構(gòu)建數(shù)學(xué)模型 追求有效課堂

宗曉芳

數(shù)學(xué)模型思想是“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）”新增的核心概念之一，所謂“數(shù)學(xué)模型”，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，去抽象地、概括地表征所研究對(duì)象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，包括字母、數(shù)學(xué)符號(hào)、代數(shù)式、方程……數(shù)學(xué)模型的建立要經(jīng)歷“問(wèn)題情境———建立模型———求解驗(yàn)證”的過(guò)程。那么，如何在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷建模過(guò)程，發(fā)展模型思想呢？

一、重現(xiàn)“生活原型”，滲透模型思想

新課標(biāo)指出：“數(shù)模的建構(gòu)過(guò)程，是從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與運(yùn)用的過(guò)程。”可見(jiàn)，“日常生活”是幫助學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題的源泉。將“生活原型”抽象為“數(shù)學(xué)模型”這是小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透數(shù)學(xué)模型思想的最直觀的方法。學(xué)生在日常生活中已經(jīng)積累了一些關(guān)于數(shù)學(xué)模型的雛形，即“生活原型”，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)，就要引導(dǎo)學(xué)生將這些“生活原型”進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”，初步抽象出數(shù)學(xué)模型，使兩者進(jìn)行“有效鏈接”。

例如，“三角形兩邊之和大于第三邊”這一特性對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)比較抽象，即使是通過(guò)動(dòng)手操作總結(jié)出來(lái)的，還可能只是表象的認(rèn)識(shí)，不知所以然。在活動(dòng)探究之前，利用多媒體再現(xiàn)這樣一個(gè)生活情境：東東從學(xué)校出發(fā)到少年宮可以怎樣走？（如下圖）

生：有兩條路可以走，第一條是從學(xué)校經(jīng)電影院再到少年宮；第二條是從學(xué)校直接去少年宮。

師：哪條路最近呢？

生：從學(xué)校直接去少年宮這條路最近。理由是兩點(diǎn)之間線段最短，從學(xué)校經(jīng)電影院再到少年宮走的路線不是直線，構(gòu)成了一個(gè)角度，兩條路程相加肯定比一條直的線段要遠(yuǎn)？

師：這兩種路線正好形成了一個(gè)三角形，那么三角形三條邊之間有什么關(guān)系呢，相信剛才的討論一定會(huì)帶給大家新的啟示，下面我們就帶著這個(gè)問(wèn)題一起來(lái)進(jìn)行探究……

“走直線距離最短”，學(xué)生人人皆知，由這一走路的“生活問(wèn)題”引出“兩點(diǎn)之間線段最短”這一數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，將生活和數(shù)學(xué)進(jìn)行了“有效鏈接”。在生活原型中，滲透了“兩種路線中，走一條直線肯定比兩條路線相加要短”這一模型的思想，而這兩條路線正好構(gòu)成了一個(gè)三角形，從而將三角形特征“兩邊之和一定大于第三邊”進(jìn)行了“對(duì)接”。這一環(huán)節(jié)，依托“生活原型”初步滲透“數(shù)學(xué)模型”，為學(xué)生接下來(lái)的探究提供建模的“支點(diǎn)”，滲透了建模的思想。

二、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，抽象模型問(wèn)題

三、體驗(yàn)活動(dòng)過(guò)程，建立模型結(jié)構(gòu)

如果說(shuō)抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題是建模的“起點(diǎn)”，那么建立模型結(jié)構(gòu)便是建模的“目標(biāo)”。它是對(duì)抽象出來(lái)的問(wèn)題進(jìn)行深入探究，并通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行概括、整理，從中尋找其普遍規(guī)律或特征，并能抽象出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（數(shù)學(xué)模型），也就是第二次建模的過(guò)程。模型思想作為基本的數(shù)學(xué)思想重在體驗(yàn)和感悟，我們應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)設(shè)開(kāi)放的探究空間，讓學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)建模的過(guò)程，感悟建模的思想方法，積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

例如，在學(xué)生認(rèn)識(shí)了“列”和“行”后，教師引導(dǎo)學(xué)生探究形成數(shù)對(duì)規(guī)范的書(shū)寫格式。（多媒體課件展示幾名學(xué)生的位置）

師：我們已經(jīng)知道了如何確定行和列，那么圖上小軍的位置可以怎樣表示呢？

生：第4列第3行，第3行第4列（教師板書(shū)兩種情況）

（多媒體課件閃爍其他幾個(gè)同學(xué)的位置，讓同學(xué)記錄下來(lái)，紅點(diǎn)很快閃爍）

通過(guò)討論認(rèn)為第2列第2行可以記錄為（2，2），初步引出數(shù)對(duì)的格式。學(xué)生模仿這種方法記錄剩余同學(xué)的位置，出現(xiàn)了疑惑：小紅第5列第4行，學(xué)生記錄兩種情況（5，4）或（4，5）。小剛第5行第4列，學(xué)生也記錄了兩種情況（4，5）或（5，4）。

生：（疑惑）兩個(gè)不同的位置怎么可能用相同的數(shù)對(duì)來(lái)表示呢？（學(xué)生認(rèn)識(shí)到在記錄數(shù)對(duì)的時(shí)候要規(guī)定行和列的先后順序）

師：為了不產(chǎn)生混淆，在寫數(shù)對(duì)的時(shí)候，規(guī)定數(shù)對(duì)中列在前行在后。板書(shū)（列，行）

師：現(xiàn)在你能正確記錄圖上小軍和明明的位置了嗎？

學(xué)生記錄：小軍（4，3）；明明（3，5）……

教師沒(méi)有直接告訴學(xué)生數(shù)對(duì)的規(guī)范格式，而是讓學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)對(duì)形成的過(guò)程，體驗(yàn)了數(shù)模的構(gòu)建過(guò)程。這樣的建模雖然比傳統(tǒng)的“直接告知”要費(fèi)時(shí)，但學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)歷了沖突———自我否定———認(rèn)知肯定———再?zèng)_突———再否定———最后達(dá)成認(rèn)知平衡的過(guò)程，感悟是深刻的。從知識(shí)的形成來(lái)看，經(jīng)歷了問(wèn)題情境———建立模型（雛形）———求解驗(yàn)證（否定）———調(diào)整模型（成型）。這一模型的構(gòu)建過(guò)程，是孩子們創(chuàng)造的過(guò)程，體驗(yàn)是快樂(lè)的。

四、解決實(shí)際問(wèn)題，拓展模型外延

數(shù)學(xué)模型的建立不是最終目的，而讓學(xué)生形成技能，建立思維方法，再運(yùn)用模型去解決問(wèn)題，讓學(xué)生理解并形成數(shù)學(xué)的思維，這種數(shù)學(xué)化的思想才是根本目的。所以在建模教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)模型還原成具體的數(shù)學(xué)直觀或可感的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，使已經(jīng)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型不斷得以擴(kuò)充和提升。利用模型解決實(shí)際問(wèn)題便是數(shù)學(xué)模型的有效拓展。

例如，“植樹(shù)中的規(guī)律”通過(guò)探究總結(jié)出了植樹(shù)的三種不同類型，即“兩端都種，兩端都不種、只種一端”，并總結(jié)出規(guī)律：兩端都種，樹(shù)的棵數(shù)是間隔加一；兩端都不種，樹(shù)的棵數(shù)是間隔減一；只種一端，樹(shù)的棵數(shù)和間隔相等。抽象出數(shù)學(xué)模型后，讓學(xué)生應(yīng)用模型解決實(shí)際問(wèn)題。如：馬路一邊從頭到尾一共有25盞路燈，每?jī)杀K路燈之間相距50米，這條馬路一共長(zhǎng)多少米；一根木頭10米，鋸了4次，平均每段長(zhǎng)多少米；小紅從底樓到家一共要爬90級(jí)臺(tái)階，每層有15個(gè)臺(tái)階，小紅家住幾樓。

“路燈問(wèn)題、鋸木頭問(wèn)題、爬樓梯問(wèn)題”都屬于“植樹(shù)問(wèn)題”，它們有共同的結(jié)構(gòu)特征，讓學(xué)生嘗試這些問(wèn)題的解答，引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題的同時(shí)，比較歸納出這些問(wèn)題的共同的結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步明確“間隔數(shù)”與“物體”兩者的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這是對(duì)“植樹(shù)問(wèn)題”模型結(jié)構(gòu)的拓展，擴(kuò)大了模型的外延，并能培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、觸類旁通的解決問(wèn)題的能力，同時(shí)促使數(shù)學(xué)知識(shí)向現(xiàn)實(shí)生活的有效“回歸”。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，模型無(wú)處不在，小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，實(shí)際上就是對(duì)一系列數(shù)學(xué)模型的理解、把握的過(guò)程。在建模過(guò)程中，我們要以“數(shù)學(xué)化”的問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)歷探究問(wèn)題的過(guò)程，抽象出數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)，通過(guò)求解驗(yàn)證模型結(jié)構(gòu)的正確性，并在運(yùn)用中拓展模型的內(nèi)涵和外延，從而讓學(xué)生在建模的過(guò)程中感悟模型思想的無(wú)窮魅力。

（作者單位：江蘇張家港市泗港小學(xué)）endprint

數(shù)學(xué)模型思想是“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）”新增的核心概念之一，所謂“數(shù)學(xué)模型”，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，去抽象地、概括地表征所研究對(duì)象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，包括字母、數(shù)學(xué)符號(hào)、代數(shù)式、方程……數(shù)學(xué)模型的建立要經(jīng)歷“問(wèn)題情境———建立模型———求解驗(yàn)證”的過(guò)程。那么，如何在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷建模過(guò)程，發(fā)展模型思想呢？

一、重現(xiàn)“生活原型”，滲透模型思想

新課標(biāo)指出：“數(shù)模的建構(gòu)過(guò)程，是從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與運(yùn)用的過(guò)程。”可見(jiàn)，“日常生活”是幫助學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題的源泉。將“生活原型”抽象為“數(shù)學(xué)模型”這是小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透數(shù)學(xué)模型思想的最直觀的方法。學(xué)生在日常生活中已經(jīng)積累了一些關(guān)于數(shù)學(xué)模型的雛形，即“生活原型”，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)，就要引導(dǎo)學(xué)生將這些“生活原型”進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”，初步抽象出數(shù)學(xué)模型，使兩者進(jìn)行“有效鏈接”。

例如，“三角形兩邊之和大于第三邊”這一特性對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)比較抽象，即使是通過(guò)動(dòng)手操作總結(jié)出來(lái)的，還可能只是表象的認(rèn)識(shí)，不知所以然。在活動(dòng)探究之前，利用多媒體再現(xiàn)這樣一個(gè)生活情境：東東從學(xué)校出發(fā)到少年宮可以怎樣走？（如下圖）

生：有兩條路可以走，第一條是從學(xué)校經(jīng)電影院再到少年宮；第二條是從學(xué)校直接去少年宮。

師：哪條路最近呢？

生：從學(xué)校直接去少年宮這條路最近。理由是兩點(diǎn)之間線段最短，從學(xué)校經(jīng)電影院再到少年宮走的路線不是直線，構(gòu)成了一個(gè)角度，兩條路程相加肯定比一條直的線段要遠(yuǎn)？

師：這兩種路線正好形成了一個(gè)三角形，那么三角形三條邊之間有什么關(guān)系呢，相信剛才的討論一定會(huì)帶給大家新的啟示，下面我們就帶著這個(gè)問(wèn)題一起來(lái)進(jìn)行探究……

“走直線距離最短”，學(xué)生人人皆知，由這一走路的“生活問(wèn)題”引出“兩點(diǎn)之間線段最短”這一數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，將生活和數(shù)學(xué)進(jìn)行了“有效鏈接”。在生活原型中，滲透了“兩種路線中，走一條直線肯定比兩條路線相加要短”這一模型的思想，而這兩條路線正好構(gòu)成了一個(gè)三角形，從而將三角形特征“兩邊之和一定大于第三邊”進(jìn)行了“對(duì)接”。這一環(huán)節(jié)，依托“生活原型”初步滲透“數(shù)學(xué)模型”，為學(xué)生接下來(lái)的探究提供建模的“支點(diǎn)”，滲透了建模的思想。

二、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，抽象模型問(wèn)題

三、體驗(yàn)活動(dòng)過(guò)程，建立模型結(jié)構(gòu)

如果說(shuō)抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題是建模的“起點(diǎn)”，那么建立模型結(jié)構(gòu)便是建模的“目標(biāo)”。它是對(duì)抽象出來(lái)的問(wèn)題進(jìn)行深入探究，并通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行概括、整理，從中尋找其普遍規(guī)律或特征，并能抽象出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（數(shù)學(xué)模型），也就是第二次建模的過(guò)程。模型思想作為基本的數(shù)學(xué)思想重在體驗(yàn)和感悟，我們應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)設(shè)開(kāi)放的探究空間，讓學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)建模的過(guò)程，感悟建模的思想方法，積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

例如，在學(xué)生認(rèn)識(shí)了“列”和“行”后，教師引導(dǎo)學(xué)生探究形成數(shù)對(duì)規(guī)范的書(shū)寫格式。（多媒體課件展示幾名學(xué)生的位置）

師：我們已經(jīng)知道了如何確定行和列，那么圖上小軍的位置可以怎樣表示呢？

生：第4列第3行，第3行第4列（教師板書(shū)兩種情況）

（多媒體課件閃爍其他幾個(gè)同學(xué)的位置，讓同學(xué)記錄下來(lái)，紅點(diǎn)很快閃爍）

通過(guò)討論認(rèn)為第2列第2行可以記錄為（2，2），初步引出數(shù)對(duì)的格式。學(xué)生模仿這種方法記錄剩余同學(xué)的位置，出現(xiàn)了疑惑：小紅第5列第4行，學(xué)生記錄兩種情況（5，4）或（4，5）。小剛第5行第4列，學(xué)生也記錄了兩種情況（4，5）或（5，4）。

生：（疑惑）兩個(gè)不同的位置怎么可能用相同的數(shù)對(duì)來(lái)表示呢？（學(xué)生認(rèn)識(shí)到在記錄數(shù)對(duì)的時(shí)候要規(guī)定行和列的先后順序）

師：為了不產(chǎn)生混淆，在寫數(shù)對(duì)的時(shí)候，規(guī)定數(shù)對(duì)中列在前行在后。板書(shū)（列，行）

師：現(xiàn)在你能正確記錄圖上小軍和明明的位置了嗎？

學(xué)生記錄：小軍（4，3）；明明（3，5）……

教師沒(méi)有直接告訴學(xué)生數(shù)對(duì)的規(guī)范格式，而是讓學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)對(duì)形成的過(guò)程，體驗(yàn)了數(shù)模的構(gòu)建過(guò)程。這樣的建模雖然比傳統(tǒng)的“直接告知”要費(fèi)時(shí)，但學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)歷了沖突———自我否定———認(rèn)知肯定———再?zèng)_突———再否定———最后達(dá)成認(rèn)知平衡的過(guò)程，感悟是深刻的。從知識(shí)的形成來(lái)看，經(jīng)歷了問(wèn)題情境———建立模型（雛形）———求解驗(yàn)證（否定）———調(diào)整模型（成型）。這一模型的構(gòu)建過(guò)程，是孩子們創(chuàng)造的過(guò)程，體驗(yàn)是快樂(lè)的。

四、解決實(shí)際問(wèn)題，拓展模型外延

數(shù)學(xué)模型的建立不是最終目的，而讓學(xué)生形成技能，建立思維方法，再運(yùn)用模型去解決問(wèn)題，讓學(xué)生理解并形成數(shù)學(xué)的思維，這種數(shù)學(xué)化的思想才是根本目的。所以在建模教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)模型還原成具體的數(shù)學(xué)直觀或可感的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，使已經(jīng)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型不斷得以擴(kuò)充和提升。利用模型解決實(shí)際問(wèn)題便是數(shù)學(xué)模型的有效拓展。

例如，“植樹(shù)中的規(guī)律”通過(guò)探究總結(jié)出了植樹(shù)的三種不同類型，即“兩端都種，兩端都不種、只種一端”，并總結(jié)出規(guī)律：兩端都種，樹(shù)的棵數(shù)是間隔加一；兩端都不種，樹(shù)的棵數(shù)是間隔減一；只種一端，樹(shù)的棵數(shù)和間隔相等。抽象出數(shù)學(xué)模型后，讓學(xué)生應(yīng)用模型解決實(shí)際問(wèn)題。如：馬路一邊從頭到尾一共有25盞路燈，每?jī)杀K路燈之間相距50米，這條馬路一共長(zhǎng)多少米；一根木頭10米，鋸了4次，平均每段長(zhǎng)多少米；小紅從底樓到家一共要爬90級(jí)臺(tái)階，每層有15個(gè)臺(tái)階，小紅家住幾樓。

“路燈問(wèn)題、鋸木頭問(wèn)題、爬樓梯問(wèn)題”都屬于“植樹(shù)問(wèn)題”，它們有共同的結(jié)構(gòu)特征，讓學(xué)生嘗試這些問(wèn)題的解答，引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題的同時(shí)，比較歸納出這些問(wèn)題的共同的結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步明確“間隔數(shù)”與“物體”兩者的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這是對(duì)“植樹(shù)問(wèn)題”模型結(jié)構(gòu)的拓展，擴(kuò)大了模型的外延，并能培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、觸類旁通的解決問(wèn)題的能力，同時(shí)促使數(shù)學(xué)知識(shí)向現(xiàn)實(shí)生活的有效“回歸”。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，模型無(wú)處不在，小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，實(shí)際上就是對(duì)一系列數(shù)學(xué)模型的理解、把握的過(guò)程。在建模過(guò)程中，我們要以“數(shù)學(xué)化”的問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)歷探究問(wèn)題的過(guò)程，抽象出數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)，通過(guò)求解驗(yàn)證模型結(jié)構(gòu)的正確性，并在運(yùn)用中拓展模型的內(nèi)涵和外延，從而讓學(xué)生在建模的過(guò)程中感悟模型思想的無(wú)窮魅力。

（作者單位：江蘇張家港市泗港小學(xué)）endprint

數(shù)學(xué)模型思想是“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）”新增的核心概念之一，所謂“數(shù)學(xué)模型”，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，去抽象地、概括地表征所研究對(duì)象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，包括字母、數(shù)學(xué)符號(hào)、代數(shù)式、方程……數(shù)學(xué)模型的建立要經(jīng)歷“問(wèn)題情境———建立模型———求解驗(yàn)證”的過(guò)程。那么，如何在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷建模過(guò)程，發(fā)展模型思想呢？

一、重現(xiàn)“生活原型”，滲透模型思想

新課標(biāo)指出：“數(shù)模的建構(gòu)過(guò)程，是從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與運(yùn)用的過(guò)程。”可見(jiàn)，“日常生活”是幫助學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題的源泉。將“生活原型”抽象為“數(shù)學(xué)模型”這是小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透數(shù)學(xué)模型思想的最直觀的方法。學(xué)生在日常生活中已經(jīng)積累了一些關(guān)于數(shù)學(xué)模型的雛形，即“生活原型”，我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)，就要引導(dǎo)學(xué)生將這些“生活原型”進(jìn)行“數(shù)學(xué)化”，初步抽象出數(shù)學(xué)模型，使兩者進(jìn)行“有效鏈接”。

例如，“三角形兩邊之和大于第三邊”這一特性對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)比較抽象，即使是通過(guò)動(dòng)手操作總結(jié)出來(lái)的，還可能只是表象的認(rèn)識(shí)，不知所以然。在活動(dòng)探究之前，利用多媒體再現(xiàn)這樣一個(gè)生活情境：東東從學(xué)校出發(fā)到少年宮可以怎樣走？（如下圖）

生：有兩條路可以走，第一條是從學(xué)校經(jīng)電影院再到少年宮；第二條是從學(xué)校直接去少年宮。

師：哪條路最近呢？

生：從學(xué)校直接去少年宮這條路最近。理由是兩點(diǎn)之間線段最短，從學(xué)校經(jīng)電影院再到少年宮走的路線不是直線，構(gòu)成了一個(gè)角度，兩條路程相加肯定比一條直的線段要遠(yuǎn)？

師：這兩種路線正好形成了一個(gè)三角形，那么三角形三條邊之間有什么關(guān)系呢，相信剛才的討論一定會(huì)帶給大家新的啟示，下面我們就帶著這個(gè)問(wèn)題一起來(lái)進(jìn)行探究……

“走直線距離最短”，學(xué)生人人皆知，由這一走路的“生活問(wèn)題”引出“兩點(diǎn)之間線段最短”這一數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，將生活和數(shù)學(xué)進(jìn)行了“有效鏈接”。在生活原型中，滲透了“兩種路線中，走一條直線肯定比兩條路線相加要短”這一模型的思想，而這兩條路線正好構(gòu)成了一個(gè)三角形，從而將三角形特征“兩邊之和一定大于第三邊”進(jìn)行了“對(duì)接”。這一環(huán)節(jié)，依托“生活原型”初步滲透“數(shù)學(xué)模型”，為學(xué)生接下來(lái)的探究提供建模的“支點(diǎn)”，滲透了建模的思想。

二、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，抽象模型問(wèn)題

三、體驗(yàn)活動(dòng)過(guò)程，建立模型結(jié)構(gòu)

如果說(shuō)抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題是建模的“起點(diǎn)”，那么建立模型結(jié)構(gòu)便是建模的“目標(biāo)”。它是對(duì)抽象出來(lái)的問(wèn)題進(jìn)行深入探究，并通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行概括、整理，從中尋找其普遍規(guī)律或特征，并能抽象出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（數(shù)學(xué)模型），也就是第二次建模的過(guò)程。模型思想作為基本的數(shù)學(xué)思想重在體驗(yàn)和感悟，我們應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)設(shè)開(kāi)放的探究空間，讓學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)建模的過(guò)程，感悟建模的思想方法，積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

例如，在學(xué)生認(rèn)識(shí)了“列”和“行”后，教師引導(dǎo)學(xué)生探究形成數(shù)對(duì)規(guī)范的書(shū)寫格式。（多媒體課件展示幾名學(xué)生的位置）

師：我們已經(jīng)知道了如何確定行和列，那么圖上小軍的位置可以怎樣表示呢？

生：第4列第3行，第3行第4列（教師板書(shū)兩種情況）

（多媒體課件閃爍其他幾個(gè)同學(xué)的位置，讓同學(xué)記錄下來(lái)，紅點(diǎn)很快閃爍）

通過(guò)討論認(rèn)為第2列第2行可以記錄為（2，2），初步引出數(shù)對(duì)的格式。學(xué)生模仿這種方法記錄剩余同學(xué)的位置，出現(xiàn)了疑惑：小紅第5列第4行，學(xué)生記錄兩種情況（5，4）或（4，5）。小剛第5行第4列，學(xué)生也記錄了兩種情況（4，5）或（5，4）。

生：（疑惑）兩個(gè)不同的位置怎么可能用相同的數(shù)對(duì)來(lái)表示呢？（學(xué)生認(rèn)識(shí)到在記錄數(shù)對(duì)的時(shí)候要規(guī)定行和列的先后順序）

師：為了不產(chǎn)生混淆，在寫數(shù)對(duì)的時(shí)候，規(guī)定數(shù)對(duì)中列在前行在后。板書(shū)（列，行）

師：現(xiàn)在你能正確記錄圖上小軍和明明的位置了嗎？

學(xué)生記錄：小軍（4，3）；明明（3，5）……

教師沒(méi)有直接告訴學(xué)生數(shù)對(duì)的規(guī)范格式，而是讓學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)對(duì)形成的過(guò)程，體驗(yàn)了數(shù)模的構(gòu)建過(guò)程。這樣的建模雖然比傳統(tǒng)的“直接告知”要費(fèi)時(shí)，但學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)歷了沖突———自我否定———認(rèn)知肯定———再?zèng)_突———再否定———最后達(dá)成認(rèn)知平衡的過(guò)程，感悟是深刻的。從知識(shí)的形成來(lái)看，經(jīng)歷了問(wèn)題情境———建立模型（雛形）———求解驗(yàn)證（否定）———調(diào)整模型（成型）。這一模型的構(gòu)建過(guò)程，是孩子們創(chuàng)造的過(guò)程，體驗(yàn)是快樂(lè)的。

四、解決實(shí)際問(wèn)題，拓展模型外延

數(shù)學(xué)模型的建立不是最終目的，而讓學(xué)生形成技能，建立思維方法，再運(yùn)用模型去解決問(wèn)題，讓學(xué)生理解并形成數(shù)學(xué)的思維，這種數(shù)學(xué)化的思想才是根本目的。所以在建模教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)模型還原成具體的數(shù)學(xué)直觀或可感的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，使已經(jīng)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型不斷得以擴(kuò)充和提升。利用模型解決實(shí)際問(wèn)題便是數(shù)學(xué)模型的有效拓展。

例如，“植樹(shù)中的規(guī)律”通過(guò)探究總結(jié)出了植樹(shù)的三種不同類型，即“兩端都種，兩端都不種、只種一端”，并總結(jié)出規(guī)律：兩端都種，樹(shù)的棵數(shù)是間隔加一；兩端都不種，樹(shù)的棵數(shù)是間隔減一；只種一端，樹(shù)的棵數(shù)和間隔相等。抽象出數(shù)學(xué)模型后，讓學(xué)生應(yīng)用模型解決實(shí)際問(wèn)題。如：馬路一邊從頭到尾一共有25盞路燈，每?jī)杀K路燈之間相距50米，這條馬路一共長(zhǎng)多少米；一根木頭10米，鋸了4次，平均每段長(zhǎng)多少米；小紅從底樓到家一共要爬90級(jí)臺(tái)階，每層有15個(gè)臺(tái)階，小紅家住幾樓。

“路燈問(wèn)題、鋸木頭問(wèn)題、爬樓梯問(wèn)題”都屬于“植樹(shù)問(wèn)題”，它們有共同的結(jié)構(gòu)特征，讓學(xué)生嘗試這些問(wèn)題的解答，引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題的同時(shí)，比較歸納出這些問(wèn)題的共同的結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步明確“間隔數(shù)”與“物體”兩者的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這是對(duì)“植樹(shù)問(wèn)題”模型結(jié)構(gòu)的拓展，擴(kuò)大了模型的外延，并能培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、觸類旁通的解決問(wèn)題的能力，同時(shí)促使數(shù)學(xué)知識(shí)向現(xiàn)實(shí)生活的有效“回歸”。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，模型無(wú)處不在，小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，實(shí)際上就是對(duì)一系列數(shù)學(xué)模型的理解、把握的過(guò)程。在建模過(guò)程中，我們要以“數(shù)學(xué)化”的問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)歷探究問(wèn)題的過(guò)程，抽象出數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)，通過(guò)求解驗(yàn)證模型結(jié)構(gòu)的正確性，并在運(yùn)用中拓展模型的內(nèi)涵和外延，從而讓學(xué)生在建模的過(guò)程中感悟模型思想的無(wú)窮魅力。

（作者單位：江蘇張家港市泗港小學(xué)）endprint