中職立體幾何相關(guān)概念教學(xué)探新

習(xí)明（桐廬電大進(jìn)修學(xué)校 浙江 杭州 311500）

中職立體幾何相關(guān)概念教學(xué)探新

習(xí)明
（桐廬電大進(jìn)修學(xué)校 浙江 杭州 311500）

在立體幾何概念教學(xué)中，教師要引導(dǎo)中職生正確認(rèn)識(shí)概念之間的邏輯聯(lián)系，使知識(shí)系統(tǒng)化、條理化，可通過剖析知識(shí)結(jié)構(gòu)、完善空間概念，類比轉(zhuǎn)化、縱橫開拓，由問題鏈生產(chǎn)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)等方式來實(shí)現(xiàn)。

中職；立體幾何；概念；知識(shí)結(jié)構(gòu)

所謂系統(tǒng),就是處于相互作用中并與環(huán)境處于相互聯(lián)系中的元素的復(fù)合體。數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性很強(qiáng)的科學(xué)。美國教育心理學(xué)家布魯納指出：“學(xué)生學(xué)過的知識(shí)，如果沒有圓滿的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)系在一起，那是一種多半會(huì)被遺忘的知識(shí)。一連串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促的可憐的壽命?！?/p>

從概念的發(fā)展來看，概念建構(gòu)活動(dòng)就是一個(gè)學(xué)習(xí)者不斷修正原有的概念系統(tǒng)的過程。概念發(fā)展的建構(gòu)活動(dòng)包括對概念的不斷深化理解和對錯(cuò)誤觀念的糾正活動(dòng)。

在立體幾何概念教學(xué)中，教師要引導(dǎo)中職生正確認(rèn)識(shí)有關(guān)概念之間的邏輯聯(lián)系，認(rèn)識(shí)它們的外延之間的關(guān)系，通過比較加深對概念的理解，使知識(shí)系統(tǒng)化、條理化。

剖析知識(shí)結(jié)構(gòu)，完善空間概念

很多中職生對概念記憶不清，或是不能完整地?cái)⑹鲇嘘P(guān)概念，總感到“似曾相識(shí)”，在教師的提示下才能回憶起來。這說明很大一部分中職生還沒有形成自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。怎樣讓學(xué)過的知識(shí)能清晰、迅速地反映在自己的腦海中，為己所用呢？這就是建立知識(shí)結(jié)構(gòu)的問題。

立體幾何研究的對象是空間圖形。組成空間圖形的基本元素是直線和平面。立體幾何部分的知識(shí)結(jié)構(gòu)是以直線、平面的位置關(guān)系和度量關(guān)系為主線。由直線、平面相互的位置關(guān)系可以引出三組關(guān)系：直線與直線的位置關(guān)系、直線與平面的位置關(guān)系、平面與平面的位置關(guān)系，其中直線與直線的位置關(guān)系是本章的出發(fā)點(diǎn)和歸宿點(diǎn)。每組關(guān)系可從定性與定量兩方面進(jìn)行研究。

直線與平面的三種位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)，直線與平面相交、直線與平面平行。從定性上研究，直線在平面內(nèi)，直線在平面外；有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)、有1個(gè)公共點(diǎn)或沒有公共點(diǎn)；每一種關(guān)系只列出一對具有代表性的判定定理、性質(zhì)定理（直線在平面內(nèi)是作為公理1出現(xiàn)的）。定量的研究是指如何在數(shù)量上描述各種不同的位置關(guān)系：對平行關(guān)系用距離來描述它，對相交關(guān)系用交角的大小來描述它。直線與直線的位置關(guān)系、平面與平面的位置關(guān)系的定性和定量的研究同理。

如果讓中職生自己歸納知識(shí)結(jié)構(gòu)，用圖形或樹形網(wǎng)絡(luò)建立平行系統(tǒng)、垂直系統(tǒng)、平面公理系統(tǒng)、射影系統(tǒng)等，盡管歸納有些缺陷，但是與沒有建立知識(shí)結(jié)構(gòu)的學(xué)生相比，對這些知識(shí)的掌握就牢固得多，用得也更輕松。實(shí)踐證明，用概念收縮和擴(kuò)大的動(dòng)態(tài)觀點(diǎn)啟發(fā)中職生建立概念的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，告訴他們復(fù)習(xí)時(shí)多思考腦子里的知識(shí)結(jié)構(gòu)，可以保持學(xué)生對已學(xué)知識(shí)認(rèn)知上的熟練感，從而熟能生巧、巧能生輝。

類比轉(zhuǎn)化，縱橫開拓

思想是數(shù)學(xué)思維的“軟件”，方法是數(shù)學(xué)思維的“硬件”。在解決立體幾何的問題中，用到的主要數(shù)學(xué)思想方法就是類比和轉(zhuǎn)化。

所謂類比，就是由兩個(gè)對象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們在其他性質(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式。所謂知識(shí)的遷移，是指已經(jīng)掌握了的知識(shí)對學(xué)習(xí)新的知識(shí)發(fā)生的影響和作用。如果原有知識(shí)對于新知識(shí)的影響是積極的，則稱為正遷移，反之是負(fù)遷移。

建構(gòu)主義認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)是一個(gè)以學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)過程，學(xué)習(xí)者能否主動(dòng)建構(gòu)并形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，取決于原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是否具有清晰（可辨別的）、可同化新的知識(shí)的觀念（固定點(diǎn)、生長點(diǎn)）以及這些觀念的穩(wěn)定情況。所以，教師在鉆研教材、設(shè)計(jì)教法時(shí)不僅要從整體上把握教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，而且要從縱向考慮新舊知識(shí)是如何連接延伸的，從橫向考慮新舊知識(shí)是如何溝通聯(lián)系的，從而找準(zhǔn)新舊知識(shí)的連接點(diǎn)、不同點(diǎn)和新知識(shí)的生長點(diǎn)。

抓住聯(lián)系，促進(jìn)正遷移 從平面問題到空間問題的發(fā)展，是立體幾何知識(shí)發(fā)展的一條主脈絡(luò)，抓住這種聯(lián)系進(jìn)行學(xué)習(xí)省時(shí)省力。例如在概念方面，平面的概念與直線的概念；二面角的概念與平面內(nèi)角的概念；線面、面面平行的概念與兩直線平行的概念；點(diǎn)面、線面、面面及兩異面直線距離的概念與平面幾何中點(diǎn)線、線線距離的概念等。

通過對比，排除負(fù)遷移 建構(gòu)主義認(rèn)為，要促進(jìn)學(xué)生的主動(dòng)建構(gòu)，就要抓住新舊知識(shí)的不同點(diǎn)，引發(fā)認(rèn)知沖突，為學(xué)習(xí)新知識(shí)創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)和保持學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；幫助學(xué)生建構(gòu)當(dāng)前所學(xué)知識(shí)的意義；通過及時(shí)反饋，糾正錯(cuò)誤的或模糊的認(rèn)識(shí)，既能增強(qiáng)原有知識(shí)的清晰性，又能強(qiáng)化知識(shí)的固定點(diǎn)。由于平面幾何中的基本概念在立體幾何中未必正確，加上平面上的形象能用平面圖形真實(shí)地反映，但空間上的形象則未必能。因此，在學(xué)習(xí)立體幾何的概念時(shí)，中職生所受到的負(fù)遷移的影響比較大，而且時(shí)間較長，在教學(xué)中教師要加強(qiáng)對比教學(xué)，努力提高新的內(nèi)容與原有平面幾何概念系統(tǒng)的可辨別程度。圖形對比：在平面內(nèi)，AB∥CD則有∠1=∠2（內(nèi)錯(cuò)角），但在空間中，∠1=∠2但AB不平行于CD（∠1、∠2分別是AB、CD與第三條直線MN所成的角）。性質(zhì)對比：可將二面角與角的性質(zhì)從引入、定義、構(gòu)成、表示法等方面進(jìn)行對比，異同點(diǎn)一目了然。

善于轉(zhuǎn)化，融于一體 轉(zhuǎn)化思想是理解與解決立體幾何問題的最重要的數(shù)學(xué)思想方法，轉(zhuǎn)化可將平面幾何知識(shí)與立體幾何知識(shí)融于一體。如教師在講異面直線概念時(shí)，可引導(dǎo)中職生實(shí)驗(yàn)、思考，把平面內(nèi)的兩條相交（或平行）直線中的一條，平移離開平面一段距離（或旋轉(zhuǎn)一定角度，不使它們相交），則這兩條直線的位置關(guān)系如何呢？這種位置關(guān)系如何用圖形語言表達(dá)出來呢？從運(yùn)動(dòng)變化的觀念來闡述立體幾何中的有關(guān)概念，中職生容易理解。對于立體幾何問題，如果教師引導(dǎo)中職生作截面、作側(cè)面展開圖、平移、投影等，問題往往迎刃而解。立體幾何概念的轉(zhuǎn)化，也通常是“降維”處理。如“面面平行”轉(zhuǎn)化為“線面平行”再轉(zhuǎn)化為“線線平行”，“面面角”轉(zhuǎn)化為“線面角”再轉(zhuǎn)化為“線線角”等等。當(dāng)然也可建立不同層次的（平行）垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化圖等。許多立體幾何圖形都是由平面幾何圖形平移、旋轉(zhuǎn)、翻折得到的。平面圖形與空間圖形互相轉(zhuǎn)化時(shí)，線線、線面、面面關(guān)系可能變化，也可能不變。教師要引導(dǎo)中職生對轉(zhuǎn)化前后的情況作出比較，深刻理解二者的聯(lián)系與區(qū)別。比如將矩形的紙片ABCD沿對角線對折成空間四邊形ABCD。中職生根據(jù)自己折的紙片發(fā)現(xiàn)折疊形成的空間四邊形ABCD中，原來的AB⊥BC，AD⊥CD的性質(zhì)保持不變，但平行線AB、CD變成異面直線，AB與AD也不垂直了。

為進(jìn)一步培養(yǎng)中職生的空間想象能力，可讓中職生直接想象轉(zhuǎn)化前后那些變了，那些沒變，不過這對于他們有些困難，然后啟發(fā)引導(dǎo)他們通過折紙來觀察，使平面定勢順利過渡到空間。

由問題鏈生成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

建構(gòu)主義認(rèn)為，為充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，教師應(yīng)盡量引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題，主動(dòng)搜集、分析有關(guān)信息和資料；教師應(yīng)對協(xié)作學(xué)習(xí)過程進(jìn)行引導(dǎo)，如提出適當(dāng)?shù)膯栴}引導(dǎo)學(xué)生思考和討論；讓學(xué)生自己去糾正錯(cuò)誤或片面的認(rèn)識(shí)。

美國著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出：“我堅(jiān)信問題是數(shù)學(xué)的心臟。我希望作為教師，無論在講臺(tái)上，在討論班里，還是在我們寫的書或文章里，要反復(fù)強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，要訓(xùn)練學(xué)生成為比我們更強(qiáng)的問題提出者和問題解決者?！?/p>

幾何概念的學(xué)習(xí)過程，實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展變化過程，那么正確認(rèn)識(shí)概念、掌握概念并應(yīng)用它解決數(shù)學(xué)問題，使原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)同化或順應(yīng)新知識(shí)，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，就成為立體幾何教學(xué)的一個(gè)重要組成部分。如何才能讓中職生駕馭這些概念呢？為了處理好接受學(xué)習(xí)與發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的關(guān)系，教師應(yīng)在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)一系列具有內(nèi)在聯(lián)系的問題，形成一個(gè)螺旋上升的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)——問題鏈，通過逐層解決，最終達(dá)到解決問題的目的。

例如，在復(fù)習(xí)立體幾何的概念時(shí)，可采用以下是非判斷題，讓中職生在較短的時(shí)間內(nèi)通過類比、分析、歸納來正確回答，使他們對所學(xué)的概念系統(tǒng)化和整體化。

問題1：平面內(nèi)，平行（或垂直）于同一直線的兩直線平行？

變式1：空間中，平行（或垂直）于同一直線（同一平面）的兩直線（兩平面）平行（垂直）？

變式2：空間中，平行（或垂直）于同一直線（同一平面）的直線和平面平行？

問題2：平面內(nèi)，一條直線垂直于兩平行線中的一方，必垂直于另一方？

變式1：空間中，一條直線（一平面）垂直于兩平行線 （兩平行平面）中的一方，必垂直于另一方？

變式2：空間中，一直線（一平面）垂直于相互平行的直線和平面中的一方，必垂直于另一方？

問題3：平面內(nèi)，若一個(gè)角的兩邊分別平行（或垂直）于另一個(gè)角的兩邊，則這兩角相等或互補(bǔ)？

變式1：空間中，若一個(gè)角的兩邊分別平行（或垂直）于另一個(gè)角的兩邊，則這兩角相等或互補(bǔ)？

變式2：空間中，若一個(gè)二面角的兩個(gè)面分別平行（或垂直）于另一個(gè)二面角的兩個(gè)面，則這兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ)？

變式3：空間中，若一個(gè)角的兩邊分別平行（或垂直）于另一個(gè)二面角的兩個(gè)面，則這個(gè)角和這個(gè)二面角相等或互補(bǔ)？

上述問題鏈鎖住整個(gè)立體幾何的主要位置關(guān)系，問題與問題之間及每一問題的子問題之間緊緊聯(lián)系在一起，抓住這種聯(lián)系不僅有助于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)，而且對于中職生立體幾何概念學(xué)習(xí)能力的提高大有益處。例如，在“直線與平面的位置關(guān)系”一課中，引導(dǎo)學(xué)生提出問題：（1）直線與平面可能有幾種位置關(guān)系？你能根據(jù)公共點(diǎn)的情況進(jìn)行分類嗎？（2）如何判定直線與平面平行？即由什么條件可以得出線面平行的結(jié)論？（3）如果直線與平面平行，那么這條直線是否與這個(gè)平面內(nèi)的任意直線都平行？即這條直線與平面內(nèi)的哪些直線平行？能否在平面內(nèi)找出與這條直線平行的直線？

在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)中職生獨(dú)立面對問題，主動(dòng)參與問題的提出和解決；當(dāng)進(jìn)行課堂教學(xué)的內(nèi)容小結(jié)時(shí)，教師可回到教學(xué)過程中提到的如上幾個(gè)主體問題。這樣，留在中職生記憶中的還是問題，但這時(shí)的問題是帶有問題解決的方法與過程的，當(dāng)中職生遇到類似問題（結(jié)構(gòu)）的時(shí)候，會(huì)還原記憶中的思想方法，而這正是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目標(biāo)所在。

[1]付夕連，譚成波，梁家君.數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)分析[J].洛陽大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，（4）：15.

[2]丁茂海.點(diǎn)擊立體幾何的教學(xué)[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2007，（11）：3.

[3]馬麗梅.初中幾何教學(xué)研究[D].呼和浩特：內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2004.

（本文責(zé)任編輯：張維佳）

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1672-5727（2011）08-0115-03

習(xí)明（1976—），女，湖北隨州人，教育碩士，桐廬電大進(jìn)修學(xué)校講師，研究方向?yàn)橹新殧?shù)學(xué)。