基于DAMDF的彈道導彈進動周期提取

趙振沖，王曉丹，宋亞飛，雷 蕾

(空軍工程大學防空反導學院， 西安710051)

0 引言

相比于碎片和誘餌，具有姿態控制的彈頭在飛行過程中由于受到干擾而產生的進動是其特有的特性。因此，進動參數的提取是區分真假彈頭和誘餌、碎片的關鍵［1-8］。

現有的基于平均幅度差函數(Average Magnitude Difference Function，AMDF)和自相關函數(Autocorrelation Function，AUTOC)的導彈進動周期提取方法，如:AUTOC/AMDF［9］、循環 AUTOC(Circular AUTOC)、循環 AMDF(Circular AMDF)和 CAUTOC/CAMDF［10］，主要存在兩個方面的問題:(1)由于AMDF和AUTOC的處理結果和原數據具有相同的周期，每種方法的處理結果都包含多個分頻和倍頻峰值，而且當信噪比較低時，由于噪聲的影響會出現更多的虛假峰值，因此在提取周期時都會出現分頻和倍頻錯誤。(2)隨著計算步長的增加，函數幅值會出現明顯的衰減，使得周期提取變得更加困難。文獻［11-12］分別提出了方差分析法和時頻分析法，仍會出現分頻和倍頻錯誤。

基于以上分析，本文提出一種基于修正的雙重AMDF算法的周期估計方法(Double AMDF，DAMDF)。由于利用AMDF和AUTOC函數處理的結果具有和原數據相同的周期性，并且其平均幅值隨步長增加而衰減，因此對處理結果利用AMDF進行周期再提取時，二次處理結果在第一周期處的極值顯著性要明顯強于在各分頻處的極值顯著性。為了進一步增強這種效果，對二次處理的AMDF函數進行了歸一化修正，使處理后的結果只在第一周期處有一個比較顯著的峰值。該方法不但克服了分頻的影響，而且能夠有效抑制噪聲和倍頻帶來的干擾。實驗表明，該方法在信噪比低、目標平動的情況下仍能準確估計出進動周期。

1 基于AMDF和AUTOC的進動周期估計

AMDF和AUTOC是提取序列周期常用的兩種方法。設彈頭窄帶雷達回波序列為X(n)，n=1，2，…，N，則平均幅度差函數可表示為

從P(k)中提取周期有兩種常用方法:

1)在最值處提取周期。估計函數可設為

式中:kmin、kmax是預先設定的最大、最小步長。則有T=Δk/fs，其中fs為樣本采樣頻率。該方法的優點是計算簡單，但缺點也很明顯。假設目標的進動周期為T0，則在 k=nT0，n∈N*，函數同樣會出現谷值，并且由于目標的雷達回波不可避免地將受到噪聲的干擾，因此在實際的計算過程中會出現分頻或倍頻誤差。并且隨著k值的增加，求和項逐漸減少，函數會出現多個谷值。仿真實驗表明，該方法的誤判率隨著信噪比(SNR)的降低而迅速提高。

2)依據AMDF和X(n)具有相同周期的特點，以兩個極值的間隔作為周期。即Δk=kmin2-kmin1，其中kmin1、kmin2分別是函數(1)取極值時對應的步長，則有T=Δk/fs。該方法的性能同樣會受到噪聲造成的虛假峰值的嚴重影響。

自相關函數是另外一種計算序列周期的有效方法。函數可表示為

基于該函數的周期估計同樣有兩種常用方法。一種設周期估計函數為

另外一種Δk=kmax2-kmax1，則有T=Δk/fs。該方法同樣存在和AMDF一樣的不足。

由函數特性可知，AUTOC表征的是X(i)與延時為k的信號X(i+k)之間的相似程度，其峰值顯著性容易受到數據平均幅值變化的影響;AMDF計算的是信號X(i)與延時為k的信號X(i+k)之間的幅度差，其谷值的顯著性對噪聲的影響比較敏感。仿真結果表明:在SNR比較高的情況下，AMDF的估計精度較AUTOC更為精確，AUTOC對回波數據的平均幅值的變化比較敏感，如圖1所示，而實際中雷達回波的平均幅度由于導彈的平動作用而不斷變化。但是在SNR較低(小于5 dB)且不考慮平動或平動較小的情況下，AMDF幾乎失效，而AUTOC仍能保持一定的準確性，如圖2所示。

為了增強兩種函數在峰值和谷值處的大小，文獻［9］采用AUTOC和AMDF的倒數相乘的辦法，即

圖1 不加噪聲對平均幅值斜率-0.2數據的計算結果

圖2 低SNR時計算結果

在此基礎上，為了減少由于k的增加、求和項減少而造成的函數值的衰減，文獻［10］采用循環平均幅度差函數(CAMDF)的倒數和循環自相關函數(CAUTOC)相乘的方法，即

這兩種方法雖然能在一定程度上加強峰值的顯著性，但是同樣存在虛假峰值(如圖3、圖4所示，T=2 s，f=10 Hz)和函數幅值隨著步長的增加而衰減的現象。在低SNR情況下，這些不足依然會導致較高的分頻和倍頻錯誤。

圖3 AUTOC/AMDF仿真結果

綜上分析，利用AMDF和AUTOC提取進動周期的關鍵就在于如何從處理結果的眾多虛假峰值中提取出準確的峰值。解決的最好辦法就是只保留第一個周期處的極值，設法消掉其他極值，特別是由于分頻而引起的極值，這樣就能更加準確地提取出進動周期。

圖4 CAUTOC/CAMDF仿真結果

2 基于DAMDF的進動周期提取算法

由函數性質可知，周期序列X(n)用AMDF和AUTOC的處理結果P(k)和D(k)與原數據具有相同的周期性，并且函數幅值由于步長的增加而逐漸衰減。因此，P(k)和D(k)單個周期的顯著性要明顯大于多個周期的顯著性，可用AMDF對其進行二次處理，削弱其在第一周期處極值外的其他極值，使對周期峰值的檢測更加準確和方便。

設函數f(x)是周期為T0的實函數，a為大于零的實數，稱為衰減因子，則稱函數

為周期衰減函數。以f(x)=sin(2πx)，a=0.1為例，其函數曲線如圖5所示。

圖5g(x)函數曲線

對g(x)利用平均幅度差函數提取周期，并將函數除以求和項數進行歸一化修正，即

式中:fs為采樣頻率。令Δfk(i/fs)=f(i/fs)-f((i+k)/fs)，則P'(k)可表示為

由AMDF的函數性質可知，P'(k)將在k=nT0fs(n∈N*)處有極小值，設其為mink，則有

由此可見，第一個極小值要比第n個極小值小n倍。第一個周期處極值比較顯著，其他極值以aT0的速度迅速增強。

影響P'(k)幅值的因素主要有兩個:

1)受步長k的影響。當k比較小時，P'(k)受Δfk(i)的周期性的影響比較顯著，這時隨著k的變化極值表現比較明顯。當k較大時，極值嚴重衰減，Δfk(i)的變化對P'(k)的影響可以忽略，此時P'(k)主要受ak的影響，近似成線性遞增。對圖5所示函數利用式(8)進行計算并求倒數得到的結果如圖6所示。

圖6 對g(x)=sin(2πx)-0.2x求1/AMDF

2)受衰減因子a的影響。設周期函數f(x)的幅度為b，則稱S=|a/b|為g(x)的顯著系數。當S較小時，衰減因子a相對較小，由式(10)可知，此時各極值的遞增速度較慢，但是對結果求倒數后各峰值以1/aT0的速度迅速衰減，第一周期處極值的顯著性不受影響。當S較大時，衰減因子a相對較大，此時函數迅速衰減，g(x)的周期特性被衰減特性覆蓋，利用式(8)進行處理時幾乎不會有極值出現。仿真實驗表明，當S＜1時，第一周期處極值的顯著性比較明顯。當S＞1時，處理結果幾乎不存在峰值特性。圖7給出了當S取不同值時，對g(x)=sin(2 πx)-ax利用P'(k)處理并求倒數后的結果。

圖7 不同S下P'(k)的圖像

由式(1)、式(3)可知，由于分頻作用，P(k)和D(k)呈現出和雷達回波序列X(n)相同的周期性，在k=nT0，n∈N*處函數將出現極值。并且隨著k值的增加，求和項逐漸減少，P(k)和D(k)的平均幅值將出現近似線性的衰減，由于k的變化范圍很大，使得這種衰減的衰減因子相對其平均幅值很小，S遠小于1。

基于以上分析，對雷達回波數據X(n)利用AMDF和AUTOC進行預處理后的序列P(k)和D(k)滿足式(7)的形式，因此可以利用式(8)進行二次處理，削弱除第一極值之外的其他極值。同時，為了進一步增強第一極值的顯著性，將二次處理后的DP'(k)和PP'(k)相乘后取倒數。仿真實驗表明SNR較低時，DP'(k)仍有比較明顯的峰值特征，而P(k)的周期特征很弱，PP'(k)主要受ak的影響，導致其幾乎呈線性遞增(如圖8所示)，但是這反而會加強DP'(k)第一極值的顯著性，從而大大提高低SNR時周期提取的準確性和穩定性。這樣不僅能利用在高信噪比情況下AMDF的精確性，同樣可以利用信噪比較低時AUTOC的穩定性。

圖8 SNR=2 dB時AMDF-AMDF和AUTOC-AMDF的計算結果

利用DAMDF進行進動周期提取的步驟可歸納如下:

步驟1:分別利用AMDF和AUTOC對雷達回波序列X(n)進行預處理，得到P(k)和D(k)。

步驟2:對P(k)和D(k)利用式(7)進行二次處理，得到PP'(k)和DP'(k)。

步驟3:把DP'(k)和PP'(k)相乘，得到函數φ(k)=DP'(k)·PP'(k)。

步驟4:對φ(k)求倒數，取 φ(k')=φmax(k')時的km=k'，則 T=km/fs。

3 仿真實驗與分析

設目標為平底錐，高h=1.6 m，底面半徑R=0.3 m，利用FEKO軟件測得目標全姿態角下窄帶雷達回波序列W(n)，當目標受到第一節描述的情景時將產生進動，設進動周期T=2 s，進動角θ=10°，對彈道導彈軌道進行建模，設定采樣頻率為10 Hz，利用仿真出的實時姿態角提取39.7 s的動態回波X(n)，如圖9所示。

圖9 雷達動態回波序列

分別利用 AUTOC/AMDF、CAUTOC/CAMDF，時頻分析法和DAMDF在SNR=20 dB和SNR=2 dB時的仿真結果，如圖10所示。

圖10 SNR=20 dB時四種方法的比較

從圖10，圖11中可以看出，DAMDF幾乎消除了除第一峰值之外的其他峰值。

圖11 SNR=2 dB時四種方法的比較

每次方法重復試驗50次，三種方法利用式(4)進行周期提取的情況下，受不同信噪比影響的正確率，如圖12所示。

圖12 不同SNR情況下各方法性能對比

仿真實驗表明:DAMDF不僅使周期提取變得更加容易，而且通過對原有數據的兩次處理，使其具有了比其他幾種方法更好的抗噪性。

4 結束語

本文對傳統周期提取方法進行了分析，針對其存在的分頻和倍頻現象，以及由于步長增長造成的平均幅值的衰減特性，提出了一種基于雙重AMDF函數的周期提取方法DAMDF。該方法首先對回波數據利用AMDF和AUTOC進行預處理，然后利用其衰減特性和改進的AMDF進行二次處理，使處理后的結果只有一個比較明顯的峰值。實驗表明，在信噪比比較低的情況下，該方法的處理結果仍能保持很好的峰值效果，證明了該方法具有很好的抗噪性和穩定性。

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