考慮模態特性的高速機床進給系統剛度匹配研究

劉海濤，王磊，趙萬華

（西安交通大學機械制造系統工程國家重點實驗室，710049，西安）

由于機床進給系統的動態特性對于機床的加工精度有很大影響［1-3］，因此為了避免共振、顫振等不良現象的發生，提高機床的加工精度，在機床的設計階段必須對高速機床進給系統的動態特性進行主動設計。

Liang等分析了結合部預載對整機尤其是進給系統動態剛度的影響［4］。Jui等研究了考慮線性導軌預載的立式機床的穩定性問題［5］。Ching等研究了導軌預載對立式立柱-主軸箱系統動態性能的作用［6］。Feng等建立了滾珠絲杠動結合部預緊力可調整的進給系統動態模型，并對螺母的振動進行了譜分析［7］。

若要實現真正的基于動態性能的主動設計，就必須弄清各種因素對進給系統動態特性的影響，如模態、振型等影響因素，以及各種影響因素之間復雜的耦合、制約關系，并在設計階段進行合理的結構設計和剛度分配，以達到各種因素相匹配的目的。目前，以動態參數為目標，針對進給系統設計方面的研究還比較少，本文以典型的工作臺進給系統為例，建立了考慮絲杠螺母結合面、導軌結合面和軸承結合面的進給系統動力學模型，研究了各種因素變化下系統模態參數的變化規律，找出了不同動態范圍的敏感因素。通過綜合各因素對機床模態特性的影響規律，并以工作臺的結構設計為例，進行了合理的剛度匹配。

1 進給系統動力學建模

1.1 進給系統等效動力學模型

如圖1所示的工作臺系統，忽略進給工作臺內部的筋板結構，將其簡化為相同外形尺寸的實心結構，采用實體單元進行等效，同時定義等效彈性模量E和等效密度ρ。如圖2所示，采用Timoshenko梁單元定義絲杠、線性彈簧阻尼單元以建立各結合面的等效模型。每個導軌-滑塊結合面由1組y、z方向的彈簧來等效，用于約束工作臺y、z方向的自由度。由4個滑塊組合在一起約束工作臺繞x、y、z方向旋轉的自由度，采用1組彈簧阻尼單元等效絲杠-螺母結合面，約束工作臺x方向的自由度。采用1組三向彈簧來模擬軸承對絲杠的支撐，由1組x方向的扭轉彈簧阻尼單元來模擬電機的伺服剛度，并約束絲杠扭轉的自由度。

1.2 導軌-滑塊結合面剛度

圖3為導軌滑塊副滾珠的受力狀態，根據赫茲接觸理論［8］，法向變形為

式中：Kn為赫茲接觸系數；Qn為法向載荷。對式（1）求導得到單一導軌滑塊副法向的接觸剛度為

圖1 典型的工作臺進給系統示意圖

圖2 進給系統的等效動力學模型

圖3 導軌-滑塊副單一滾珠受力圖

式中：Qp為預加載荷。

同理，單一導軌滑塊副切向接觸剛度

式中：δτ為切向變形量。采用式（2）、式（3）同樣可以計算軸承副結合面的法向和切向接觸剛度［9］。

1.3 絲杠-螺母副結合面剛度

圖4為采用雙螺母預緊的絲杠-螺母副受力示意圖。若已知預緊力和外加負載，則式（1）同樣適用于絲杠-螺母副接觸剛度的計算。當有軸向外載荷作用時，作用在絲桿上的總軸向力為

式中：Zef為有效工作的滾珠數目；Q1、Q2分別為2個螺母與滾珠的接觸力。

圖4 絲杠-螺母副受力狀態示意圖

由外部軸向力引起的軸向位移為［10-11］

結合式（4）、式（5），由剛度表達式

即可求解滾珠絲杠-螺母副的軸向接觸剛度。

2 仿真分析

2.1 工作臺力學屬性對模態特性的影響

由圖5a可以看出，進給系統的第1階固有頻率fi（i=1，2，3，4）對工作臺結構等效彈性模量的變化不敏感，在E=30GPa左右達到飽和，而對工作臺結構等效密度的變化極為敏感。該階振型為工作臺沿x方向竄動，決定該階振型頻率大小的是工作臺的質量以及絲杠-螺母副接觸剛度、軸承副接觸剛度以及絲杠自身拉壓剛度，對反映工作臺自身剛性的等效彈性模量并不敏感。

圖5b可以按系統振型的變化分成2個區域。第1個區域的振型為絲杠自身的彎曲，同時帶動工作臺沿z方向作微幅振動。在該區域內，工作臺自身剛度遠大于絲杠的剛性，由于二者在該方向的剛度是串聯作用，系統的動態特性取決于剛度小的因素，因此系統的固有頻率對工作臺的自身力學屬性不敏感。第2個區域的振型為絲杠、工作臺的彎曲，此時系統的固有頻率對工作臺的自身力學屬性很敏感。同理，對比圖5c和圖5d中系統第3、4階固有頻率的變化規律和對應的振型，可以找出工作臺自身力學屬性對于系統固有頻率的影響規律。

2.2 絲杠-螺母副接觸剛度對模態特性的影響

由2.1節的分析可知，絲杠-螺母副接觸剛度和絲杠自身拉壓剛度對于進給系統沿x方向振動的模態影響較大，而絲杠自身的拉壓剛度又取決于絲杠的公稱直徑。圖6為當絲杠公稱直徑和絲杠-螺母副軸向接觸剛度發生變化時，系統前4階固有頻率的變化。由圖6a可以看出，絲杠公稱直徑D對于系統沿x方向的振動影響很大，絲杠沿軸向的拉壓剛度可表示為

圖5 運動工作臺對系統前4階固有頻率的影響

式中：l為絲杠的長度；A為絲杠的截面積。

圖6 絲杠公稱直徑和絲杠-螺母副軸向接觸剛度對固有頻率的影響

因此，增大絲杠公稱直徑可以有效地提高絲杠自身的拉壓剛度，從而提高進給系統沿x方向的固有頻率。同理，增大絲杠-螺母副軸向接觸剛度也可提高進給系統的1階固有頻率。由圖6b可以看出，在第1個區域內，由于絲杠直徑較大，絲杠自身彎曲剛度較工作臺的彎曲剛度和導軌-滑塊z方向的剛度大，因此該階振型主要由工作臺的力學屬性和導軌-滑塊z方向的剛度決定，而對絲杠的直徑和絲杠-螺母副接觸剛度不敏感。在第2個區域內，由于絲杠直徑變小，絲杠的彎曲剛度降低，因此該階模態對絲杠直徑的變化很敏感。同理，由圖6c和圖6d可得絲杠的直徑和絲杠-螺母副接觸剛度對第3、4階模態的影響規律。

2.3 導軌-滑塊結合面剛度對模態特性的影響

由圖1可知，導軌-滑塊結合面約束了進給系統y方向和z方向的自由度，因此導軌-滑塊結合面接觸剛度的變化將影響進給系統沿y、z方向的振動模態。

由圖7a可以看出，當導軌-滑塊結合面接觸剛度kg不是很小時（大于130MN／m），系統沿x方向的振動模態對導軌-滑塊結合面剛度不敏感，而系統的第2階模態為工作臺沿z方向振動，導軌-滑塊結合面剛度對其影響很大。同理，可以對比振動模態對系統第3、4階模態的影響，如圖7c和圖7d所示。

2.4 導軌-滑塊跨距對系統模態特性的影響

在導軌-滑塊結合面接觸剛度不變的條件下，改變導軌、滑塊跨距同樣可以對系統的模態特性產生影響。從圖8a中的1階振型可以看出，該階振型由絲杠-螺母副接觸剛度和絲杠自身剛度主導，改變導軌-滑塊跨距對該階模態幾乎沒有影響，而圖8b、圖8c和圖8d中的振型都包含工作臺沿z方向和y方向的振動，而不同導軌-滑塊的跨距將改變工作臺的約束條件，從而對其模態頻率產生影響。由第2、3、4階固有頻率的變化規律可知，導軌-滑塊的最優分布為：dx=400mm，dy=300mm。

3 基于模態特性的匹配設計實例

通過分析各種因素對系統模態特性的影響規律，得到了各種因素間的耦合制約關系，根據這些制約關系對剛度進行了匹配設計。以工作臺結構設計為例，當外界激振頻率不超過150Hz、系統振動的模態為工作臺沿x方向振動時，該階模態對工作臺自身剛性的等效彈性模量不敏感，因此在保證靜態剛度的條件下，應盡可能地減小工作臺的質量。本文在保證外形尺寸相同的條件下，設計了2種結構的工作臺，并進行了對比。第1種結構工作臺的底面壁厚為42mm，筋壁厚為20mm，總質量為171kg（見圖9a）；第2種結構工作臺的底面壁厚為30mm，筋壁厚為15mm，總質量為154kg（見圖9b）。

圖7 導軌-滑塊結合面接觸剛度對固有頻率的影響

圖8 導軌-滑塊跨距對前4階固有頻率的影響

采用前3階自由模態等價的方法，計算得到了2種工作臺的等效密度、等效彈性模量，以及進給工作臺系統的1階模態。由表1可以看出，2種結構工作臺的等效彈性模量相差很小，但結構1工作臺的等效密度較大，使得工作臺的質量較大，由于進給系統的1階模態對工作臺的質量很敏感，因此結構1比結構2工作臺構成的系統固有頻率f低9%。

圖9 2種不同內部筋板結構的工作臺示意圖

表1 2種結構工作臺的等效密度和等效彈性模量

4 結 論

本文采用有限元方法對影響進給系統模態特性的各種因素進行了分析，得到的主要結論如下。

（1）當系統沿x方向振動時，對模態影響最大的因素是工作臺的質量、絲杠-螺母副接觸剛度、軸承副接觸剛度以及絲杠自身的拉壓剛度。

（2）當導軌-滑塊結合面剛度相對較大時，系統沿x方向的振動模態對導軌-滑塊結合面剛度的變化不敏感，但系統沿z方向振動時受導軌-滑塊結合面剛度的影響較大。

（3）改變導軌-滑塊跨距可以改變工作臺沿z方向和y方向振動的模態頻率，并存在導軌-滑塊跨距最優的分布。

（4）在進行剛度匹配設計時，當確定了系統的工作頻率范圍，以及對系統動態特性影響最顯著的因素、影響規律時，應優先提高顯著因素。

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