壓電磁耦合振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)的非線性模型研究

周生喜，曹軍義，Alper ERTURK，林京，張西寧

（1.西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，710049，西安；2.佐治亞理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，30332，美國(guó) 亞特蘭大）

近年來(lái)，隨著電子技術(shù)的飛速發(fā)展，無(wú)線傳感器等微型設(shè)備的能量消耗越來(lái)越少，利用周?chē)h(huán)境能量為其供能已成為可能，也是未來(lái)工程應(yīng)用研究的迫切問(wèn)題。與太陽(yáng)能、風(fēng)能、溫差、射頻輻射等環(huán)境能量相比，振動(dòng)能量具有來(lái)源廣泛、相對(duì)穩(wěn)定且能量密度較高等優(yōu)點(diǎn)，因此非常適合為無(wú)線傳感器提供能量［1-2］。壓電式振動(dòng)能量俘獲系統(tǒng)由于具有能量密度高、裝置簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)［3］，已成為科學(xué)界和工程界期望的工程應(yīng)用主角，其中懸臂梁式壓電能量俘獲系統(tǒng)是最受關(guān)注的壓電能量俘獲系統(tǒng)之一。由于傳統(tǒng)的懸臂梁式壓電能量俘獲系統(tǒng)的有效頻帶過(guò)窄，與周?chē)h(huán)境振動(dòng)頻率匹配差，俘獲的能量嚴(yán)重受限于周?chē)h(huán)境的振動(dòng)頻率，因此俘獲能量的效率較低，在很多情況下并不能滿足實(shí)際需求。

為了解決上述問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了大量研究，目前主要根據(jù)機(jī)械原理［4-8］和引入非線性磁場(chǎng)因素的方法［9-15］來(lái)提高壓電能量俘獲系統(tǒng)的有效頻帶。其中，F(xiàn)errar等人將永磁鐵添加到壓電能量俘獲系統(tǒng)中，組成了新的非線性磁耦合壓電能量俘獲系統(tǒng)［9］，該系統(tǒng)的有效頻帶遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)的壓電能量俘獲系統(tǒng)。Zhou等人設(shè)計(jì)了一種外部磁鐵可旋轉(zhuǎn)的壓電磁耦合能量俘獲系統(tǒng)［10］，通過(guò)調(diào)整外部磁鐵的角度，得到了4～22Hz的有效頻帶，并分析了在升頻、降頻諧波信號(hào)激勵(lì)下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。Sebald等人根據(jù)牛頓第二定律和諧波平衡法，建立了壓電磁耦合懸臂梁歸一化的簡(jiǎn)化模型［11］，提出激勵(lì)信號(hào)和控制策略是影響系統(tǒng)有效頻帶的重要因素。Stanton等人由Duffing方程建立了單穩(wěn)態(tài)壓電磁耦合能量俘獲系統(tǒng)歸一化的簡(jiǎn)化模型［12］，研究了外部磁鐵的位置對(duì)懸臂梁動(dòng)力學(xué)特性的影響，結(jié)果表明，不同外部磁鐵的位置可以得到6Hz以上的有效頻帶。Erturk等人由Duffing方程和基爾霍夫定律，建立了雙穩(wěn)態(tài)壓電磁耦合懸臂梁系統(tǒng)歸一化的簡(jiǎn)化模型［13-14］，研究了該懸臂梁的非線性運(yùn)動(dòng)特性。Lin等人提出以電子秤測(cè)量磁場(chǎng)力、以分式表達(dá)式來(lái)描述磁場(chǎng)力的方法［15］，并建立了壓電磁耦合能量俘獲系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。

上述研究的不足之處在于，歸一化的簡(jiǎn)化模型雖然可以描述系統(tǒng)基本的動(dòng)力學(xué)特性［11-14］，但是不能夠預(yù)測(cè)系統(tǒng)的跳躍頻率、最大電壓和有效頻帶等關(guān)鍵指標(biāo)。使用電子秤測(cè)量磁力的方法［15］，雖然可以得到準(zhǔn)確的磁力數(shù)據(jù)，但裝置比較復(fù)雜、通用性較差。因此，本文提出了以微型測(cè)力儀測(cè)量系統(tǒng)的非線性回復(fù)力，并采用多項(xiàng)式方程獲取回復(fù)力參數(shù)的方法，同時(shí)根據(jù)哈密頓原理、歐拉-伯努利梁理論、壓電理論、基爾霍夫定律等，建立了壓電磁耦合能量俘獲系統(tǒng)精確的非線性動(dòng)力學(xué)模型。研究結(jié)果表明，該模型能夠準(zhǔn)確地描述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本相一致。

1 壓電磁耦合能量俘獲系統(tǒng)的建模

如圖1所示，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)由壓電片、中間金屬層、懸臂梁端部磁鐵、外部磁鐵等組成［10］，外部磁鐵在懸臂梁運(yùn)動(dòng)的空間產(chǎn)生磁場(chǎng)，使得懸臂梁受到非線性磁場(chǎng)力的作用，從而將懸臂梁的線性剛度調(diào)節(jié)成非線性剛度。當(dāng)懸臂梁受到外界沿z方向的激勵(lì)時(shí)，懸臂梁將發(fā)生振動(dòng)并產(chǎn)生變形，根部的壓電片隨之運(yùn)動(dòng)并受力產(chǎn)生變形，由于壓電效應(yīng)，壓電片產(chǎn)生電荷并分布在z方向的2個(gè)側(cè)面上。

本文的實(shí)驗(yàn)裝置符合以?shī)A持、電學(xué)邊界條件為短路的第2類(lèi)壓電方程［16］，其表達(dá)式為

式中：S為應(yīng)變矢量；T為應(yīng)力矢量；E為電場(chǎng)強(qiáng)度矢量；D為電位移矢量；e為壓電應(yīng)力常數(shù)張量矩陣；eT為e的轉(zhuǎn)置矩陣；cE為電場(chǎng)強(qiáng)度為常數(shù)時(shí)壓電材料的彈性剛度系數(shù)；εs為應(yīng)變?yōu)槌?shù)時(shí)的介電常數(shù)。

圖1 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)原理圖

根據(jù)哈密頓原理［17］，壓電懸臂梁拉格朗日函數(shù)的變分vi在任何時(shí)間段t1、t2內(nèi)應(yīng)該恒為0，即

式中：δ為變分符號(hào)；Ek、Ep、Ea分別為動(dòng)能、勢(shì)能、外部激勵(lì)能。由于懸臂梁端部質(zhì)量塊變形微小，可將其視為集中質(zhì)量，則式（2）可表示為

式中：Vs、Vp分別為中間層體積、壓電層體積；ρs、ρp分別為中間層密度、壓電層密度；u為z方向的撓度矢量；mt為端部集中質(zhì)量；Nf、Nq分別為作用在懸臂梁上的力和電量的個(gè)數(shù)；fi（xi）為作用在xi處的力；v、qj分別為作用在懸臂梁上的電壓、電荷。

將式（1）代入式（3），可得

式中：cs為中間層的彈性剛度系數(shù)。Ek、Ep的變分為

將上式代入式（2）可得

為了求得式（4）的解，對(duì)壓電磁耦合能量俘獲系統(tǒng)做如下假設(shè)［17］。①假設(shè)壓電懸臂梁遵循Rayleigh-Ritz原理，即認(rèn)為懸臂梁在x方向上各點(diǎn)的撓度是各階模態(tài)的組合，得到

式中：Nm為分析模態(tài)數(shù)；φi（x）、Φ（x）分別為第i階模態(tài)的振型函數(shù)、總的模態(tài)振型函數(shù)矩陣；ri（t）是第i階模態(tài)振型對(duì)應(yīng)隨時(shí)間變化的系數(shù)矩陣；r（t）為總的模態(tài)振型函數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣。②假設(shè)壓電懸臂梁遵循歐拉-伯努利梁理論，即懸臂梁上某點(diǎn)的應(yīng)力是該點(diǎn)的撓度關(guān)于懸臂梁長(zhǎng)度的二階導(dǎo)數(shù)和與中性層距離的乘積

式中：dz為懸臂梁上的點(diǎn)到中性層的距離。③假設(shè)電場(chǎng)在壓電片上的分布是常值。當(dāng)壓電片并聯(lián)時(shí)

式中：ts、tp分別為中間層和壓電層的厚度。

當(dāng)懸臂梁自身電容較大時(shí)具有較好的輸出特性，此時(shí)z方向的電壓常函數(shù)v（t）=v，場(chǎng)矢量函數(shù)為

將端部質(zhì)量塊看作集中質(zhì)量，得到系統(tǒng)的中間層質(zhì)量、壓電層質(zhì)量、端部質(zhì)量塊的矩陣為

式中：Φ（dt）為端部質(zhì)量塊在dt處的振型函數(shù)矩陣；dt為質(zhì)量塊質(zhì)心到懸臂梁根部的距離。總的質(zhì)量矩陣

機(jī)電耦合矩陣為

式中：eT31為31模式（外界載荷方向與壓電陶瓷的極化方向垂直）下的壓電應(yīng)力常數(shù)張量。系統(tǒng)的電容為

考慮到系統(tǒng)中存在阻尼，根據(jù)Rayleigh阻尼定理，得到的系統(tǒng)阻尼矩陣為

式中：K為無(wú)磁場(chǎng)作用時(shí)線性壓電懸臂梁的剛度矩陣；α、β分別為質(zhì)量和剛度矩陣的加權(quán)系數(shù)。

在低頻激勵(lì)下，壓電磁耦合能量俘獲系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)主要集中在一階模態(tài)，可以用懸臂梁在一階模態(tài)下的動(dòng)力學(xué)模型來(lái)描述懸臂梁的真實(shí)動(dòng)力學(xué)特性［9-15，17］，因此本文只考慮占主要作用的一階模態(tài)（忽略其他模態(tài)）。懸臂梁主要是沿z方向運(yùn)動(dòng)，由于受到沿z方向的磁力，影響了懸臂梁總的回復(fù)力和動(dòng)力學(xué)特性，因此系統(tǒng)總的回復(fù)力已經(jīng)不再是線性值，而是非線性的表達(dá)式。本文使用微型測(cè)力儀測(cè)得z方向的回復(fù)力數(shù)據(jù)，并用多項(xiàng)式方程來(lái)描述回復(fù)力的變化，系統(tǒng)總的非線性回復(fù)力為

式中：w（t）為一階模態(tài)下懸臂梁端部沿z方向的瞬時(shí)位移；l、n分別為3次項(xiàng)和1次項(xiàng)系數(shù)。

系統(tǒng)輸出端連接負(fù)載電阻R，其電邊界條件為

式中：q（t）為t時(shí)刻壓電片兩端的瞬時(shí)電荷量。由于懸臂梁在根部受到激勵(lì)，因此可以等效為梁上均勻分布的慣性力。將上述假設(shè)和表達(dá)式代入式（4），得到系統(tǒng)在一階模態(tài)下的動(dòng)力學(xué)方程為

創(chuàng)建一個(gè)純色填充調(diào)整圖層，選擇我們喜歡的顏色。本例中，我們選擇了亮祖母綠。關(guān)閉拾色器對(duì)話框之后，在圖層面板中將圖層的混合模式從普通更改為濾色，并調(diào)整圖層的不透明度設(shè)置。如果追求大膽的效果，可以將不透明度保留為100%，但我們更建議調(diào)整到15%左右得到更自然的效果。

式中：m1為質(zhì)量單元系數(shù)；c1為阻尼單元系數(shù)；θ1為機(jī)電耦合單元系數(shù)；F為外界激勵(lì)力。

式（15）是非線性方程組表達(dá)式，而非線性方程的求解和仿真比較復(fù)雜，本文采用工程上廣泛應(yīng)用的高精度單步算法四階龍格-庫(kù)塔算法進(jìn)行仿真［18］。計(jì)算表達(dá)式如下

式中：h為步長(zhǎng)；gi為自變量因子；k1、k2、k3、k4為區(qū)間［gi，gi+1］內(nèi)預(yù)估4個(gè)點(diǎn)上的斜率，用它們的加權(quán)平均數(shù)作為平均斜率k，可求解出下一個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值。

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)中，由激振器、信號(hào)發(fā)生器和功率放大器組成激勵(lì)源發(fā)生系統(tǒng)，對(duì)壓電磁耦合能量俘獲系統(tǒng)進(jìn)行激勵(lì)。用示波器實(shí)時(shí)顯示并俘獲電壓等實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，其探頭的阻抗為10MΩ。用微型測(cè)力儀測(cè)量Fr。壓電材料PZT-5A的尺寸為24mm×15mm×0.5mm，中間金屬層為不銹鋼材料，尺寸為86mm×15mm×0.27mm。實(shí)驗(yàn)裝置中的所有磁鐵均為銣鐵硼永磁鐵，懸臂梁端部磁鐵的直徑為10mm，厚度為5mm，外部磁鐵直徑為25mm，厚度為5mm。激勵(lì)信號(hào)選取正弦掃頻信號(hào)，頻率范圍在0～25Hz，加速度值為0.585g，頻率變化速度分別為0.45Hz／s（升頻）和-0.45Hz／s（降頻）。

去掉外部磁鐵后，本文中的壓電磁耦合能量俘獲系統(tǒng)將變成線性的壓電能量俘獲系統(tǒng)，使用微型測(cè)力儀測(cè)量得到線性壓電懸臂梁的剛度值為66N／m。結(jié)合式（9）～式（12）和實(shí)驗(yàn)中材料的物理參數(shù)，得到式（15）中部分參數(shù)的理論值為：m1=6.01×10-3kg，θ1=5.45×10-5N／V，C=29.48nF，

pc1=2.46×10-2N·s／m。為研究建模方法的有效性，設(shè)置兩組位置參數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。在第1組實(shí)驗(yàn)中，設(shè) d=62.60mm，h=11.14mm，a=7°，l=236 513.238，n=18.859，F(xiàn)r的測(cè)量數(shù)據(jù)和擬合曲線如圖2所示；第2組實(shí)驗(yàn)中，設(shè)d=56.00mm，h=14.50mm，a=0°，l=399 783.973，n=24.990，由此得到的Fr的測(cè)量數(shù)據(jù)和擬合曲線如圖3所示。

圖3 第2組實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的Fr-w（t）曲線

2.2 實(shí)驗(yàn)分析

由圖2、圖3可知，磁耦合壓電能量俘獲系統(tǒng)不同于傳統(tǒng)的線性系統(tǒng)，由于磁場(chǎng)的引入，其回復(fù)力已經(jīng)不再是線性的，而是近似為一個(gè)多項(xiàng)式曲線。由回復(fù)力與剛度之間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的等效剛度不再是常數(shù)，而是一個(gè)與位移相關(guān)的非線性二次方程，這表明壓電磁耦合能量俘獲系統(tǒng)具有非線性的動(dòng)力學(xué)特性。

如圖4所示，在第1組實(shí)驗(yàn)參數(shù)下，當(dāng)激勵(lì)信號(hào)為升頻的正弦信號(hào)掃頻時(shí)，仿真中的最大電壓為24.8V、跳躍頻率為15.3Hz、有效頻寬為11Hz，實(shí)驗(yàn)中的最大電壓、跳躍頻率和有效頻寬與仿真值相近，分別為24.1V、14.4和11Hz。從系統(tǒng)產(chǎn)生的電壓值中可以看出，當(dāng)激勵(lì)信號(hào)的頻率達(dá)到3Hz左右時(shí)，懸臂梁的振動(dòng)開(kāi)始明顯變大，隨著激勵(lì)信號(hào)頻率的繼續(xù)增大，振動(dòng)幾乎是線性增大直至跳躍頻率處達(dá)到最大值并出現(xiàn)頻率跳躍現(xiàn)象，當(dāng)激勵(lì)頻率超過(guò)跳躍頻率時(shí)，振動(dòng)幾乎馬上停止。當(dāng)激勵(lì)信號(hào)變?yōu)榻殿l激勵(lì)時(shí)，仿真中的最大電壓、跳躍頻率和有效頻寬分別為17.8V、10.9和6Hz，此時(shí)相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)值分別為18.6V、11.4和7Hz，仿真與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差較小。當(dāng)激勵(lì)信號(hào)的頻率大于跳躍頻率時(shí)，懸臂梁的振動(dòng)幅值較小。

圖4 第1組實(shí)驗(yàn)參數(shù)下的實(shí)驗(yàn)及仿真結(jié)果

圖5 第2組實(shí)驗(yàn)參數(shù)下的實(shí)驗(yàn)及仿真結(jié)果

2組不同實(shí)驗(yàn)參數(shù)下的仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，壓電磁耦合能量俘獲系統(tǒng)出現(xiàn)一次頻率跳躍現(xiàn)象，跳躍頻率處的電壓值是整個(gè)掃頻中的最大值，當(dāng)激勵(lì)信號(hào)的頻率超過(guò)跳躍頻率時(shí)，懸臂梁幾乎停止振動(dòng)，產(chǎn)生的電壓接近0。另外，懸臂梁在升頻激勵(lì)下，其有效頻寬達(dá)到10Hz以上，所產(chǎn)生的電壓和有效頻寬均明顯高于降頻激勵(lì)條件下的值，這是由非線性系統(tǒng)中存在的遲滯現(xiàn)象所致。對(duì)非線性系統(tǒng)施加不同方向的掃頻激勵(lì)，相當(dāng)于給系統(tǒng)設(shè)定不同的初始輸入條件，此外，還有壓電材料本身的影響，導(dǎo)致非線性系統(tǒng)在同樣的頻率范圍內(nèi)，表現(xiàn)出不同的輸出響應(yīng)特性，即本文中出現(xiàn)的遲滯現(xiàn)象，并與文獻(xiàn)［12］中的遲滯現(xiàn)象表現(xiàn)一致。

3 結(jié) 論

本文根據(jù)哈密頓原理等理論，建立了壓電磁耦合能量俘獲系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，采用微型測(cè)力儀直接測(cè)量系統(tǒng)的非線性回復(fù)力，提出了以多項(xiàng)式方程擬合回復(fù)力的表達(dá)式方法，得出的結(jié)論如下。

（1）模型具有參數(shù)求解簡(jiǎn)單、計(jì)算量小、無(wú)需直接求解磁場(chǎng)力等優(yōu)點(diǎn)。建模過(guò)程中，可直接測(cè)量懸臂梁在不同運(yùn)動(dòng)位置上的非線性回復(fù)力，無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，得到的回復(fù)力比較接近于真實(shí)值，使建模過(guò)程得到了極大的簡(jiǎn)化。

（2）仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該模型能夠準(zhǔn)確地描述出壓電磁能量俘獲系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。理論仿真結(jié)果表明，系統(tǒng)的跳躍頻率、最大電壓和有效頻帶等關(guān)鍵指標(biāo)與實(shí)驗(yàn)值相符合，從而為今后研究系統(tǒng)真實(shí)的動(dòng)力學(xué)機(jī)理問(wèn)題等提供了理論基礎(chǔ)。

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