當(dāng)折紙邂逅數(shù)學(xué)

王耀楊

一張紙在不剪開、不粘貼的前提下，完成一件復(fù)雜的立體折紙作品？完全可以！當(dāng)然，這并不是單純憑借純熟的折紙技藝和靈巧的雙手就能達(dá)到的，還需要數(shù)學(xué)方法的幫助。

“頭腦與雙手”里的對稱結(jié)構(gòu)

在2006-2007年度的麻省理工大學(xué)（簡稱MIT）校園折紙大賽中，一件以該校校訓(xùn)“頭腦與雙手”為主題設(shè)計的折紙作品奪得了“最佳MIT風(fēng)格獎”和“最佳折紙設(shè)計獎”。他的作者是當(dāng)時還在攻讀博士學(xué)位的青年學(xué)者布萊恩·陳（Brian Chan）。

先來解釋一下“頭腦與雙手”的含義。在人類文明發(fā)展歷程中，歷來有“哲學(xué)家傳統(tǒng)”和“工匠傳統(tǒng)”兩種風(fēng)格迥異的動力，前者注重沉思與冥想，后者則傾向于動手實踐。 二者相輔相成，彼此輝映，促成人類文明的不斷前進(jìn)。從圖1中我們看到，一個人手中持著錘子，代表實踐活動，另一個人手捧書卷，代表理性思考；所以也有人將MIT的校訓(xùn)譯為“理論與實踐并重”。圖2則是激發(fā)創(chuàng)作者靈感的MIT圖標(biāo)。

這件作品最神奇的地方在于，它是用一張正方形的紙在不剪開、不粘貼的前提下折成的。圖3顯示的是它的折痕圖（有部分省略），上面的線條表示折疊過程中產(chǎn)生的折痕。

第一眼看時，這樣復(fù)雜的折痕圖簡直令人眼花繚亂，但仔細(xì)觀察，你會從中看到很多可以理解的內(nèi)容。比如，左上角區(qū)域的折痕不就是我們熟悉的紙鶴？相信很多同學(xué)從小就會折出這一構(gòu)造，但是你仔細(xì)觀察過它的折痕圖（圖4）嗎？圖中另一個清晰的特征就是對稱性，位于左下角和右上角兩個四分之一區(qū)域的結(jié)構(gòu)幾乎一模一樣，這意味著它們將會產(chǎn)生兩部分很相近的立體結(jié)構(gòu)，是什么呢？當(dāng)然就是那兩個人！

按照上面的思路，相信大家可以憑借自己的興趣來分析這張折痕圖了。這里要強(qiáng)調(diào)的是，上述分析的要點在于關(guān)注“模式”（pattern），即整體結(jié)構(gòu)特征和具有一定普遍性的規(guī)律，而不是過多著眼于細(xì)節(jié)。創(chuàng)作者是先有一個立體構(gòu)造目標(biāo)，然后再為此設(shè)計折紙方法的。

折出“突出部分”數(shù)學(xué)幫大忙

難道折紙家竟然已經(jīng)神通廣大到想要折什么就可以折出什么的程度嗎？完全正確！

20世紀(jì)末，一位名叫朗（Robert.J.Lang）的美國學(xué)者（他是折紙設(shè)計者兼折紙藝術(shù)家，同時是一名物理學(xué)家）發(fā)明了一種叫作“Treemaker”的算法，這種算法可以實現(xiàn)“想折什么就折什么”的夢想。朗的作品很多，圖5中提供了一些有趣但遠(yuǎn)遠(yuǎn)算不上復(fù)雜的實例。

如何將這些圓形區(qū)域組合起來，保證各個“突出部分”真的能夠組合成我們需要的形狀呢？這類問題正是數(shù)學(xué)家所擅長的，解決問題需要兩方面的知識：

一是關(guān)于不同大小的圓在正方形內(nèi)部的堆積，這方面的研究可謂汗牛充棟。甚至還有一個極為重要的世界級難題，叫作“開普勒猜想”（Kepler conjecture），討論球體在空間中不同堆積方式導(dǎo)致的空間占有率的問題。廣義地講，圓在平面內(nèi)的堆積可以看作是該研究方向的問題在二維情況下的特例。

二是在組合圓形區(qū)域時涉及的“限制性定理”。關(guān)于折痕圖中的“限制”，可以概括為四個定理，它們分別是：用兩種顏色可以將折痕圖中區(qū)域涂色使得任意兩相鄰區(qū)域顏色相異，每個頂點附近的峰、谷折痕數(shù)相差2，將每個頂點周圍的夾角依次編號則奇、偶號碼的角度之和都等于平角，以及紙面不會穿過自身。限于篇幅我們不在這里詳細(xì)討論，只需說明它們的意義在于使我們的組合嘗試減少了盲目性從而更有效率。

我們需要強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)方法的引入對于折紙家創(chuàng)造才華是一種強(qiáng)有力的輔助而絕不是限制，因為自由創(chuàng)造折痕圖的能力使得“想折什么就折什么”成為可能，但是將折痕圖轉(zhuǎn)化為立體折紙實物還需要折紙家高超的技能。在這個意義上，“哲學(xué)家傳統(tǒng)”與“工匠傳統(tǒng)”實現(xiàn)了真正意義的合流，體現(xiàn)出人類智慧的偉大生機(jī)。