由“算理與算法”而引發的深度思考

陳吶

培養學生數學計算能力，是小學數學教學中一項十分重要的任務，也是數學教師在教學中必須重視的事情。算理是計算的依據，算法是依據算理提煉出來的方法和規則，只有將算理和算法的有機融合，才能更好地促進計算內容的教學。

算理算法教師教學引發我深度思考的導火索是我區數學中年教師優質課評比中，我校劉老師所講的人教版四年級上冊《口算除法》一課。當劉老師宣布她抽到這一課時，當時參加抽課的數學老師中有人說：“這課沒啥講的，十五分鐘全能搞定。”回學校后，我們的第一感覺也是“為什么會是這節課！”我們的劉老師并沒有泄氣，我們統一了思想：這節計算課正是需要我們深入思考的課題。

在對教材、學情的理解、分析中，我們達成一致：學生知道事實不等于真理解。面對學生已經知道“答案”時，我們需要追問：有多少學生知道答案？有多少學生真正理解要學習的內容？這些都是需要我們深思的問題。學生學習數學時，往往停留在“事實性水平”（對數學知識的理解有這樣幾個層次：事實性水平、概念性水平、方法性水平、主體性水平）的理解上。在教學中，我們必須辨別出學生的理解所達到的程度，設計恰當活動促進學生對知識的高水平理解。

劉老師以她特有的教法完成了第一次試講。

第一次試講后的評課會上，我們就一個問題展開了激烈的爭論。

教學片段一：

創設生活情境后解決數學問題：有80個氣球，每班分20個。可以分給幾個班？

學生脫口而出：80÷20=4。

師問：你是怎樣想怎樣算的？把你的想法寫在本子上。

學生匯報交流：

生1：想20×4=80，所以80÷20=4（這種方法很容易理解，沒有學生提出質疑。）

生2：想8÷2=4，所以80÷20=4

師：你聽明白他的想法了嗎？不明白可以進行質疑。

生3問：80和20后面的兩個零哪去了？

生4問：為什么4后面不加零呢？

生2解釋不清，向其他學生求助，但解釋的都是模棱兩可，沒有抓住問題的關鍵。

老師問學生：80是（）個十，20是（）個十，8個十里面有（）個20，所以8÷2=4，80和20后面的零可以同時遮住不看，算8÷2=4則80÷20=4。

劉老師第一次試講時，這一環節處理得不是很成熟。課后評課時，老師們都覺得這個環節處理得欠火候，學生沒有真正理解80÷20=4的算理。而往往在我們平時的課堂上，也是重視算法，忽視了算理的探究，只滿足于口算正確，不愿花時間去分析學生的思維過程，也就是“重結果，輕過程。”

我們說，什么叫算理？什么叫算法？這是進行口算教學必須首先搞明白的問題。算理就是計算過程中的道理，解決“為什么這樣算”的問題。算法就是計算方法，解決“怎樣算”的問題。

那么如何解決“8÷2=4，則80÷20=4”這一問題呢？教師能做的，就是提供有價值的問題或任務同時滲透恰當的數學思想方法，促進學生的思維投入，而不是把現成的知識灌輸給學生。經過評課組的反復討論和思維碰撞，在第二次試講中，劉老師進行了新的處理和嘗試。

教學片段二：

當匯報80÷20怎樣想怎樣算的，學生解釋不清，老師課件逐一演示：

理解：因為8個十÷2個十=4，所以80÷20=4。板書：8個十÷2個十=4

通過圖形，將80÷20計算的算理清晰地表達了出來——8個十÷2個十。如果沒有這個圖形的演示，學生對于算理的分析靠“想象”獲得，在沒有掌握知識的時候，其實就是“高度的抽象”。這也是第一次試講學生沒能理解為什么“8÷2=4，所以80÷20=4”的原因。用圖形幫助學生理解算理，是突破教學難點的有效策略，同時也幫助學生構建了數學模型，即當學生遇到新的數學問題，如果從“為什么”（算理的理解）層面不能自圓其說的時候，能夠想到“畫圖試試”。畫出的圖形其實就是數學模型圖。

后面的教學劉老師沒有只停留在解決80÷20=4的問題上，而是及時分析學生的錯誤成因，適時介入，并根據學生的不同情況展開了進一步的探究和延伸。

教學片段三：

明白了80÷20=4的算理之后，教師又問：800÷200=？

引導學生理解：800就是8個（百），200是2個（百），都以“百”為單位，單位相同。板書：8個百÷2個百

師追問：8000÷2000呢？為什么？你能繼續再往下說嗎？

生：80000÷20000=4

800000÷200000=4……

在后面的練習中，劉老師專門設計了這樣一道題：

算一算，想一想

9÷3=900÷30=

90÷30=9000÷300=

900÷300=

9000÷3000=

在“900÷30、9000÷300”的問題解決中，學生能夠正確運用“遮零”的計算方法，解決這一類問題。

回過頭來再看《口算除法》這節課的教學，我們是否可以這樣理解：最初，學生在口算時，可能有算法而不知算理；后來，知算法而且知算理；再后來，又是有算法無算理。也就是說，在學生學習口算探索與掌握算法的不同時段，他們計算時是否具有算理，經歷了“無——有——無”這樣一個過程。但我們要清楚地認識到：有算法時，不一定能說清算理；而有算理時，可以轉化成算法。這也是學生在理解算理的基礎上計算像“900÷30、9000÷300”這樣的題目，而不停留于“照葫蘆畫瓢”式的模仿計算的原因所在。劉老師課堂時間主要用于兩個部分：一是作為學習主體的每個學生獨立地觀察、嘗試、交流；二是師生、生生間圍繞學習目標多向互動。課堂中，學生除了習得口算除法計算方法“是什么”與“為什么”外，還獲得了一種豐富的過程體驗。

綜上所述，算理不是沒有用，而是教師在教學中是否發揮其作用。不要把算理、算法作為“兩張皮”。算理為計算提供了正確的思維方式，保證了計算的合理性和正確性，算法為計算提供了快捷的操作方法，提高了計算的速度。算理往往是隱性的，算法往往是顯性的，它們相輔相成，算理的探討有助于學生探索算法、掌握算法。當然，在口算學習過程中，也要注意避免程式化地敘述算理，對算理的一味推崇容易讓學生陷入空洞抽象說教的泥潭，不過，對算法的過度操練也容易讓學生走向機械重復練習的窠臼。

參考文獻：

[1]徐斌.把握基本矛盾走向有效教學——“數的運算”備課解讀與難點透視[J].人民教育出版社.

[2]李吉原.如何提高小學生的數學計算能力[J].小學教學研究.

[3]李傳英.小學數學探究式學習的理論與實踐[M].山東教育出版社.