime rings[J].Proc.Amer.Math.Soc,1984,90:9-14.

[5]M.Ashraf and N.Rehman.On Lie ideals and Jordan left derivations of prime rings[J].Arch.Math.(Brno)，2000,36(3):201-206.

[6]Bergen,J.,Herstein,I.N.and Ker,J.W..Lie ideals and derivations of prime rings[J].Algebra，1981,71:259-267.

[7]Bresar,M.and Vukman,J..On left derivations and related mappings[J].Proc.Amer.Math.Soc.，1990,110:7-16.

[8]Deng,Q..On Jordan left derivations,Math[J].Okayama Univ,1992,34:145-147.