數(shù)形“相依”促發(fā)展

丁月芳

很多教師在《有余數(shù)的除法》的教學中經(jīng)常設計這樣的教學活動：有13個獎品（或者其他物品），每個小朋友分4個，能分給多少個小朋友？

先是學生動手操作，分“模擬”獎品來理解算理，然后利用“圈一圈”活動進一步理解算理，借助“形”來理解抽象的算式中每個數(shù)與運算符號的意義，建立“形”與有余數(shù)除法算式之間的聯(lián)系，滲透數(shù)形結合思想，如下圖。

從而得出：13÷4=3……1。

借助直觀形象模型來理解抽象的數(shù)學概念以及抽象的數(shù)量關系是小學生學習數(shù)學的重要方法，可以說，上述教學活動對讓學生理解除法，尤其是余數(shù)的意義非常重要。“分一分”與“圈一圈”是非常有價值的數(shù)學活動，但在上述活動中并沒有滲透數(shù)學意義上的數(shù)形結合思想，它至多只能是數(shù)形結合方法的雛形。

【內(nèi)涵】數(shù)形結合思想的內(nèi)涵究竟是什么呢？帶著這個問題，我認真學習了北京教育學院劉加霞教授《“數(shù)形結合”思想的內(nèi)涵、發(fā)展及其在小學數(shù)學教學中的滲透》這篇文章，文中對數(shù)形結合思想的內(nèi)涵作了全面而深刻的詮釋。

數(shù)形結合一詞正式出現(xiàn)，是在華羅庚先生于1964年1月撰寫的《談談與蜂房結構有關的數(shù)學問題》科普小冊子中。“數(shù)無形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，形象生動、深刻地指明了數(shù)形結合思想的價值，也揭示了數(shù)形結合思想的本質(zhì)。在這里，“數(shù)”主要指數(shù)、數(shù)量關系式、運算式、函數(shù)關系式、方程等；“形”則主要指幾何圖形與直角坐標系下的函數(shù)圖像。理解抽象的數(shù)、數(shù)量關系與函數(shù)關系式不能脫離直觀的圖形與圖像，同時對幾何圖形的認識與理解也不能離開從數(shù)量上刻畫圖形的大小、形狀。“數(shù)形結合就是把數(shù)學問題中的運算、數(shù)量關系等與幾何圖形與圖像結合起來進行思考，從而使“數(shù)”與“形”各展其長，優(yōu)勢互補，相輔相成，使邏輯思維與形象思維完美地統(tǒng)一起來。

【體會】基于以上對數(shù)形結合思想的認識，結合自己的教學實踐，談談在小學數(shù)學課堂中滲透數(shù)形結合思想的體會。

《數(shù)學課程標準》（2011年版）明確提出：“在數(shù)學課程中，應當注重發(fā)展學生的數(shù)感、符號思想、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。”為了適應時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學課程還特別注重發(fā)展學生的應用意識和創(chuàng)新意識。所有這些能力的培養(yǎng)都離不開數(shù)學思想的支撐，而數(shù)形結合思想在小學數(shù)學課堂教學中尤為重要。

一、應用數(shù)形結合思想，有助于發(fā)展學生的數(shù)感

加強數(shù)感的培養(yǎng)是數(shù)與計算教學領域改革的一個重要理念。學生數(shù)感的建立需要一個逐步體驗和發(fā)展的過程，小學階段培養(yǎng)數(shù)感都是運用了數(shù)形結合，給學生提供豐富的學習素材，使學生在數(shù)學學習過程中形象感知數(shù)的實際意義，逐步形成良好的數(shù)感。

由于小學生對直尺非常熟悉，所以在學習中通常以直尺為原型，逐步經(jīng)歷從“數(shù)尺”到“數(shù)線”再到“數(shù)軸”的過程，把數(shù)與“數(shù)尺”“數(shù)線”“數(shù)軸”上的點一一對應起來，數(shù)可以視為點，點可以視為數(shù)，幫助學生理解數(shù)的意義、順序和大小。

如，在教學“負數(shù)”之后，我在數(shù)軸上表示出正數(shù)和負數(shù)的排列順序。

首先引導學生觀察“0”在數(shù)軸上的特殊位置，以“0”為分界點，“0”的右邊是正數(shù)，從左往右依次排列，越來越大；“0”的左邊是負數(shù)，從右往左依次排列，越來越小。借助數(shù)軸形象感知數(shù)軸上的數(shù)從左往右的順序就是從小到大的順序，比“0”大的數(shù)是正數(shù)，比“0”小的數(shù)是負數(shù)，“0”既不是正數(shù)也不是負數(shù)，實現(xiàn)對數(shù)的結構的整體建構。

又如，在教學《求一個小數(shù)的近似數(shù)》時，為了突破教學難點“區(qū)別近似數(shù)1.5和1.50，理解保留的小數(shù)位數(shù)越多，求出的近似值越精確”，一位教師就出示了如下數(shù)軸：

由于數(shù)軸實現(xiàn)了數(shù)與形的聯(lián)系，將數(shù)與直線上的點建立了對應關系，揭示了數(shù)與形的內(nèi)在關系，從而使抽象的數(shù)有“形”可依。通過借助數(shù)軸對比，讓學生直觀感受近似數(shù)是1.5的兩位小數(shù)在1.45～1.54之間，而近似數(shù)是1.50的三位小數(shù)在1.495～1.504之間，范圍小了，所以1.50比1.5更精確。之后又追問：近似數(shù)是1.500的四位小數(shù)的范圍呢？近似數(shù)是1.5000的呢？拓展思維，并滲透了極限思想，學生能感受到保留的小數(shù)位數(shù)越多，近似數(shù)的精確度越高。這樣，本節(jié)課的教學難點就迎刃而解了。

可見，我們在研究抽象的“數(shù)”時，往往要借助于直觀的“形”，利用數(shù)形結合方法能使“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來，豐富學生對數(shù)的形象感知，進一步發(fā)展學生的數(shù)感。

二、應用數(shù)形結合思想，有助于發(fā)展學生的運算能力

運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。有些算理比較抽象，學生理解起來有些困難，我們可以通過讓學生在紙上涂一涂、畫一畫、分一分，或通過課件動態(tài)演示等方法，借助直觀圖形把抽象的算理具體化，復雜問題簡單化，化難為易，形象地幫助學生理清算理，掌握計算方法，提高運算能力。

如六年級學生學習《分數(shù)乘分數(shù)》時，要記住分數(shù)乘分數(shù)的計算法則并不困難，但理解分數(shù)乘分數(shù)的計算算理有些難度，所以在教學《分數(shù)乘分數(shù)》一課時的導入環(huán)節(jié)，教師呈現(xiàn)了以下動態(tài)過程，借助圖形語言來引導學生理解分數(shù)乘分數(shù)的意義，探索并掌握分數(shù)乘分數(shù)的計算方法。

首先創(chuàng)設了如下問題情境：

如果老師把一個 看作單位“1”，你能用一個式子表示下面的圖意嗎？

（1）動態(tài)出示：

得到：1×，引出：“求一個數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法”。

（2）動態(tài)完善圖形：

得到：×，引出：“求一個分數(shù)的幾分之幾是多少，也用乘法。”

（3）繼續(xù)動態(tài)完善圖形：

得到：×，再次指出：求一個數(shù)的幾分之幾是多少，可以用乘法計算。這個數(shù)可以是整數(shù)，也可以是分數(shù)，從而理解分數(shù)乘分數(shù)的意義。

接著以×為例，讓學生自己折一折、數(shù)一數(shù)、涂一涂，親自操作體驗后，觀察自己的涂色部分，使學生明白×就是把一個長方形平均分成2×4份，取其中的1份，從而推導出×=。在此基礎上繼續(xù)研究×的算理和算法，這樣讓學生親身經(jīng)歷、體驗數(shù)形結合的過程，腦中就會真正建立起數(shù)和形的聯(lián)系，看到算式就聯(lián)想到圖形，看到圖形能聯(lián)想到算式，建立算理的探究、算法的構建，從而達到對算理的深層理解和對算法的正確掌握。

可見，在計算教學中，教師要適時引導學生借助直觀圖和操作學具等方法，幫助學生理清算理，正確掌握計算方法，做到“循理入法，以理馭法”。利用數(shù)形結合的方法，學生表象清晰，記憶深刻，對算理的理解透徹，既知其然又知其所以然。事實上，也是形象思維與抽象思維協(xié)同應用的一種過程，其教學效果顯而易見。

三、應用數(shù)形結合思想，有助于發(fā)展學生的空間觀念

空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。

小學數(shù)學中雖然沒有學習函數(shù)，但還是慢慢地開始滲透函數(shù)思想。例如，在教學五年級下冊《確定位置》一課時，教師設計了如下環(huán)節(jié)：

1.出示圖一。

公園里的這兩個景點畫在方格紙上，你能試著用數(shù)對表示它們的位置嗎？

這里有個大門，你知道它的位置嗎？

師：（0，0）這個位置很重要，它表示這個圖的起點，到中學我們繼續(xù)研究。

2.出示圖二。

師：這里還有幾個景點，你能用數(shù)對表示它的位置嗎？（引導學生說出把方格線延長。）

課件動態(tài)演示方格線延長，然后用數(shù)對表示各景點的位置。

重點引導：游樂場的位置（2，-1），表示第2列，第-1行。

小結：可別小看這一小小的負數(shù)，有了它的加盟，想一想，如果我們再往下一些，或者干脆到了左邊，平面上任何一點，我們都可以用數(shù)對來確定它的位置。

以上教學設計從現(xiàn)實情景過渡到平面圖形，再將平面圖抽象為比較形象的直角坐標系，建立數(shù)對與平面上點之間的一一對應關系，是學生進一步理解數(shù)形結合思想的又一載體。在此過程中學生初步體驗到，有了坐標系（參照點即原點、相互垂直的帶有方向的兩條直線、每條直線上規(guī)定單位長度）后，整個平面就結構化了，學生經(jīng)歷了方格線從無到有的延伸，從一般數(shù)對到負數(shù)數(shù)對的拓展。對于平面上任何一點的位置，我們都可以用一對有順序的數(shù)來唯一地加以確定，“數(shù)”與“形”再一次結合，學生的空間觀念得到進一步發(fā)展。

四、應用數(shù)形結合思想，有助于發(fā)展學生的數(shù)學思考

課程改革中特別強調(diào)對知識的過程性體驗，即讓學生親身經(jīng)歷知識形成的過程。但如果這種經(jīng)歷缺乏數(shù)學思考的支撐，也就失去了本身的價值和意義。數(shù)學思考是學生經(jīng)歷一個觀察、猜想、實驗、判斷、證明的思維過程，是用數(shù)學的方法去解決問題。數(shù)學思考不是指增加思考難度，而應是數(shù)學思考過程的增加，簡單的問題中也能體現(xiàn)出數(shù)學思考的軌跡。數(shù)形結合就是把抽象難懂的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀形象的幾何圖形、位置關系結合起來，通過數(shù)形結合為學生提供恰當?shù)男蜗蟛牧希梢詫⒊橄蟮臄?shù)量關系具體化，把隱性的數(shù)學本質(zhì)顯性化。

本學期，在我校開展的導師工作室研討活動中，我嘗試把“正比例的意義”和圖像結合起來組織教學，對教材進行了一次大膽的重組。正比例的概念比較抽象，如何讓學生正確建構出正比例的模型，關鍵是要帶領學生找到正比例最核心的本質(zhì)，即“比值一定”。應用數(shù)形結合思想可以把抽象的數(shù)量關系與形象的直觀坐標圖聯(lián)系起來，在“數(shù)”“形”互譯中去理解正比例的本質(zhì)，發(fā)展學生的數(shù)學思考。

數(shù)學知識的獲得不是一蹴而就的，需要讓學生經(jīng)歷知識的形成過程。在這個過程中，最重要的是激發(fā)學生不斷深入地進行數(shù)學思考。

實踐表明：學生在研究數(shù)學問題時，由數(shù)思形、見形思數(shù)、數(shù)形結合地考慮問題是一種常用的思想方法。數(shù)形結合不僅是一種數(shù)學思想，也是一種很好的教學方法，它反映了新的課程觀滲透數(shù)形結合思想的必要性和可行性。由此，我們的教學應當給學生提供必要的數(shù)學思想和豐富的學習經(jīng)歷，只要這樣，才能有利于發(fā)展學生的學習能力，促進學生的可持續(xù)發(fā)展。