數學建模：提升高等數學教學效率的有效途徑

李棟紅

（陽泉師范高等專科學校，山西 陽泉 045200）

高等院校中，數學是一門基礎性課程，占據高等院校課程體系的特殊地位，高等數學能夠為后繼課程提供有效的應用工具與基礎數學知識，對培養大學生的能力具有重要作用。但是，由于現代社會信息化程度不斷提高，當今教育也對高等數學教學的要求更高。比如，在構建課程體系、設置教學內容等方面必須有新突破，不斷改革數學教學模式、手段以及方法，為社會培養出獨具創新意識的現代化應用人才。此外，由于高等教育的普及化與大眾化，而且高等院校招生規模也在不斷擴大，使得其總體生源素質呈現下降趨勢，尤其是高職院校學生存在非常薄弱的數學基礎。對于此現象，如何提升高等數學教學效率，與時代發展和進步需求相適應，是目前高等數學教學中需要探討的問題。因此，論文將有效結合高等數據教學實踐，對提升高等數學教學效率的有效途徑進行分析與探討。

一、高等數學教學中數學建模的作用

（一）激發學生學習高數的興趣

學生能夠在學習數學過程中對通過數學理論與方法去分析與解決實際問題有所了解，提高其解決和分析問題的水平與能力，并在某種程度上提高學生數學應用意識與數學學習主動性，保證學生在未來工作中能夠以數學的思維解決實際問題。正所謂對材料感興趣能夠幫助學生學習。數學建模教學能夠將更多有效的學習材料提供給學生。就現實視角與社會發展現狀來說，社會的發展需要大學生一定要具備高數學素養。若學生具有較低的數學素養，則該學生就難以在工程與科技等領域有所貢獻與作為。現階段一些學生存在畏懼數學心理，認為學習數學是一種噩夢，還有些學生認為數學僅僅是學位與考試的代名詞，并沒有特別大的用處，要想端正這種思想，一定要從數學源頭與解決實際問題著手。對數學模型進行學習與應用的思維屬于一種行之有效的措施，因為學生在建模中能夠切身領悟到數學是科學范疇，由此就能帶給學生一種對解決問題的有效方式。

（二）提高學生數學適應能力、應用能力和綜合素質

從根本上說，數學建模是科研活動的范疇，而且對學生今后的工作和學習極具深遠影響，同時對學生水平和能力也有更高要求，對數學建模競賽活動和思想予以普及，不僅能夠在某種程度上提高學生對數學進行應用的能力，培養學生創造性思維能力與合作意識，同時還能促進高校教學改革和課程建設，以此激發學生本身所具有的創新精神。對于學生而言，數學建模是聯系實際問題與理論數學的重要橋梁。因此，在數學教學過程中，首先，必須積極引導學生對數學背景和知識內容進行學習，以此加深學生對數學問題進行理解的能力，進一步拓展學生知識面，最終提高學生數學水平。其次，必須在學習數學模型中培養學生運用數學的能力與意識。通過對數學模型的學習，參與數學建模，以此增強學生數學應用意識，并在一定程度上提高學生通過數學對實際問題予以解決的能力。

二、高等數學教學中數學建模的應用

通常在高等數學教學中都會忽視數學定理幾何意義與數學現象中的幾何背景，而是直接向學生傳達數學定理與定義，同時將其應用在高數解題思路中，不重視高數知識形成過程與應用的解釋和揭示，幾乎不會顧及到微積分和幾何聯系的緊密性，這對提高學生數學素質具有非常大的影響。根據此現象，在高等數學教學過程中必須注重與某些定理、概念以及題目的建模意義進行有效結合，對學生作針對性授課，以使數學建模在高數教學中的重要作用得到充分發揮。

1.通過數學建模解決數學問題

將初看起來雜亂無章的實際問題抽象為一個數學問題是數學建模的主要目標。數學建模中，對于錯綜復雜的實際問題，需要建模者對其主觀能動性進行充分發揮，探索與發現問題，創造性地用形式或似真推理，對觀察、實驗、類比、聯想、歸納、直覺和審美等多種思維方式進行綜合利用，以達到解決問題的目的。將客觀實際與數學問題聯系起來的紐帶首先是數學建模，也就是說，用數學語言（由數字、數學符號、字母組成的圖表、公式或程序）來描述實際問題中的數量關系、空間形式。它主要通過建立數學模型，及解決各種實際問題等形式來考察大學生的數學修養、應用能力和創新精神。數學模型就是對實際問題的一種數學表述。確切地說，數學模型就是對于一個特定的對象，為了一個特定目標，根據特有的內在規律做出一些必要的簡化假設，并運用適當的數學工具得到的一個數學結構。數學結構可以是數學算法、公式、表格、圖示等。數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過簡化、抽象建立能近似刻劃并解決實際問題的一種強有力的數學手段。比如，求解曲邊梯形面積引申出“定積分”的定義，為了使學生更為清晰直觀地了解形成“定積分”概念的過程，可以采用“取近似、作分割、取極限以及求和式”等相關建模操作，同時以動畫演示的方式在分割區間處于[a,b]時，Sm與積分會隨著n的進一步擴大，逐漸向曲邊梯形面積S逼近的過程，由此在對面積求解予以完成的同時，也會將定積分概念引申出來。這樣能夠有效揭示定積分概念產生的背景，對學生對概念的正確把握與理解非常有利，同時進一步深化了高等數學教學中的概念教學。

2.在數學幾何公式中應用數學建模

一般微積分定理中都有相應的幾何背景與幾何意義，如果可以對其幾何意義進行充分利用，將形與數所特有的內在聯系充分揭示出來，以構造輔助函數的關系，能夠保證定理及時獲證。比如，證明微積分中值定理其實就是利用定理幾何意義，通過構造高數輔助函數，即，將其轉化為羅爾定理，最終得出結論。

在高等數學中，所計算出來的多數問題都非常有難度，而且十分繁瑣，如果可以通過數學建模使學生思維得到啟迪，將對高數問題的解答極為有利。對于所計算的一些重積分，若可以將被積函數的奇偶性與區域對稱性進行有效結合，能夠使復雜而抽象的數學問題更為直觀與形象，進一步降低解題難度，化繁為簡，這樣能夠將積分值快速求出來。

分析：因為被積函數中含有抽象函數，即f（x2+y2），所以，不能對其作直接性積分，然而，一定要注意被積函數中（x，y）=xyf（x2+y2）與以下條件相滿足：

也就是說，（x，y）中的變量函數x屬于奇函數，而變量函數y同樣屬于奇函數，依照對稱區間中奇函數的定積分性質，若區域存在對稱性，那么就能夠簡化積分計算。將積分區域畫出來，觀察可知，采用曲線y=-x3能夠將區域進行x軸對稱區域D2與y軸對稱區域D1，以此依照區域中積分的可加性得出

三、數學建模應用于高等數學教學匯總需要注意的問題

（一）以高等數學教學為主，數學建模為輔

根據課堂教學地位與主要內容，將高等數學視為課堂教學的基本內容。從根本上說，數學建模被稱為學生認知的有效途徑，并服務于高等數學教學，同時也是數學教學的補充與延伸，具有從屬作用。所以，應該以高等數學為主，數學建模為輔，兩者避免出現本末倒置與平分秋色的情況。所以，將數學建模方法與思想融入到高數教學的問題，其實就是將數學建模理念所滲透的高數教學量避免超過一個度，不然，高等數學課可能就會演變為數學建模課。所以在數學教學具體實踐中，一定要注意區分數學教學內容與課型，避免出現由于學生偏好數學建模而對課型做任意改變，適當運用數學建模。

（二）引入數學建模時機要恰當

將數學建模理念以合理順序融入高數教學中，可以說這是一門學問。不是每一個高數教學都必須將建模方法融入進去，也不比在一整堂課中始終貫穿數學建模，必須與高數教學內容進行有效結合，由淺入深、循序漸進地推介各種數學建模措施。

（三）和高等數學知識相匹配

一般情況下，學生要想全面掌握數學建模方法與內容，通常需花費很多時間，而高等數學課時極為有限，所以如何在有限時間內將高數教學任務高效完成，將數學建模融入進去，對高數教學效果與效率有何影響等等，都是值得高數師生深思的問題。由此可見，建模方法范疇必須做到和高數知識相匹配。若數學建模案例內容在所學高數范疇之外，那么必須耗損有限的時間資源，這就等于說是忙中添亂，最終導致適得其反的教學效果。例如，在對無窮級數12，212，123…進行教學時，可以進入《莊子》語錄：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”；在向學生傳授定積分定義時，可將求曲邊梯形面積當做原型。

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