基于數學思考的“猜”才有教學價值

費嶺峰+胡慧良

名師檔案

費嶺峰，中學高級教師，浙江省嘉興市南湖區教育研究培訓中心教研員。曾被評為浙江省優秀教師、浙江省教科研先進個人、嘉興市名教師、嘉興市首屆“十佳”青年社科人才，是浙江省名師培養對象、嘉興市新世紀專業技術帶頭人培養人選。課堂教學曾獲全國小學數學教學專業委員會錄像課評比一等獎、浙江省“教改之星”金獎。在省級以上專業刊物發表論文或案例145篇。主持過省級課題2項，市級課題6項，參與省級課題5項，研究成果和論文曾獲市級一等獎以上獎項40次。在市級及以上作公開展示交流70余次。經過多年的課堂教學實踐與探索，形成了以“活動”為主線、“活而有效”的小學數學課堂教學特色。

猜測是新課程理念下一種重要的學習活動，一線教師也經常會用。近日下校隨堂聽課，在一節《四邊形的認識》課中，執教教師便設計了一個“猜”的活動。

練習：請你猜一猜，圖中（圖1）遮住的是一個怎樣的四邊形？

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練習安排在例1“了解四邊形的基本特征”、例2“知道四邊形中還有如長方形等特殊的四邊形”等新知探究及一些基本練習之后。從呈現在屏幕上的四個備選答案來看，教師是把它作為一道提升練習題來完成的。實際教學中，學生也確實猜出了多種結果：有的說是長方形，有的說是正方形，有的說是一般四邊形，還有的說是凹四邊形。現場氣氛顯得頗為熱烈。

練習至此，不由得引起了筆者的思考：此練習對于認識四邊形特征的意義究竟有多大？如果是出于引導學生進一步認識一些特殊四邊形（如長方形、正方形、梯形、平行四邊形等）的特殊性，這樣的猜測活動怎樣設計會幫助更大？

我們知道，猜測作為數學學習活動的一種，有著重要的價值。根據觀察到的某個圖形的部分“猜”整個圖形，這既是進一步理解圖形概念、認識圖形特征的好辦法，同時又是一個培養空間觀念的有效策略。因為在猜測過程中，猜測者需要有對觀察到的部分圖形與某個圖形整體之間建立起聯系的過程，然后才能以圖形概念屬性為依據作出分析與判斷，其間會伴隨著猜測者對對象空間形象的期盼，而這樣的期盼對形成和鞏固圖形的概念表象有著重要的價值。

只是，筆者現在所思考的是，課中這個“猜圖形”的練習對于本節課進一步認識四邊形的特征，或者理解建構特殊四邊形的形狀是否有效呢？由此筆者想到了“三角形分類”教學中的一個經典練習：猜猜紙片遮住的是什么三角形？（如下圖）

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以上課中練習似乎與這個練習相似，但深入思考后筆者發現，課中練習中的“猜”與“三角形分類”練習中的“猜”是有著本質區別的?！叭切畏诸悺本毩曋械摹安隆保话惆才旁趯W習了“三角形按角分類”的知識之后，價值在于引導學生從圖形關鍵要素出發進行思考，是一種有價值的數學思考。如對圖2中三角形的猜測，結果會是兩種：一是“直角三角形”，二是“等腰直角三角形”。得出“直角三角形”這個結論是基于直角三角形的本質屬性（三角形中有且只有一個直角）而來，這是學生基于概念理解的有根據的推理，是一種邏輯思考。與此相同，第二個圖形“鈍角三角形”結論的得到，同樣有這樣的思考過程。對第三個圖形的猜測則比較特殊，因為根據看到的一個銳角，無法判定這是個什么三角形。此練習之所以成為“三角形分類”教學中的經典練習，是因為其在引導猜測過程中，學生可以把握三類三角形的本質屬性，從本質屬性出發展開思考，從而深刻理解三類三角形的關鍵要素，建構起三類三角形特定的圖形表象。這是一種具有豐富數學思考的學習活動，是一種典型的有意義學習。

我們再來看“四邊形的認識”中“看到一個直角猜四邊形”的練習。從課后與執教老師交流中了解到，設計本練習有兩個目的：一是進一步引導學生理解長方形和正方形中有四個直角的特征；二是想讓學生體會“看到一個直角是不能確定這是一個怎樣的四邊形的”。研討中，我們對于這樣的定位提出了質疑：本練習對幫助學生進一步認識長方形、正方形的特征有效嗎？本節課中體會“根據一個直角不能判定一個四邊形”的形狀的認識價值有多大？

數學教學中的“猜測”不應該是一種毫無根據的瞎猜，而是需要基于思考基礎上的有根據的推理與判斷。從教學實踐中的狀況來看，學生猜的結果有正方形、長方形、任意四邊形、梯形等，看似答案豐富，似乎達到了預設的目標。但仔細分析得到這些結果的思維過程，我們會發現，因為呈現部分圖形中的一個直角，并不能影響到猜測對象的范圍（即結論包含了所有有一個角是直角的四邊形），此時的猜測思維要求太低，數學思考的價值不大，特別是對建構起不同四邊形之間的聯系基本失去作用。事實上，此處的開放，與“三角形分類”練習中對于“看到一個銳角無法推斷是一個什么三角形”的價值不同?！叭切畏诸悺本毩曋械谌齻€圖形的判斷，其練習目標正是讓學生理解和掌握“根據三角形中的一個銳角去判定三角形”，條件是不充分的。這是在引導學生與“根據一個直角判定三角形”和“根據一個鈍角判定三角形”進行比較基礎上的思維系統化的一步，課堂上正是借助學生猜測、爭論活動，幫助其理解三角形“角”的元素對判定三角形的重要性，強化對三類三角形概念的理解。

經過研討，與執教老師達成了共識。本環節的練習既是一個進一步認識圖形特征的練習，更是一個圖形表象印刻的重要時機。因此，此時的練習需要迫使學生去內化知識，充分調動思維要素參與數學活動。如果要用“猜”的方式進行練習，則需要對此練習作出一定的調整，可以設計成一個連續“猜”的活動。

第一次“猜”，根據圖1，請你猜一猜遮住的是一個怎樣的四邊形？

因為此時只提供了一個直角，結果會出現多種：長方形、正方形、任意四邊形（包括凸、凹四邊形）、直角梯形等。使學生體會到，只根據一個“角”是無法判定一個四邊形的形狀的。

第二次“猜”，觀察材料變成圖5。問：現在你能判斷遮住的是一個怎樣的四邊形嗎？

因為此時能夠觀察的材料有兩個直角。一組平行對邊，所以結果可能是：長方形、正方形、直角梯形等。引導學生體會根據“角”和“邊”的特點，從兩個緯度來判定一個四邊形的形狀，較之前面有了一定的方向了。

第三次“猜”，觀察到的部分增加，變為圖6。

此時能夠觀察到的材料中有兩組平行線、三個直角（其實可以判定四個角都是直角），所以結果會有兩種可能：長方形、正方形。當然也有觀察能力強的學生直接就認定，只有一種可能：正方形。

應該說，本練習設計與原設計比較，使用價值已經有了很大提升，學生的三次猜測，如同經歷了一次概念內涵不斷增加、外延不斷縮小的圖形形成過程。很顯然，這樣的過程既是一個學生空間觀念培養的過程，同時也是一個很好的發展學生邏輯思維能力的過程。

當然，我們還可以通過下面的途徑，設計成從平行線出發去引導學生猜，可能更符合平行四邊形、長方形、正方形的定義。教學過程設計如下：

圖中（圖7）遮住部分是一個怎樣的四邊形？

（1） （2） （3）

圖7

（1）根據觀察到的一組平行線“猜”，結果會有四種可能：梯形、平行四邊形、長方形、正方形。

（2）根據觀察到的一組平行線和一個直角（其實左邊兩個角都是直角）“猜”，結果會有三種可能：梯形、長方形或正方形。

（3）根據材料中的兩組平行線、三個直角（其實可以判定四個角都是直角）“猜”，結果是正方形。當然，觀察能力較弱的學生可能需要通過完全呈現材料才能確定是正方形。

《數學課程標準》在“課程目標”里指出，空間與圖形的數學思考目標是“豐富對空間和圖形的認識，建立初步的空間觀念，發展形象思維”。顯然，空間觀念的培養是“空間與圖形”學習的首要目標。而以上練習，在引導學生對各種四邊形特征進一步認識的同時，借助了一個從形象上升到抽象、又從抽象轉化為直觀的“猜測——判斷”過程，不僅有對圖形特征認識的鞏固，同時還關注了學生邏輯思維的培養，其數學思考價值是不言而喻的。