化整為零 各個擊破

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）10-0124-01

高考數學壓軸題有很強的選拔功能，屬于難題，學生很難對付。如何突破這些難題，除了要有堅實的基礎，還應掌握一些解題的技巧——化整為零、各個擊破就是一個常用的策略，筆者結合實際教學談一些經驗：

1.利用條件的特殊情況突破

例1.（2010年全國課標卷 理21）設函數f（x）=ex-1-x-ax2。

（1）若a=0，求f（x）的單調區間； （2）若當x≥0時f（x）≥0，求a的取值范圍。

[分析] （1）略。

（2）由f（0）=0知若函數在[0，+∞）上單調遞增，則命題成立。而f′（x）=ex-1-2ax，f′（0）=0，那么若f′（x）在[0，+∞）上遞增，則f′（x）≥0即f（x）遞增；而f′（x）在[0，+∞）上遞增等價于f″（x）=ex-2a≥0在[0，+∞）上恒成立，即2a≤（ex）min=1？圳a≤■。

對于a>■，f″（x）=ex-2a<0？圳x

這里利用函數值為0、導數為0和函數遞增這個特殊情況找出參數a討論的分界點，再分類逐一解決，使問題的難度有了明顯降低。

例2.（2012年全國課標卷 理21）已知函數f（x）滿足f（x）=f′（1）ex-1-f（0）x+■x2；

（1）求f（x）的解析式及單調區間；

（2）若f（x）≥■x2+ax+b，求（a+1）b的最大值。

[分析] （1）略。

（2）由（1）知f（x）=ex-x+■x2，

∴f（x）≥■x2+ax+b？圳ex≥（a+1）x+b；

考慮函數y=ex和y=（a+1）x+b的圖象，可發現：

當a+1<0時不等式不恒成立；

當a+1=0時b≤0；

當a+1>0時直線y=（a+1）x+b不能高于曲線y=ex斜率為a+1的切線y-（a+1）=（a+1）[x-ln（a+1）]，此時，令b≤（a+1）[1-ln（a+1）]，令a+1=t則（a+1）b≤t2（1-lnt），從而易求最大值。

這里數形結合，把不等式轉化為函數圖象間的關系，利用圖象的直觀性找到特殊情況，從而分類討論，把這個較難的二元問題逐個轉化容易處理的形式。

對于許多難題，都可以利用條件中定義、性質、命題的特殊情況進行分類劃分，再抓住每一類的特點分別解決。

2.利用結論的特殊情況突破

例3.（2011年全國課標卷 文21）已知函數f（x）=■+■，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0。

（Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）證明：當x>0，且x≠1時，f（x）>■。

[分析] （Ⅰ）略。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=■+■，而函數g（x）=f（x）-■比較復雜，難以處理。考慮到所證不等式分母的情況可對分01兩種情況進行證明；對這兩種情況可對不等式兩邊同乘以公分母“（x-1）（x+1）”化為h（x）=2lnx-x+■>0（或<0），而h′（x）=-（■-1）2≤0、h（1）=0；由單調性易證命題成立。

例4.（2011年全國課標卷 理21）已知函數f（x）=■+■，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0。

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）如果當x>0，且x≠1時，f（x）>■+■，求k的取值范圍。

[分析] （Ⅰ）略。

（Ⅱ）同例2，分01兩種情況，可把不等式化為h（x）=2lnx+（k-1）（x-■）>0（或<0），而h′（x）=k（1+■）-（■-1）2、h（1）=0；再考慮特殊情況k≤0時h′（x）≤0，可證命題成立；從而找到參數討論的分界點，難點得以突破。

這兩個問題中利用命題本身和不等式的特點把結論分割成兩部分，從而把問題轉化為比較簡單的形式。對于一些比較難以整體處理的問題，我們可以利用問題的特點和合理的推測把它分割成若干個小問題，再分析每一部分的本質，用不同的方法解決。

3.利用問題的邏輯關系突破

例5.（2008年高考陜西 理22）已知數列{an}的首項a1=■，an+1=■，n=1，2，…。

（Ⅰ）求{an}的通項公式；

（Ⅱ）證明：對任意的x>0，an≥■-■（■-x），n=1，2，…；

（Ⅲ）證明：a1+a2+…+an>■。

[分析]第一問容易解答；第二問要證明的是一個關于x的不等式，主元是變量x，不要讓n干擾，所以利用第一問得到的■=■-1把■換掉，然后把右邊關于■配方，即可得證。

第三問不等式左邊不容易求和，基本想法是“縮小”后求和，這時應充分利用（Ⅱ）的結論，把它又看作關于n的不等式，對x賦不同的值可使an有不同的縮小，并且關于n是可以求和的；所以先待定x，利用（Ⅱ）的不等式對a1+a2+…+an“縮小”求和，可得：

a1+a2+…+an≥■+■+■，

顯然，只要取x=■即可獲證。

本題三問環環相扣，后面每一問都可從前一問得到啟發，這也是多分支問題的常用命題方式，考察學生對條件不同層面的認識和思考方向的靈活性。可以充分利用題目本身的邏輯劃分，尋找分支間的聯系，理解各分支的本質，實現突破。

所以，可以從問題的條件、結論、邏輯關系等方面對問題實行一定的分割，從而大大降低問題的難度，引導我們“順藤摸瓜”，逐步解決一個本來難度很大的問題。“化整為零，各個擊破”，本來就是我們生活中解決問題常用的策略，有意識地訓練這種思維方式，不但有助于提高我們的解題能力，也可以使我們“學會做事”。