一種空空導彈攻擊區的快速解算方法①

王志剛，張 寧，李 偉

(1．西北工業大學 航天學院，西安 710072;2．航天飛行動力學技術重點實驗室，西安 710072)

0 引言

傳統的攻擊區解算會占用大量計算資源，影響導彈作戰效能。為解決計算精度和快速解算的矛盾，需要研究面向工程應用的攻擊區快速解算方法。不同于張平等［1－5］通過單獨采用黃金分割或變步長積分算法來提高攻擊區的解算速度，本文從積分算法、氣動力系數計算及最大最小邊界的確定著手，結合三自由度彈道模型，建立了一種空空導彈攻擊區快速解算方法。

本文選擇解算速度更優的變步長積分法［3］進行彈道積分;采用多項式擬合方式處理已知氣動系數數據，避免了傳統插值算法的數據搜索耗時［6－8］;最大最小邊界的確定則結合了空空導彈可攻擊區多項式擬合與黃金分割法，用多項式擬合結果作為邊界值的預估值，構成黃金分割法的初始搜索區間，從而減少了邊界搜索循環次數，提高了可攻擊區的計算速度。最后通過具體的仿真實驗論證了該算法的可行性。

1 攻擊區快速計算方法

1．1 積分算法

變步長求積法的基礎是復化梯形公式，但不是先確定對積分區間的細分數，而是根據精度要求逐步將區間細分。為了盡量避免被積函數值的重復計算，在細分的過程中總是對原先的小區間再二等分一次，以便充分利用原來結點上的函數值。因此，與龍格庫塔法相比，變步長積分法具有快速計算的優點。其求解過程如下:

首先利用梯形公式(1)計算積分值:

將每一個求積區間二等分:

然后對二等分前后2次的積分值進行判斷(式(3))來確定是否滿足精度要求:

若滿足精度，則終點時刻狀態值由式(4)得出:

反之，則保存當前的等分數、積分值與步長，對積分區間繼續做二等分處理，即:

1．2 氣動力系數計算

利用傳統插值算法對氣動數據進行計算時，雖能保證一定的精度，但不具有快速性。因此，在本文的研究中選擇采用氣動力系數的多項式擬合來實時計算導彈的氣動力系數。

參考美國AIM-120空空導彈外形參數，首先利用DATCOM軟件進行氣動系數計算，然后通過擬合軟件對其擬和，得到式(6):

式中 p1～p11為擬合參數。

升力系數原始數據和擬合數據如表1所示。

表1 升力系數原始數據及擬合數據Table 1 Original data and fitting data of lift coefficient

由表1可看出，與原始數據相比，擬合結果具有較高的精度，但該組數據在攻角為0°時偏差較大。因此，在仿真過程中直接將α=0°的升力系數值取零。另外，若計算負值攻角下的升力系數，只要在Cy的基礎上乘以－1即可。

1．3 最大最小邊界的確定

本文采用的攻擊區邊界快速搜索算法與傳統的逐步搜索法相比，其初始搜索范圍已接近于可攻擊區允許發射距離值，因而在解算過程中可減少搜索循環次數，提高攻擊區的求解速度。下面以最遠邊界為例，介紹該算法的計算過程。

(1)可攻擊區多項式擬合

首先針對空戰中可能遇到的各種情況，根據導彈數學模型進行離線仿真后再利用擬合算法進行數據處理，就得到攻擊區遠界的擬合多項式，由于該擬合結果是作為攻擊區邊界值的預估值，因此只需要擬合誤差在一定范圍內而不要求其精度相當高。

(2)黃金分割法下的邊界搜索

在一維搜索中，黃金分割法［9］同其他方法相比不需要事先知道計算次數，而且收斂速率較快，因此本文利用該搜索法對導彈攻擊區邊界進行精確搜索。

下面同樣以遠邊界為例進行說明:首先，以載機為中心，選定目標的方向，根據確定初始搜索范圍［a0，b0］，計算黃金分割點 Rg=a0+0．618(b0－a0);然后，在分割點位置進行數值積分并根據彈道仿真結束條件判斷導彈是否命中目標，若擊中目標，則令ai=Rg，bi=bi－1;否則令 ai=ai－1，bi=Rg，重新進行循環計算，直至求出滿足所有約束條件的邊界為止。

具體計算流程如圖1所示。

2 導彈的運動模型

為進一步提高攻擊區的解算速度，選用三自由度數學模型來描述導彈的空間運動。

2．1 基本假設

(1)將導彈視為質點運動，并滿足瞬時平衡假設;

(2)在步長時間內，導彈各參數保持不變;

(3)目標運動規律已知;

(4)采用標準大氣數據;

(5)導彈滾轉穩定，且速度傾斜角為零。

圖1 遠距離搜索流程圖Fig．1 Flow chart for remote distance search

2．2 導彈運動學方程

式中 V、θ、ψV分別為導彈的速度、彈道傾角和彈道偏角;x、y、z為導彈質心在地面坐標系中的坐標。

2．3 導彈動力學方程

式中 X、Y、Z分別為導彈受到的阻力、升力和側向力;F為發動機推力;m為導彈質量;αb、βb分別為平衡攻角和平衡側滑角。

2．4 導引方程

式中 K為比例導引系數;g為重力加速度;qε為目標視線高低角;q·β和q·ε分別為目標視線方位角和高低角的偏轉角速度;nyc、nzc分別為導彈在垂直方向和橫向的控制過載。

2．5 控制方程

式中 kpy、kpz為控制系數;ny、nz分別為導彈在垂直方向和橫向的過載;δyb為方向舵的平衡舵偏角;δzb為升降舵的平衡舵偏角。

2．6 瞬時平衡關系

2．7 目標運動方程

式中 VT、θT、ψVT分別為目標運動速度、彈道傾角和彈道偏角;xT、yT、zT為目標質心在地面坐標系中坐標。

2．8 相對運動方程

式中 r表示導彈與目標之間的相對距離;qβ為視線方位角。

3 仿真計算與分析化

3．1 仿真條件

仿真過程中的攻擊區計算均是在以下條件下進行的:導彈與目標的初始飛行高度相同;仿真過程中的循環條件只取進入角qβ。具體的初始條件如下:

(1)目標運動狀態:VT=414．36 m/s，θT0=0°，ψVT0=180°，yT=10 km。

(2)導彈初始運動狀態:V=414．36 m/s，θ0=0°，ψV0=0°，x0=0 km，y0=10 km，z0=0 km。

3．2 攻擊區邊界的多項式擬合

首先以AIM-120為對象，利用Visual C++進行仿真計算得到傳統算法下 qβ∈(－36°，36°)時的理論攻擊區。然后對其邊界值進行多項式擬合，結果如下:

式中 ci、di均為擬合參數為攻擊區近邊界的擬合多項式。

圖2 遠距離、近距離的邊界擬合數據對比Fig．2 Fitting data comparison of remote boundary and close range boundary

3．3 攻擊區仿真

通過在同一臺2G內存、雙核2．5GHz賽揚處理器的計算機上對第1節中的3種快速解算方法進行攻擊區解算，并將仿真結果與理論攻擊區在同一坐標系下作圖，結果如圖3～圖6所示。其中，圖3～圖5分別為單獨采用變步長算法、氣動擬合算法和邊界快速搜索算法下的攻擊區對比;圖6為將以上3種算法與三自由度運動模型相結合后仿真得到的攻擊區對比結果。

圖3 變步長模擬攻擊區對比Fig．3 Comparison of attacking area simulation step-changed method

圖4 氣動擬合模擬攻擊區對比Fig．4 Comparison of attacking area simulation by pneumatic fitting method

圖5 邊界快速搜索模擬攻擊區對比Fig．5 Comparison of attacking area simulation by boundary fast search method

3．4 結果分析

首先利用平均成功發射概率的概念對圖3～圖6中的模擬攻擊區進行精度驗證，得出對應不同算法下的失機發射概率Pml、邊界外發射概率Pob和平均成功發射概率P，結果如表2所示。表3為各算法下攻擊區解算時間的對比。

圖6 快速模擬攻擊區對比Fig．6 Comparison of attacking area simulation by fast method

通過以上對比結果可看出:

(1)變步長積分算法雖能提高解算速度，但該算法對仿真結果的精度產生了很大影響，使得實際面積遠小于理論攻擊區，增大了失機發射概率。經過分析可知造成這種誤差的原因在于該算法是通過對比相鄰2次的計算結果來判斷是否達到精度要求，而不是與精確解進行對比。

(2)氣動系數擬合下的解算速度與插值算法相比提高了近22倍，但從其計算精度可以看出氣動力系數的高精度擬合并不能保證模擬攻擊區的高精度解算。

(3)與氣動系數擬合和變步長積分算法相比，邊界的快速搜索算法不僅有效提高到了攻擊區的解算速度，還保證了較高的計算精度。這是因為相對于理論攻擊區的計算，該算法的使用只改變了初始搜索區間的范圍，而未改變仿真過程中的算法，因此只要初始搜索區間選取合適，就能夠通過黃金分割法快速準確地求出攻擊區的邊界值。

(4)從圖6和表1、表2的對比結果可看出，本文所建立的空空導彈攻擊區快速解算方法不僅彌補了變步長與氣動擬合算法下的誤差，還在保證邊界快速搜索算法的高精度基礎上，進一步提高了計算速度。

表2 不同算法下攻擊區精度比較Table 2 Comparison of attacking area accuracy by different methods

表3 不同算法下攻擊區解算時間Table 3 Comparison of attacking area simulation time by different methods

4 結論

(1)單獨采用變步長算法、氣動系數擬合算法代替四階龍格庫塔法和傳統二元三點插值算法進行攻擊區解算時均能有效減少計算時間，但會產生較大誤差。

(2)攻擊區的邊界快速搜索算法利用其計算原理能夠有效提高攻擊區的解算速度和精度。

(3)將3種算法與導彈三自由度運動模型相結合后得到的空空導彈攻擊區快速解算方法不僅彌補了單獨使用一種快速算法時的不足，而且有效地提高了計算速度。從而保證了機載武器系統的實時性要求，對火控系統實時解算攻擊區邊界具有參考意義。

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