如何提高學生的數學解題能力

摘要：教學關鍵是教會學生用所學的知識解決實際問題，即要提高學生的解題能力。本文主要針對如何提高學生學習數學的能力提出一些見解和方法，幫助學生提高分析和解決數學問題的能力。

關鍵詞: 解題程序；思維方法；啟發思維；轉化思維

解決數學問題是學習數學的較高層次。著名數學教育家波利亞（Polay）把“解題”作為培養學生數學才能、教會學生思考的一種手段和途徑。中學數學教學的目的，歸根結底在于培養學生的解題能力，提高數學解題能力是數學教學中一項十分重要的任務。提高學生解題能力貫穿于教學始終，我們必須把它放在十分重要的位置。那么，如何才能提高學生的解題能力呢？

一、教給學生數學解題程序

（一）審題。審題是解題的首要步驟。審題能力如何，直接影響到解題的成敗。審題的基本要求是弄清楚題目的兩個基本組成部分：條件和結論。在審題時，對已知條件不能遺漏，更不能添加。對于結論，要轉換表達成其他各種等價形式。提高學生的審題能力主要是培養學生分析隱蔽條件，化簡、轉換已知和未知的能力。有意識地培養學生認真審題的習慣，把條件和問題分析得透徹明確，有助于提高學生的解題能力。

（二）教會學生制定解題計劃。數學基本概念、基礎知識和基本技能是解題的思路和源泉，離開了它們，解題就成了無本之木，無源之水。因此審題后首先要思考題中涉及到哪些主要概念，題目的條件和結論與哪些定理、公式、法則有關，可否直接應用，題目涉及到的基本技能、方法是什么等，形成解題計劃。

（三）使學生學會解題的表達。解題的表達要正確、合理、嚴密、簡捷和清楚，把運算、推理、作圖所得到的結果準確無誤地加以敘述，是解題的一項基本要求。數學解題的表達有一定的規格要求，無論哪種格式，敘述應層次分明，在這個過程中，教師的示范作用非常重要，因此，作為教師不僅要注重知識的傳授，而且要注意解題的示范，提高學生的解題能力。

（四）解題后要反思。解題后的反思是提高學生數學解題能力的一個重要途徑，具體從以下幾方面著手。（1）解題后進行總結。解題之后可以從方法、規律、策略等方面進行總結，做到舉一反三，提高解題能力。（2）解題后進行引申。解題之后要善于把題目的條件和結論進行引申，變為多個與原題內容或形式不同但解法相似或類似的題目，可以擴大學生的知識面，深化知識，提高學生的解題能力。（3）解題后進行推廣。進行推廣所獲得的就不僅僅是一道題的解法，而是一組題、一類題的解法。這極大地有利于培養學生的良好的學習習慣，激發他們的創新精神，有效地提高其解題能力。

二、使學生掌握數學解題的思維方法

掌握思維方法是提高學生數學解題能力的重要途徑。波利亞在他的名著《數學分析中的問題和定理》一書中，提出人們理解和解決問題的思維方法，即孤立的事實，將它與有關事物對照；新的發現，將它與熟悉的知識聯系；不習慣的與習慣的相類比；特殊的加以推廣；一般的結果給予適當的特殊化；復雜的情況分解為組成部分；細節通過概括，獲得全貌。一般的原則均體現在一般的思維方法之中。解題的有效思維方法主要有以下幾種：

（一）手段—目的分析法。手段—目的分析法指人們認識到當前的問題與所要達到的目標存在差異，把要解決的問題劃分為一系列子目標，通過逐漸解決子目標而減小差異，縮短距離，達到最終問題的解決。例如：某汽車改裝廠要裝配600輛汽車，已裝了10天，每天裝配40輛。由于改進了技術，剩下的任務4天可以完成。問這4天每天裝配多少輛？利用分析法可知，此問題的解決可以化為三個子目標加以解決：（1）要求以后每天平均裝配的輛數，需要知道以后要裝配的輛數（未知）和裝配的天數（4天）。（2）要求以后裝配的輛數，需要知道裝配的總輛數（600輛）和已裝配的輛數（未知）。（3）要求已裝配的輛數，需要知道裝配的天數（10天）和每天裝配的輛數（40輛）。在分成了三個子目標之后解決問題的條理清晰，能達到準確解決問題的效果。

（二）聯想法。聯想法指的是根據當前的問題，聯想到以前自己已經解過的在結構上與之相同或類似的問題，并借用該題的思路來解決當前的問題。聯想法使學生不被表面現象所迷惑，找到新的解題方法。

（三）逆向推理法。逆向推理法就是從目標出發逐步反推，這就是常用的分析法。

三、啟發學生思維

有些學生一拿起一道題想了許久不懂之后，就拿過來問老師。他們開口的一句話就是：“老師，這道題我不會做，能從頭到尾教我嗎？”有些很熱心的數學教師當然很樂意幫他們從頭到尾解答數學題。可是老師這樣做真的有益于他們數學解題思維能力的提高嗎？依我的觀點看，我并不贊同這樣的做法。作為教師，幫助學生解答疑難問題當然是件好事，但從數學思維能力的角度考慮，有些不妥。教師應該幫助學生從問題中找出突破口，啟發學生一步步將問題的“難點”轉變為“易點”，這樣學生會加深理解類型題的解答方法，以后重復出現類似于這樣的數學題，學生會馬上想到如何解答。一味從頭到尾教學生解題，學生是領會了該題的解法，但學生能領悟到此題的用意嗎？倘若換一道類型題，學生真的會解答得出來嗎？面對基礎薄弱的學生，這樣的做法是不可取的。為了培養這類型的學生，我覺得以“啟發性”教學為好。

四、培養學生數學“轉化”思維能力

解數學題最根本的途徑是“化難為易，化繁為簡，化未知為已知”，也就是把復雜繁難的數學問題通過一定的數學思維、方法和手段，逐漸將它轉變為一個大家熟知的簡單的數學形式，然后通過大家所熟悉的數學運算解決它。比如，我們學校要擴大校園面積，需要向鎮上征地。鎮上給了一塊形狀不規則的地，如何丈量它的面積呢？首先使用小平板儀（有條件的話，可使用水準儀或經緯儀），依據一定的比例，將實際地形繪制成紙上圖形，然后將紙上圖形分割成若干塊梯形、長方形、三角形，利用學過的面積計算方法，計算出這些圖形的面積之和，也就得到了這塊不規則地形的總面積。在這里，我們把無法計算的不規則圖形轉化成了可以計算的規則圖形，從而解決了土地丈量問題。另外，我們前面提到的各種多元方程、高次方程，利用“消元”、“降次”等方法，最終都可以把它們轉化為一元一次方程或一元二次方程，然后用已知的步驟或公式解決它們。“轉化”的思想，是解題最重要的思維習慣。面對難題，面對沒有見過的題，首先就要想到轉化，也總是能夠轉化的。平時，要多留心老師是怎樣解題的，是怎樣“化難為易，化繁為簡，化未知為已知”的。同學之間也應多交流成功轉化的體會，深入理解轉化的真正含義，切實掌握轉化的思維和技巧。

總之，學生解題能力的提高，不是一朝一夕能做到的，也不是僅靠教師的潛移默化和學生的自覺行動就能做好的，需要教師根據教學實際，堅持有目的、有計劃地進行培養和訓練。只有這樣，才能真正把這一工作做好。