數學概念形成的教學探索

數學概念在數學中的重要地位決定了數學概念教學的重要性.學生只有掌握正確的數學概念，才能進行準確的推理和判斷.但在教學中要使學生正確理解數學概念、把握數學概念的本質，卻始終是個難點.《普通高中數學課程標準（實驗）》強調數學概念教學應當注重通過概念形成的方式引導學生主動建構對數學概念的理解，這種教學理念值得提倡.但理論上的訴求與實踐上的操作存在一些偏差.

如何根據概念形成學習的有關特點，運用概念形成的方式提高概念教學的效能是重要的研究課題.筆者在教學實踐中著重進行數學概念形成的教學探索，頗有些體會和感受.筆者認為，良好的數學概念形成教學應把握好以下兩個階段.

一、根據學生的現有認知水平，引入概念

學生的學習在某種意義上來說是一個不斷重建認知結構的過程.在數學教學過程中，要根據學生的認知規律，揭示新舊知識間的內在聯系，重視知識的生成過程.教師對學生已有的知識水平要有一個確切的了解，把握好學生的“最近發展區”，從而有意識地把新的知識建立在學生已有的知識水平之上.在數學概念引入階段，應切實抓好幾個關鍵環節.

1.以舊帶新，巧用知識的遷移規律

數學概念之間是密切聯系的.在建立新概念時，要注意巧用知識的遷移規律，分析新舊知識的銜接特點，利用學生認知結構中已有的相關知識對新概念進行加工、改造，從而使認識坡度縮小，有效生成對新概念的建構理解.

例如，學習“平行四邊形”概念時，學生首先認識到

平行四邊形概念的關鍵特征——在四邊形概念之上添加了“兩組對邊分別平行”的性質，并與自己認知結構中已有的知識——四邊形、兩直線平行等建立起聯系，從而把新概念納入原有的概念中.

2.從實際出發，創設問題情境

概念的形成過程需要學生主動地從一些生動、具體的實例或操作活動中歸納、概括出概念的特征，因而教師在教學中就應深入鉆研教材，對概念的背景知識、形

成過程和基本特征進行細致把握，根據學生思維的特點，借助相關的感性認識材料創設合適的問題情境，引導學生進行聯想歸納，形成對概念的感性認識.

例如，“函數的單調性”概念的教學，可設置溫度變化“曲線圖”，展示生活司空見慣的“上、下坡”，或利用《幾何畫板》、《Matlab》等軟件演示幾種特殊函數圖像的變化情況，讓學生借助它們研究、討論如何妥善地給單調增、減函數下定義，這樣就有可能借助這些具體情境形成對“函數單調性”概念的初步認識.

3.從反例“誘導”，正確理解概念

學生在解決數學問題時，常由于對數學概念、定理、公式等基礎知識認識不清、理解不透，或是由于考慮問題欠周密細致而出現失誤.對此，可有意設置一些“陷阱”或反例，適當地讓學生犯些錯誤，產生一定的認知沖突，然后要求學生自己總結經驗教訓，從而引發學生深入思考.

例如，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的定義中的條件a≠0，學生在解題中經常疏忽、遺漏，而在應用一元二次方程根與系數關系定理時又容易忘記前提條件a≠0且Δ≥0，因此，可以設計針對性的問題幫助學生在犯錯、糾錯中建立對概念的深刻理解.如：若關于x的方程m2x2-（m+1）x+1=0的兩實根為x1和x2，且x1+x2=2，求m的值.通過適當的引導，學生自己能夠找到錯因并加以糾正.這樣的學習效果才能持久.

二、選擇合適的教學方法，深化概念

概念的合理引入使學生對概念及其背景有了直觀的感知，也是對概念非本質屬性的把握，但要深化對概念的理解與認識，需要把握概念的本質屬性，在教法上就要恰當選擇，以便巧妙突破難點.

1.直觀展示，引導探索

數學概念是數學材料抽象化的產物，具有形式化的特點.而形式化的材料是不容易被學生理解、運用的.因此，“淡化形式，注重實質”就幾乎成為數學概念教學所應遵循的基本原則.教學中，

例如，“一元二次方程”的概念教學時，教師首先提出如下三個遞進的問題：

（1）如何剪一塊面積為9平方厘米的正方形紙片？

（2）如何剪一塊面積是150平方厘米的長方形紙片，使它的長比寬多5厘米？

（3）如圖，用一塊正方形紙片，在四個角上截去四個相同的邊長為2厘米的小正方形，然后把四邊折起來，做成一個沒有蓋的長方形盒子，使它的容積為32立方厘米，所用的正方形紙板的邊長應是多少厘米？

其次，要求學生動手操作，把學生引向探求方程的本質——求解上.通過動手與動腦相結合，把數學拉到學生身邊，從而激起學生探求的欲望.問題（1）即為x2=9，求x；問題（2）即為x（x+5）=150，求x；問題（3）則為2（x-4）2=32，求x.如何求x，即如何求解一個新的方程.

接著，引導學生分析這些新方程的特征，在探求中認識一元二次方程概念的各種特征.這樣，把形式與本質有機地結合起來，促成學生對方程概念本質的理解.

2.抽象概括，形成新知

抽象概括是人腦對事物進行去粗取精、去偽存真、由表及里的過程，是感性向理性轉化的橋梁.深化對數學概念的理解，必不可少的環節正是抽象概括.教師應想盡辦法給學生創造抽象概括的素材和機會，每講一個數學新概念，都要注意從直觀例舉中加以深透說理，引導學生自己總結概念，教師可予以適當點撥、肯定，直到學生歸納出準確的概念為止.

例如，“映射”概念的教學中，教師借助學生身邊的例子深化學生對映射概念的理解，提出問題：如果要給高一（1）班學生分配座位，有哪些主要元素？引導學生分析、討論.使學生明白：如果用A表示高一（1）班學生組成的集合，用B表示高一（1）班所有座位組成的集合，分配座位就是給集合A中每一個元素指定B中唯一確定的元素，由此抽象出映射的概念，隨后再要求學生舉出有關映射的其他實例.這樣，通過研究學生生活中的實際問題，在交互活動中提煉概念的本質屬性，學生在抽象概括的基礎上獲得的概念理解是深刻、持久的.

數學概念的理解應是多維度、多因素的，它的學習過程是一個主觀的探究過程.在概念教學中，應充分調動學生頭腦中相關的知識經驗，促使學生主動參與探究性活動，在探究中豐富由自發性概念向科學概念發展過程中的體驗，把概念學習變為學數學、做數學、用數學的過程，從而使學生在學、做、用的過程中，把握概念的本質特征.

參考文獻

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（責任編輯 黃桂堅）