外部動態激勵作用下齒輪系統非線性動力學特性

李應剛，陳天寧，王小鵬，于坤鵬，周漢，張哲

（1.西安交通大學機械工程學院，710049，西安；2.西安交通大學機械結構強度與振動國家重點實驗室，710049，西安）

目前，齒輪傳動系統已被廣泛應用于現代工業生產中，國內外學者對齒輪系統的振動、噪聲及其動力穩定性開展了深入研究［1-2］。Kahraman等人利用數值分析方法和諧波平衡法，研究了內部動態激勵作用下具有齒側間隙的齒輪副系統的非線性動力學頻響特性［3-4］。Padmanabhan等人采用參數延展技術和諧波平衡法，研究了具有參數激勵和外激勵共同作用的非線性振動系統的動態響應［5］。1997年，Kahraman等人對具有時變嚙合剛度、齒側間隙和外部激勵的齒輪系統進行了實驗研究，發現齒輪系統振動響應中存在大量的非線性現象［6］。文獻［7-9］采用數值方法研究了內部動態激勵作用下齒輪時變間隙非線性系統的分岔與混沌特性，但這些都是針對內部動態激勵和外部名義載荷作用下齒輪副系統非線性動力學特性進行的研究，而忽略了外部動態激勵的影響。Comparin等人利用數值分析方法和諧波平衡法，研究了外部動態激勵作用下沖擊副的非線性動力學特性，并在沖擊副模型中忽略了時變剛度的影響［10］。張鎖懷用A算符方法對扭矩激勵作用下齒輪時變系統的動態特性進行求解［11］，模型中忽略了間隙非線性特性。Theodossiades等人采用分段多尺度法研究了外部動態激勵作用下齒輪副非線性時變系統的穩態周期響應［12］，但分段多尺度法求解卻丟失了系統的亞諧波響應及超諧波響應。

對于具有時變剛度和分段非線性系統，利用增量諧波平衡法（IHBM）可以求得任意階的近似解。Lau提出了增量諧波平衡法，對分段線性機械系統的動態特性進行了研究［13］，使增量諧波平衡法被廣泛應用于求解各類非線性動力學的問題［14-16］。本文采用增量諧波平衡法，對外部動態激勵作用下齒輪副時變間隙非線性系統的動力學特性進行了研究，建立了齒輪副系統扭轉振動模型。模型考慮了周期時變剛度、齒側間隙、黏彈性阻尼以及外部動態激勵等因素，利用增量諧波平衡法，給出了齒輪非線性時變系統的一般解形式，采用四階變步長數值方法（Runge-Kutta）進行了驗證，并根據增量諧波平衡法研究了系統參數對齒輪系統非線性動態特性的影響。

1 非線性動力學模型

如圖1所示，模型中考慮了時變嚙合剛度、齒側間隙、黏彈性阻尼及外部動態激勵等因素，忽略傳動軸的橫向和軸向彈性變形，以及支持系統的彈性變形。齒輪副扭轉振動系統的運動微分方程為

圖1 齒輪副系統的非線性動力學模型

式中：T1m為作用在主動齒輪上的外部名義力矩；T1a（t）為作用在主動齒輪上的外部動態力矩；T2m為作用在從動齒輪上的外部名義力矩；T2a（t）為作用在從動齒輪上的外部動態力矩。如果忽略負載扭矩波動和靜傳遞誤差的作用，式（1）、（2）可簡化為

將時變嚙合剛度進行Fourier展開至L階，則有

式中：u（t）為齒輪系統的振動位移；L為階數；me為等效質量；FmT為傳遞名義載荷；FaT為動態激勵；f（u）為間隙非線性函數；km為平均剛度；ω為嚙合頻率；εl為反映剛度變化的參數。對式（4）進行歸一化處理，得到

式中：x為歸一化的振動位移；ωn為固有頻率；ˉt為歸一化時間；ζ為阻尼比；Ω為歸一化嚙合頻率。由此，式（4）可改寫為

2 增量諧波平衡法求解

利用時間尺度τ=Ωˉt，將式（10）改寫為

利用Newton-Raphson算法求解式（12）表示的分段線性差分系統，得到微分方程的解為

其中x0（τ）為式（12）的近似解，Δx（τ）為增量方程。設式（12）的N階近似解為

式中：a0為基波幅值；an、bn為高次諧波幅值。增量方程為

將式（13）代入式（12）中進行泰勒級數展開，并略去高階項得到

令

利用Galerkin過程，將式（16）方程左右兩端同時乘以cos（iτ）、sin（iτ）（i=0，1，2，3，…，N），并在0～2π之間積分，得到關于Δa的2 N+1階線性方程組

式中：C 為2 N+1階 矩 陣；R 為2 N+1階 列 向 量。式（17）即為應用增量諧波平衡法推導出的以Δa為未知量的非線性系統振動穩態周期響應的迭代計算公式。

3 齒輪系統非線性動態特性

系統參數［4，12］取L=3，N=11，ζ=0.024，Fm=0.25，Fa=0.075，ε1=0.03，ε2=0.02，ε3=0.01。應用增量諧波平衡法得到齒輪系統的頻響特性曲線，采用四階變步長Runge-Kutta法進行數值仿真驗證（見圖2），增量諧波平衡法的求解結果與數值仿真結果吻合得較好。在外部動態激勵作用下，齒輪系統頻響曲線不僅出現主共振，同時得到了超諧波響應（見圖3），并且頻響曲線存在多值解和跳躍非線性的特性。由圖4可知，多值解和跳躍現象對應齒輪副系統的無沖擊狀態、單邊沖擊和雙邊沖擊狀態。

圖2 齒輪副系統的頻響特性曲線

圖3 齒輪副系統的超諧波響應

4 參數分析

圖4 Ω=0.6時齒輪副系統的穩態響應

由齒輪副系統非線性動力學模型可知，在外部動態激勵作用下，齒輪系統的非線性振動響應的影響因素主要有周期時變剛度、齒側間隙、激勵幅值和阻尼比等。

4.1 時變剛度和間隙的影響

線性時變模型、非線性時不變模型及非線性時變模型的動態特性如圖5所示。由非線性時不變模型與非線性時變模型的對比可知，時變剛度的存在使齒輪系統歸結為參數振動范疇，引起系統參數共振。對比線性時變模型與非線性時變模型可知，間隙非線性的存在導致齒輪副系統出現多值解和幅值跳躍等非線性動力學特性。

圖5 時變剛度與間隙對齒輪系統振動響應的影響

4.2 激勵幅值的影響

如圖6所示，對3種不同激勵幅值條件下的系統頻響特性曲線進行了對比分析。隨著激勵幅值的增大，齒輪副系統非線性動態特性如多值解及跳躍現象逐漸消失，齒輪系統在重載荷工況時，表現為線性振動特性。因此，增大激勵幅值能夠有效控制齒輪系統的非線性動態響應。

4.3 阻尼比的影響

在3種不同阻尼比條件下，對系統頻響特性曲線進行了對比分析（見圖7）。通過分析計算［17-18］，一般取ξ為0.02～0.17，隨著ξ的增大，齒輪副系統的振動幅值明顯降低，齒輪副系統非線性動態特性如多值解及跳躍現象逐漸消失。因此，增大系統ξ能夠有效控制齒輪系統的非線性動態響應。

圖6 激勵幅值對齒輪系統振動響應的影響

圖7 阻尼比對齒輪系統振動響應的影響

5 結 論

（1）本文根據增量諧波平衡法，研究了齒輪間隙非線性時變系統在外部動態激勵作用下的非線性動力學特性，其求解結果與數值仿真結果吻合得較好。在外部動態激勵作用下，齒輪副系統的頻響曲線存在著多值解和跳躍非線性特性，并對應于齒輪副系統的無沖擊狀態、單邊沖擊狀態和雙邊沖擊狀態。齒輪系統頻響曲線不僅出現主共振，而且得到了超諧波響應。

（2）本文針對周期時變剛度、齒側間隙、激勵幅值和阻尼比對齒輪副系統動力學特性的影響進行了研究。研究結果表明，周期時變剛度的存在會引起參數共振，齒側間隙的存在則導致齒輪副系統出現多值解和幅值跳躍等非線性動力學行為，而增大激勵幅值和阻尼比能夠有效地控制系統的非線性振動響應。

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