數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將數(shù)學(xué)課程目標(biāo)發(fā)展為“四基”：基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本思想是數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo).數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括，也是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的精髓.通俗地說“數(shù)學(xué)思想”就是將具體的數(shù)學(xué)知識(shí)都忘掉以后所剩下的東西，它將使學(xué)生受益終生.

一、類比思想

類比，是由兩個(gè)或兩類思考對象在某些屬性上的相同或相似，推出它們在另一屬性也相同或相似的一種推理方法.它是從特色到特色的方法，是數(shù)學(xué)推理思想的具體體現(xiàn).其邏輯形式如下：

∵A對象具有屬性a、b、c、d，

B對象具有屬性a、b、c，

∴B對象也可能具有屬性d.

【例1】 類比“全等”學(xué)“相似”

在學(xué)習(xí)三角形相似的判定定理時(shí)，可以類比判定三角形全等的“邊邊邊（SSS）”“邊角邊（SAS）”“兩角和一邊（ASA和AAS）”等這些已經(jīng)熟知的方法.

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合將數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象、圖形與圖形關(guān)系的抽象相結(jié)合.“數(shù)”與“形”本就是人類認(rèn)識(shí)事物的兩條路徑，一個(gè)強(qiáng)調(diào)量化，一個(gè)注重直觀.數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”將抽象思維與形象思維結(jié)合，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化.

【例2】 勾股定理的證明

圖1

趙爽注釋的《周髀算經(jīng)》對勾股定理的證明如圖1：案弦圖可以勾、股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四.以勾股之差自相乘為中黃實(shí).加差實(shí)亦成弦實(shí).即設(shè)a、b、c為勾股形的勾、股、弦，則一個(gè)朱實(shí)為1/2ab，4個(gè)朱實(shí)為2ab，黃實(shí)是（b-a）2，所以c2=2ab+（b-a）2=a2+b2.

趙爽運(yùn)用代數(shù)方法，根據(jù)面積相等，通過計(jì)算證明了勾股定理.趙爽的證明既強(qiáng)調(diào)邏輯推理，又注重幾何直觀，是數(shù)與形的完美結(jié)合.

在“勾股定理的證明”這一知識(shí)形成過程中就自覺地向?qū)W生講解其中的數(shù)學(xué)思想，可以深化學(xué)生對知識(shí)的理解，促進(jìn)知識(shí)的遷移.如，運(yùn)用本例中“通過數(shù)形結(jié)合構(gòu)造圖形”的方法便可以輕松解決下例：若a、b為正數(shù)，且a2+b2、4a2+b2、a2+4b2是一個(gè)三角形三邊的長，求這個(gè)三角形的面積.

三、轉(zhuǎn)化化歸思想

化歸，是通過問題的轉(zhuǎn)化來解決問題的一種方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)推理的思想，是數(shù)學(xué)活動(dòng)者廣泛采用的最具有思維特色的方法.

【例3】 方程（組）的解法

解二元一次、三元一次方程組，具體方法有加減消元法、代入消元法等，這些方法的共性是通過消元，將原方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程.消元方法的指導(dǎo)思想就是化歸，即化繁為簡、化生為熟.

解一元二次方程，有配方法、公式法、因式分解法等具體的方法.無論采用哪一種具體的方法，它們的基本思路是一致的：降次，將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程.降次就用到了化歸思想，即化未知的解二次方程為已知的、熟悉的解一次方程.

四、函數(shù)思想

函數(shù)思想本質(zhì)上是“數(shù)學(xué)模型思想”.函數(shù)思想是用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)分析具體問題中變量之間的關(guān)系，通過建立函數(shù)模型對數(shù)量關(guān)系進(jìn)行刻畫并加以研究.

【例4】 用函數(shù)的觀點(diǎn)看方程和不等式

對于一元一次方程的解可看做當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，相應(yīng)的自變量的值.對于一元一次不等式的解集可看做當(dāng)一次函數(shù)的值大（小）于0時(shí)，自變量相應(yīng)的取值范圍.對于二元一次方程組的解可看做兩個(gè)一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo).

圖2

同樣可以用函數(shù)的觀點(diǎn)研究一元二次方程、一元二次不等式甚至一些解起來比較麻煩的不等式.例如，如圖2所示，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=mx的圖像相交于A（2，3），B（-3，n）兩點(diǎn).根據(jù)條件，便可直接寫出不等式kx+b>mx的解集.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）