數學分析中輔助函數的構造及其作用

【摘要】本文主要論述了在數學分析中如何構造輔助函數及輔助函數在數學分析中的應用，從而有助于提高學生分析問題與解決問題的能力。

【關鍵詞】輔助函數 構造 應用

【基金項目】江西省教育廳（JXJG-12-15-11）。

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）10-0158-02

在解題過程中，根據問題的條件與結論的特點，通過逆向分析，綜合運用數學基本概念和原理，經過深入的思考、縝密的觀察和廣泛的聯想，構造出一個與問題有關的函數，通過對函數特征的考查達到解決問題的目的，這種解決問題的方法叫做構造函數法。

構造函數的方法內涵十分豐富，沒有固定的模式和方法，構造過程充分體現出了數學的發現、類比、逆向思維及歸納、猜想、分析與化歸等思想。使用構造函數法是一種創造性的思維活動，一般無章可循，它要求既要有深厚堅實的基礎知識背景，又要有豐富的想象力和敏銳的洞察力，針對問題的具體特點而采用相應的構造方法，常可使論證過程簡潔明了。

1.數學分析中如何構造輔助函數

1.1 輔助函數的基本特點

a.輔助函數題設中沒有，結論中也不存在，構造輔助函數僅是解題的一個中間過程，類似于平面幾何中的輔助線，起輔助解題的作用，如我們熟悉的拉格朗日中值定理、柯西中值定理的證明。

b.同一個命題可構造不同的輔助函數用于解題（不唯一）。

c.表面上看構造輔助函數的思路較寬廣（因為不止一個），實質上，不同的輔助函數直接關系到解題的難易（可比較性），因此，構造最恰當的輔助函數是解題的關鍵。

1.2 構造輔助函數的基本方法

1.2.1 聯想分析

要構造一個與所學結果有關的輔助函數，而后再運用已知條件及有關概念，推理得出所要證明的結果，通常是先從一個愿望出發，聯想起某種曾經用過的方法、手段、而后借助于這些方法、手段去接近目標，或者再從這些方法和手段出發又去聯想別的通向目標的方法和手段，這樣繼續下去，直至達到我們能力所及的起點或把問題歸結到一個明顯成立的結論為止，因此，聯想是我們構造輔助函數的關鍵。

例1 已知x>0，證明x-■x2

這是一個含有變量不等式的證明，可以考慮通過移項將不等式化為大于0（或小于0）的形式，然后直接構造輔助函數F（x）通過F′（x）在（a，b）上恒正（或負），知F（x）>F（a）（或F（x）F（x′）（或F（x）

1.2.2 對比分析

運用所學過的相關知識如定積分的定義；定積分計算中的矩形法、梯形法等，結合具體問題進行分析對比，構造輔助函數。

例2 ■[■+■+…+■]。

這是一個和式的極限，該和式又不能直接求和化簡，因而一般方法行不通，由定積分定義求和，定積分也是一個和式的極限，我們將和式的極限與定積分的定義式進行對比：

■f（x）dx=■■f（ξ）△xi

■[■+■+…+■]=■■■

=■■■·■

對比后之后我們不難發現需要構造的輔助函數為f（x）=■，[0，1]

解：

■[■+■+…+■]

=■■■=■■■·■=■■dx=ln（1+x）|■■=ln2

1.2.3 綜合分析

有些命題通過分析，解題中確需構造輔助函數，但上述兩種方法都無從下手，這時就需要逆推分析或雙推分析（指由條件和結論同時進行推理分析，以期得出某個相同的中間命題），先得出要構造的輔助函數的一些特征（性質），然后再根據這些性質構造輔助函數，即使較為復雜的問題，同樣也能構造出恰當的輔助函數。

例3 設函數f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）上可導（0

此結論中涉及兩點，因此需要應用微分中值定理，且只用拉格朗日中值定理還不夠，還需要用柯西中值定理，為此只有一個函數f（x）還不行，還需再構造一個函數g（x），假設g（x）已確定，且滿足柯西中值定理的條件，則（a，b）在上至少存在一點η，使得

■=■ （1）

又因為f（x）在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，所以在（a，b）上至少存在一點ξ，使得

f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a） （2）

由（1），（2）知：

f′（ξ）=■f′（η），ξ，η∈（a，b）

這與欲證結論進行對照不難發現需構造的函數g（x）需具有如下性質：

g′（x）=x，g（a）=0，g（b）=■（或g（b）-g（a）=■）

如果對變上限的積分較熟悉，自然就會想到：g（x）=■tdt，x∈[a，b]

證：設輔助函數g（x）=■tdt，x∈[a，b]

則g（x）在[a，b]上連續，在（a，b）上可導，且g′（x）=x≠0，g（b）-g（a）=■（b2-a2）

由柯西中值定理知：？堝η∈（a，b），使得■=■=■

所以η（f（b）-f（a））=f′（η）·（g（b）-g（a））=f′（η）·■（b2-a2）

又因為f（x）在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，

所以？堝ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）

代入上式得η·f′（ξ）·（b-a）=f′（η）·■（b2-a2），故f′（ξ）=■f′（η）。

總之，輔助函數離不開分析，推理和聯想，恰當的構思、巧妙的假設、充分的推理論證是每個研究數學分析的人們所不可缺少的數學修養和素質。

2.構造輔助函數在數學分析中幾個方面的應用

2.1 輔助函數在討論根的存在性問題中的應用

例4 證明：設函數f（x）在[0，2a]上連續，且f（0）=f（2a），則在[0，a]上至少有一點，使f（x）=f（x+a）。

證：令F（x）=f（x）-f（x+a），則因為f（x）在[0，2a]上連續，f（x+a）在[0，a]上連續，所以f（x）在[0，a]上連續。

由于F（0）=f（0）-f（a），

F（a）=f（a）-f（2a）=-[f（0）-f（a）]，

故若f（0）-f（a）=0，則f（a）=f（0）=f（2a），即當x=a時，有f（x）=f（x+a）。

若f（0）-f（a）≠0，則F（0）F（a）<0，由零點存在定理，必存在至少一點ξ∈（0，a），使f（ξ）=f（ξ+a）。

2.2 輔助函數在應用微分中值定理證題中的應用

微分中值定理主要是指三大微分中值定理，即羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。解決這類相關命題的問題，構造恰當的輔助函數是關鍵。在前面綜合分析中的例3，我們已經利用構造輔助函數解決了一些微分中值定理相關的命題。

2.3 輔助函數在不等式證明中的應用

在不等式證明的問題中，構造恰當的輔助函數是關鍵，可以將不等式通過恒等變形，將結論轉化為容易消除導數符號的形式。

作輔助函數的目的是化未知為已知、化難為易、化繁為簡。在數學分析的教學過程中，有意識地培養學生掌握構造法并且能夠運用構造函數法來解決問題，有助于他們加深和概括所學知識、拓寬視野、培養學生良好的邏輯思維能力。

參考文獻：

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