債券久期和凸性的計算方法探討

□蔣崇輝 馬永開

[電子科技大學 成都 610054]

引言

修正久期和凸性是債券和債券組合管理的核心概念，是衡量債券及債券組合利率風險的重要工具[1~4]，是投資者執行各種債券投資策略和套期保值策略的重要基礎[5~7]。商學院學生在學習銀行管理和投資方面的課程時通常都有關于久期和凸性的內容。然而，筆者在教學實踐中發現，為數不少的同學都無法真正理解這兩個概念并進行靈活運用。究其原因，教師在講授久期和凸性的概念時，一方面，久期會涉及有“麥考利久期”和“修正久期”的雙重使用；另一方面，凸性的概念帶有較強的技術性，在同學們缺乏對這些概念的感性認識時，很難做到透徹理解這些概念，更不用說靈活運用。

債券的久期就是投資者收到債券各個現金流所需時間的加權平均，權重為各個現金流現值占所有現金流現值的比重。這個概念最早由弗雷德里克·麥考利引入，所以，我們通常稱之為麥考利久期。很顯然，由于麥考利久期是時間的加權平均，所以，麥考利久期是用“年”來衡量的。對于普通債券而言，其麥考利久期通常介于0和債券存續期之間，特別地，零息債券的麥考利久期就等于其存續期。麥考利久期雖然衡量了投資者收到各個現金流的所需要的平均時間，但對于利率敏感型的債券而言，投資者更需要知道債券價格相對于利率變化的敏感性，即債券的利率風險，而衡量這個的敏感性的指標就是修正久期。從概念上看，麥考利久期衡量的是投資者收到各個現金流的平均時間，以“年”為單位，而修正久期則描述的是債券價格相對于利率變化的敏感性。敏感性是沒有單位的，因此麥考利久期和修正久期分別描述了債券的不同性質。在計算方法上，計算麥考利久期使用的是債券的到期收益率[8~11]，即對債券的每個現金流都用相同的折現率進行折現得到。然而，由于修正久期需要抓住利率變化所導致的債券價格的變化，因此，為了準確計算修正久期，對債券的每個現金流都會用對應期限的折現率進行折現。而不同期限的折現率會存在差異，另外，基準利率的變化所導致的不同期限的利率變化也會存在不同。因此，現有教材上將修正久期直接寫成對麥考利久期的一個修正，這會嚴重誤導同學們對修正久期的理解！最后，由于修正久期描述的是債券價格相對于利率變化的敏感性，在債券組合管理過程中，修正久期的應用遠多于麥考利久期。正因為以上幾方面的原因，本文主要考察了定期復利計息①情況下債券和債券組合修正久期的計算問題。

在利率變化幅度很小的情況下，修正久期基本上能抓住利率變化所帶來的債券價格的變化。然而，由于債券的價格收益率曲線的形狀是凸形的，如圖1所示。這種凸形特征決定了當利率變化幅度較大的情況下，修正久期并不能完全抓住利率變化所導致的債券價格的變化。在這種情況下，為了更準確衡量利率變化導致的債券價格變化，就需要考慮債券的凸性。具體而言，修正久期對應的是債券價格相對于利率的一階導數，而凸性對應的則是二階導數，這與期權市場上用來刻畫期權風險的德爾塔和伽馬對應②。所以，本文除了考察債券和債券組合修正久期的計算問題以外，還考察了債券和債券組合凸性的計算問題。

圖1 債券價格收益率曲線

綜上所述，債券修正久期的本質是債券價格相對于市場基準利率變化的敏感性，由于債券價格并不是其收益率的線性函數，所以，當市場基準利率變化較大的情況下，作為債券價格相對于收益率二階導數的凸性應該被納入以改善修正久期的業績。本文從債券修正久期和凸性的本質出發，通過計算零息債券修正久期和凸性，給出了付息債券或債券組合修正久期和凸性的計算方法。

一、修正久期

（一）零息債券的修正久期

首先我們從零息債券的價格及其價格相對于利率變化的敏感性說起。假設某n年后到期的零息債券的面值為Par，則該債券的價格P應該為

式(1)中的in即為該零息債券的到期收益率，也就是期限為n年的即期利率。對于信用級別相同期限不同的零息債券而言，他們的到期收益率與期限之間的關系就表現為該信用級別債券的即期利率曲線。圖2描述的是2011年9月1日中國固定利率國債收益率曲線。

當市場基準利率發生變化，會導致各期限即期利率也發生變化，進而會帶來收益曲線的移動。由式(1)可知，在即期利率發生變化的情況下，債券價格也會發生變化，對債券投資者而言，把握債券價格相對于利率變化的敏感性顯得非常重要。債券價格相對于利率變化的敏感性可通俗表述為利率變化一個基點會導致債券價格變化多少個基點。為了揭示這個敏感性，我們對式(1)兩邊求微分有

圖2 中國固定利率國債收益率曲線（數據來源于中國債券信息網）

其中Ru即為利率變化所帶來的債券價格變化的百分比，也就是利率變化給投資者帶來的非預期收益率，而Δi即為利率的變化，DMn即為n年期零息債券的修正久期。從式 (4)可以看出，零息債券的修正久期就是用 1 +in進行調整之后的久期，顯然，修正久期揭示了債券價格變化相對于利率變化的敏感性。例如，對于修正久期為0.97的零息債券而言，利率變化10個基點，債券價格變化為9.7個基點，從這個意義講，債券的修正久期與股票的貝塔以及期權的德爾塔類似。

（二）附息債券和債券組合的修正久期

考慮一只兩年期每年付息一次的附息債券，設該債券一年后的現金流為C1，兩年后的現金流為C2+Par，則該債券的價格應該為

式(5)中i1、i2分別為與該附息債券信用級別相同的一年，兩年期即期利率。我們知道，任何附息債券均可以看成多個零息債券的組合。對于上述兩年期附息債券而言，可以視為面值為C1的一年期零息債券與面值為C2+Par的兩年期零息債券的組合，因而該附息債券的價格應該為這兩只零息債券的和，即

其中DM就是這兩年期附息債券的修正久期。從上面的推導過程可以看出：在收益曲線平行移動的情況下，附息債券的修正久期是債券各現金流修正久期的加權和，權重為各現金流現值占附息債券價格的百分比；同理，債券組合的修正久期也是組合中各債券修正久期的加權和，權重為各債券價值占債券組合總價值的百分比。

二、凸性

在利率變化幅度很小的情況下，修正久期基本上能抓住利率變化所帶來的債券價格的變化。然而，由于債券的價格收益率曲線的形狀是凸形的，這種凸形特征決定了當利率變化幅度較大的情況下，修正久期并不能完全抓住利率變化所導致的債券價格的變化。在這種情況下，為了更準確衡量利率變化導致的債券價格變化，就需要考慮債券的凸性。

（一）零息債券的凸性

仍然以n年期的零息債券為例，對債券價格在當前n年期即期利率進行泰勒展開可以得到：

從式(10)可以看出，在忽略債券凸性的情況下，根據久期所計算得到的價格變化會存在高估或者低估的偏差。如果利率上升，則會高估債券價格下跌的幅度，而在利率下跌的情況下，則會低估債券價格上漲的幅度。

（二）附息債券和債券組合的凸性

不管是附息債券還是債券組合，均可以看成一系列零息債券的組合。根據“組合收益率是組合中各成份證券收益率加權和”的基本原理，我們可以得到附息債券或債券組合價值變化的百分比Ru為

三、實例分析

修正久期和凸性的一個基本應用在于預測利率變化所導致的債券價格以及債券組合價值的變化，進而為投資者制定債券投資策略以及風險管理提供依據。下面以一個簡單的例子闡述根據本文方法計算修正久期和凸性，進而預測債券價格的變化。

設某投資者持有六年后到期的票面率為8%的附息債券，其中票面價值為1000元，假設1～6年期即期利率分別為6.0%、6.5%、7.0%、7.5%、8.0%、8.5%。設利率上漲1%，即期利率曲線向上平移1%，我們根據前文所介紹的方法首先在EXCEL表格中分別計算附息債券各現金流的現值，各現金流現值占比，各現金流的修正久期以及凸性，如表1。

由于附息債券的修正久期和凸性分別是各現金流修正久期和凸性的加權和，因而可以通過EXCEL中的SUMPRODUCT函數求得附息債券的修正久期為4.5790，凸性為27.5876。如果僅僅利用修正久期這個工具，則利率上升1%應該導致債券價格下跌4.5790%，如果同時利用修正久期和凸性兩個工具，則利率上升1%導致債券價格下跌的百分比為4.4411%③。

表1 附息債券各現金流修正久期和凸性的計算

為了進一步驗證同時利用修正久期和凸性兩個工具所預測的債券價格變化比單獨使用修正久期預測得到的債券價格變化更接近實際債券價格的變化，我們分別計算了利率變化前后附息債券的理論價格。利率變化前附息債券的理論價格為表1中各現金流現值之和，為987.6397元，而利率變化后的理論價格為943.7459，理論價格下跌4.4443%。顯然，同時利用修正久期和凸性兩個工具所預測的債券價格變化更接近債券理論價格的變化。

四、小結

通過辨析債券的麥考利久期和修正久期在概念和計算方法上的差異，本文指出修正久期才是債券和債券組合風險管理的核心工具。由于債券價格并不是收益率的線性函數，當利率變化幅度較大的情況下，修正久期不足以抓住利率變化所帶來的債券價格的變化，所以，債券的凸性應該被納入以改善修正久期的業績。從修正久期和凸性的本質出發，通過計算零息債券修正久期和凸性，給出了付息債券或債券組合修正久期和凸性的計算方法，并通過實例闡述了債券修正久期和凸性的計算及應用。實例表明，本文給出的債券久期和凸性的計算方法吻合債券久期和凸性的定義，而且計算方法清晰明了，在EXCEL中計算簡便，不僅可以幫助我們理解修正久期和凸性的概念，還能推廣到更一般的情形。

注釋

①定期復利計息是對“periodically-compounded”的翻譯，如半年計息一次或一年計息一次，這是與債券市場上半年或一年付息一次的情況對應的。

②期權的德爾塔是衡量期權價格相對于標的資產價格的敏感性，而伽馬衡量期權德爾塔相對于標的資產價格的敏感性，因此德爾塔是期權價格相對于標的資產價格的一階導數，而伽馬是期權價格相對于標的資產價格的二階導數。

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