高中數學與指數函數有關的問題

高美

指數函數作為基本函數，一直是近幾年高考的重點和熱點，也是新課標考查的重要方面。主要題型有：指數函數的圖像和性質、冪值的比較大小、由指數函數復合而成的綜合問題。本文通過一些例題的講解，得到較系統的指數函數知識，以加深對指數函數的認識。

一、指數函數的概念

問題1：在定義中為什么規定a>0且a≠1？

分析：若a=1，則y=1，它是一個常函數；若a=0，只有x>0有意義，且y=ax=0 也是常函數，無研究的意義；若 a<0，當分數指數冪的分母是偶數時無意義，例如（-2）■是沒有意義的。

例1：若函數y=（2a2-3a+2）ax是指數函數，求f（2）。【解】2a2-3a+2=1？圯a=1或■，但 a=1不合定義，舍去，∴ a=■？圯f（2）=（■）2=■.

二、比較大小問題

問題2：底數對指數函數圖像有什么影響？

例2：如圖是指數函數①y=ax、②y=bx、③y=cx、④y=dx的圖像，則a、b、c、d與1的大小關系是（ ）：A.a

c、C.1d1>a1>b1，故c>d>a>b，故答案選B.

三、指數函數與二次函數復合求值域

例3：求函數y=（■）x-（■）x+1，X？綴[-3，2]的值域。 【解析】令 （■）x=t，則y=t2-t+1，∵X？綴[-3，2]，∴■= （■）2？蕎（■）x？蕎（■）-3=8，即t？綴[■，8]，∴y=（t-■）2 +■？綴[■，57]. 總結：此類問題是指數函數和二次函數復合形式，把表面是指數函數形式的利用換元思想轉化為二次函數求值域。在做題時要注意指數函數的值域，即二次函數的自變量的范圍，從而利用配方法求出其值域。

四、指數函數復合形式的單調性

例4：求函數y=2■的單調區間。 【解析】令x2+x=t，則y=2t，在R上為增函數，要求y的單調遞增區間就是t的單調遞增區間，即[-■，+∞]；y的單調遞減區間就是t的單調遞減區間，即[-∞，-■]. 總結：此類問題屬于復合函數單調性的問題，解決這類問題把握四個字：“同增異減”。所以，首先要看清楚復合的兩個簡單函數，一般有一個的單調性是已知的。此問題解決的關鍵是轉化為另一類簡單函數的單調性，但要注意的是，在解題前要先求復合函數的定義域。

由此可見，對于一般的指數函數中有關定義域、值域以及單調性問題，我們能夠比較熟練地解決。但往往指數函數不是單獨出現的，它總是和其他函數同時出現，特別是二次函數。在這里，我強調一點：做任何題，不管是簡單的還是復雜的，關鍵是抓住其基本性質，盡量把問題轉化到我們熟悉的情況下進行解決。