關于高中數學不等式恒成立問題分析

郝連軍

摘 要：不等式恒成立問題是近年來高考數學的熱點，也是高中數學教學中的重點內容。由于不等式恒成立問題涉及的知識面多、表現形式多樣化以及綜合能力強，所以導致學生無從下手，不知道怎樣解這一類型的題目。通過分析高中數學不等式恒成立中常見的例題，妙解不等式恒成立問題。

關鍵詞：不等式恒成立；換元思路；函數思路

根據調查發現，高中數學中的不等式恒成立問題成為高中熱點命題之一，針對不等式恒成立問題所涉及的知識載體眾多，高中數學的解題思路相對比較靈活，尤其是在多題型的情況下學生難以快速找到合適的解題思路，傳統單一的教學方法及解題方法不僅不能實現課改的創新要求，而且對學生的答題思路還有一定的限制。下面就將不等式恒成立問題多種解題思路進行系統全面的講解。

一、換元思路在不等式恒成立問題中的應用

不等式恒成立問題中常見的就是出現參數與變量的結合，在這種情況下利用分離參數得出最大值與最小值就相對困難一些，根據問題的不同，學生在解題的過程中首先需要弄清楚題意中表示的誰是主元，這樣解題就有了目標性。然后根據主元構成的函數來進行解題，一般的換元思路中多為一次函數，采取一次函數的直線形狀的特點，根據實際分析兩個端點的具體情況，這樣問題就容易了。

例如：已知f（x）=x3+4ax-l，g（x）=f′（x）-ax-6，對滿足-1≤a≤1的一切a的值，恒有g（x）<0，求實數x的取值范圍.

分析：理解題意，如果將這一例題看做為關于x的一元二次方程式化簡這個過程就會十分的復雜；如果能夠改變角度，將其中a的范圍看為主元變量問題，x作為做變量，那么這個問題就變成以a為變量的一次函數。

點評：這道題的核心問題在于，學生能夠將x視作參數，a視為自變量。

二、函數思路在不等式恒成立問題中的應用

不等式恒成立問題中對于二次函數法的應用主要是根據二次函數圖象的特性來解題的，如果能夠將不等式問題轉化成函數最大值、最小值問題，就需要結合分類討論思想來完成解題。

例如：已知函數f（x）=x3+ax+x+3，a∈R，若f（x）在區間（-1/3，

-2/3）內是減函數，求a的取值范圍。

分析：這一道題的解題思路主要是二次函數區間問題，在這個過程中學生的思路要考慮的就是只對變量討論，同時本題的關鍵在于考察二次函數零點的分布，學生需要注意對于特殊點函

數值的正負問題進行思考，問題就簡化了，因為函數f（x）在區間

（-1/3，-2/3）內是減函數，所以在（-1/3，-2/3）內，f′（x）=3x2+2a+1≤0恒成立.因為二次函數f′（x）開口向上，f′（x）最小只可能是f′（-2/3）或f′（-1/3），由f′（-2/3）=4/3-4a/3+1≤0與f′（-1/3）=1/3-2a/3+1≤0，得到a≥2。

上一道題的另一種考查形式為：（a-1）n2+（a-1）+2>0恒成立，求a的取值范圍。

分析：這道題的變量為n，并且沒有任何的限制條件，需要用判別式來思考解決。

解析：如果a-1=0，即a=1時，因此2>0恒成立.如果a-1≠0，即a≠1時，則a-1>0，Δ=（a-1）2-8（a-1）<0，所以1≤a<9。

點評：這一個不等式題目需要利用二次函數，根據二次函數零點的分布，最終得出參數的取值范圍。

綜上所述，由于高中數學不等式恒成立問題涉及面比較廣、綜合性比較強，如果基礎知識掌握不牢固，沒有掌握解題方法，則在解題中很容易出錯。因此在課堂以及課下學習的過程中，打好堅實的基礎，掌握解題技巧，在解題中不斷總結，這樣才能促進學生提高解題能力和思維能力。

參考文獻：

李冬倩.高中數學中不等式的恒成立問題[J].新校園：理論版，2012（11）.

（作者單位 內蒙古自治區赤峰第四中學）