最佳的策略

曹建玲

摘 要：針對小學奧賽教材中的一個與策略相關的問題提出幾點見解，提出最優的策略。

關鍵詞：策略；小學；奧賽

首都師范大學出版社出版的由吳建平主編的首都師大奧賽系列叢書，其中通用中小學奧賽教材小學六年級教材2003年2月第3版第135頁，有關最佳策略問題的例題1是這樣一道題目，甲、乙兩人輪流在5×5的方格中畫“√”和“×”，規定每人每次至少畫一格，至多畫三格，所有格畫滿后，誰畫的符號總數為偶數，誰就獲勝，問誰有獲勝的策略。

該書中的分析與解是這樣的：這是一個雙人游戲問題。由已知共有25個方格，是個奇數。兩個人所畫方格數必是一奇一偶，讓我們先從簡單的情形中尋找規律。

如果是1×1的方格，顯然誰先畫誰輸。

如果是3×3的方格，并設甲先畫，乙后畫，我們按三種情況討論：

（1）甲先畫一格，乙若畫三格就能取勝，因為乙畫三格后還剩五個格，無論甲怎樣畫，乙都能取勝（甲畫一乙畫三，甲畫二乙畫三，甲畫三乙畫一）；

（2）甲先畫兩格，乙若還畫三格還能取勝；

（3）甲先畫三格，乙只要畫一格就能轉化為（1），還是乙勝。

通過以上分析，先畫的人要輸。對于5×5方格，若甲先畫，乙應采取的策略如下：

由上表逆推下去可得出乙取勝的方法：

（1）若甲第一次畫一格或三格時，乙每次留給甲的空格數為：21，16，13，8，5，0；

（2）若甲第一次畫二格時，乙每次留給甲的空格數為：20，17，

12，9，4，1。

筆者仔細研究了這個題目的解答，發現在得出的結論（1）（2）中都存在問題。例如在結論（1）中，給甲留的空格數為16，甲若接著畫三格時沒法保證給甲下次留13格，同樣甲留的空格數為8，甲若接著畫三格時沒法保證給甲下次留5格，同理（2）中給甲留的空格數為20，甲若接著畫三格時沒法保證給甲下次留17格，因此感覺這個答案是錯誤的。由于認識到這個題目解答存在問題，筆者仔細研究了這個問題，認為以下的解答比較合理。

若是1×1的格子，顯然先畫的人要輸。若是3×3的格子：

分析：一共有3×3=9個格子，因為每個人每次所能畫的格子數只能是1，2，3。仔細觀察上表會發現：①甲若只畫奇數格，乙每次隨后湊出4格，兩次后畫完8格，剩余1格由甲來畫至畫完，其中乙畫了兩次奇數格，那么乙勝；②若甲有一次畫奇數格，一次畫偶數（2）格，那么乙針對甲的奇數格湊4格，針對甲的2格乙畫3格湊5格，那么根據分析兩次共畫了4+5格，其中乙兩次畫奇數格，那么乙勝；③若甲畫兩次偶數（2）格，那么乙針對第一次甲的2格畫3格，針對甲第二次的2格畫1格，兩人兩次畫后剩余1格由甲來畫至畫完，其中乙畫了兩次奇數格，那么乙勝。

再次研究表格還發現：乙一共畫了2次，而且每次只畫奇數格，通過類比1×1、3×3的格子得出結論應該是乙必勝。

接著研究5×5的格子：

鑒于以上表格的分析，針對7×7、9×9…的方格，只要把握：針對先畫者畫出的3（1）格，后畫者尾隨畫出1（3）格，當先畫者畫2格時，后畫者尾隨2格依次畫3，1，3，1…的原則，在這樣的題型中后畫者必可畫出偶數格獲勝。

編輯 李建軍