初中數學解題思維定勢的若干思考

摘 要：本文結合四道試題的分析與解答，從先入為主的審題，模凌兩可理解概念，生搬硬套地誤用定理，墨守成規的解題模式等方面探討了解題時引起思維定勢的各種原因。

關鍵詞：思維定勢；模式；試題

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）34-154-02

國學大師王國維先生在《人間詞話》中曾對詩文創作發出這樣的感嘆“詩人對人生須入乎其內，又須出乎其外 入乎其內，故能寫之；出乎其外，故能觀之”張奠軸教授曾引用這段話作為數學解題與數學欣賞的至理名言只有從題海中跳出來，觀之，我們才能感受到“冰冷美麗”后的“火熱思考”

筆者在執教的過程中碰到一些試題，表面上看是似曾相識的經典題型，深入思考后感覺又與常規解法不一致，甚至用常規無法解決而學生在這類題目當中往往陷入其中極易造成思維定勢，回答極不理想下面是筆者對這些試題的分析與反思。

一、“惹禍”的圓點

1、試題呈現與初解

例1 已知菱形ABCD的邊長是8，點E在直線AD上，若DE=3，連接BE與對角線AC相交于點M，則的值是____

例2 如圖1，四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，BC=2以線段BC的中點O為圓心，以OB為半徑作圓，連結OA交⊙O于點M。

（1）若∠ABO=120°，AO是∠BAD的平分線，求

（2）若點E是線段AD的中點，AE=，OA=2，求證：直線AD與⊙O相切。

初解 例1如圖2，∵菱形ABCD ∴ AD∥BC

∴△CMB∽△AME ∴

例2（1）略；（2）證明：連結OE，則OE=OB=1

∵AE=，OA=2，∴

∴

即OE⊥AD

∴ 直線AD與⊙O相切

2、正解與分析

例1 因為點E在直線AD上，所以點E的位置不確定而初解只考慮了它在線段AD上的情形，所以只需補上點E在線段AD的延長線上的情形即可。如圖3同理△CMB∽△AME所以

線段是學生司空見慣的圖形，生活中隨處可見的其模型；直線是由線段兩端無限延伸得到，它是抽象思維的產物，在現實生活中并沒有實際模型。但學生在學習中所遇圖形無一不是以線段呈現的，如三角形的邊，中線和高；四邊形的邊與對角線等。久而久之，學生對它們就不再加以區分，容易造成思維定勢，把它們混為一談就不足為奇了。這也要求我們在平常教學中規范自身的教學行為，要有前瞻意識，在幾何入門課上就應讓學生分清“點C在線段AB上；點C在射線AB上；點C在直線AB上”的圖形的異同；而又要再后續的學習中讓學生學會在復雜圖形中完善因不同位置關系而產生的變形圖。

例2初解想當然把點E看作在⊙O上，這種解法非常具有迷惑性。如果能看穿這點，此題也就不難了。只需由SAS證明△ABO≌△DCO，從而通過等腰△AOD三線合一得到OE⊥AD，再由勾股定理證得OE是⊙O的半徑，因而直線AD與⊙O相切

審題細心，避免先入為主是解好此題的起點。其實，有關直線與圓相切的問題學生是非常熟悉的，翻閱近年來各省市的中考題，它的出鏡率相當高。其解法幾乎可以通過切線的判定定理“經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”加以解決。解題思路是常把問題轉化為以下兩種情形：當交點出現在圓上時，輔助線是直接連結交點與圓心得半徑，再證這條半徑與直線垂直（即連半徑證垂直）；當交點不出現在圓上時，輔助線是過圓心向直線作垂線段，再證垂線段的長等于圓的半徑（即作垂直證半徑）。由此可見“判定定理”可以解決的是一種附加了一個條件下直線與圓相切的問題，應用它更易形成操作的程序但此題并不能直接轉化為上述情形的任何一種，若無法認識到這點就容易形成思維定勢。其實，判定定理是由“圓心到直線的距離等于半徑時直線與圓相切”直接得出的，我們只要抓住數量關系d=r這個核心，一要說明d為垂線段與r為半徑；二要證明d=r，就能做到以不變應萬變。

二、“郁悶”的圖形

例3 已知□ABCD，對角線AC與BD相交于點O，點P在邊AD上，過點P分別作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分別為E、F，PE=PF.

（1）如圖4，若PE=，EO=1，求∠EPF的度數；

（2）若點P是AD的中點，點F是DO的中點，

BF=BC+3-4，求BC的長.

分析：特殊的平行四邊形（矩形、菱形和正方形）的認識，其實都是在平行四邊形的前提下，通過從邊、角和對角線這三個方面添加某些條件而形成的

此題有類似之處，在平行四邊形這個前提下，通過三個特殊點P、E、F的位置關系以及對應線段的數量關系PE=PF，進而感知□ABCD為特殊的平行四邊形。由PF為中位線知PF∥AO，即有OA⊥OD，因而菱形ABCD和矩形PEOF；再有數量關系PE=PF與PF=OF，判斷OA=OD即AC=BD，所以矩形ABCD，最終證得正方形ABCD到此突破了原題給出的一般的平行四邊形的圖形定勢，終現特殊□ABCD的本來面目——正方形ABCD，使得BF與BC的比例關系一目了然，問題便能迎刃而解

解答：（1）略

（2）∵點P是AD的中點，點F是DO的中點，

∴ AO∥PF∵ PF⊥BD，∴ AC⊥BD

∴□ABCD是菱形∵ PE⊥AC，∴ PE∥OD

∴ △AEP∽△AOD

∴

∴ DO=2PE

∵ PF是△DAO的中位線，

∴ AO=2PF

∵ PF=PE，∴ AO=OD

∴ AC=2OA=2OD=BD

∴ □ABCD是矩形

∴ □ABCD是正方形∴ BD=BC

∵ BF=BD，∴BC+3-4=BC

解得，BC=4

為此討論有關特殊的平行四邊形的問題，既要考慮它的特殊性，又不能忽視它的一般性因此考慮多角度、全方位，可以從常規的邊、角和對角線考慮，也可以從特殊的點或其它特殊線段入手。唯有如此才可以既能鞏固課本的識別方法，又可發現新的判別方法，再能培養學生的發散思維，從而突破思維定勢

三、“惱人”的模式

例4 已知點P（m，n）（m>0）在直線y=x+b（0

（1）若b=，求S的值；（2）若S=4，求n的值；

（3）若直線y=x+b（0

分析：（1）（2）略；（3）遇到等腰三角形的問題，常見思路就是進行分類討論，一般情況下按邊分為三類：PA=PB，AP=AB，BP=BA為此本題先要盡可能能表示出這些線段，但又涉及到多個參數m，n，b和s，由已知AB=b，及S與b的關系知可以選取參數b來表示其它參數（即消參），由此得出m=1，n=b+1以及P（1，b+1）題知但此題除了PA=PB這種情況外，其余兩種情況都不易得出結論，但有個共同特征均與AB相等，即有PA=b或PB=b，又P（1，b+1）知點P到x軸的距離PD= b+1，考慮到參數b的取值范圍0

解答：（1）（2）略；（3）∵ S=b2+b，S=··n，

∴ ·b·n=b2+b ∵ b≠0，

∴ n=b+1 ∴ m+b=b+1 ∴ m=1 ∴P（1，b+1）

過P作PD垂直x軸于點D，則點D（1，0）

PD-AB=b+1-b=1-b

∵ 00

∴ PD>AB ∵ PA≥PD，PD>AB，

∴ PA≥PD>AB，即PA>AB ∴PA≠AB同理PB≠AB

∵ △PAB是等腰三角形，∴ PA=PB

∴ A（1-b，0），B（1+b，0）

∵ CA∥PB， ∴ ∠OAC=∠DPB，

∴ Rt△AOC∽Rt△BDP

∴ = ∴= ∴ 4b2-b-3=0

∴ b=1或b=-（不合題意，舍去）∴ b=1

解等腰三角形的問題起初學生容易只寫一種情況，考慮問題不夠嚴謹。鑒于此，教師往往都會加強這方面的訓練，并且都能得出多個解的情形久而久之，學生腦海中就形成遇到等腰三角形的問題要考慮分類討論并且有多解的解題模式但應用這種模式去解此題便會遇到很大的困難，因為壓根沒想到AP=AB或BP=BA這兩種情況不存在這種思維上的跳躍真是始料未及的。雖說解題模式對學習數學非常有幫助，它力求將各種各樣的情形化歸為熟悉的解題情境，但固守模式只能是墨守成規，突破不了思維定勢的束縛因為解題模式永遠是滯后的，解題情境總是處在不斷更新中。

造成學生思維定勢的原因是多方面的，有些是學生本身對知識的理解不到位造成的，例如數學概念的準確理解，定理的適用范圍等；除此，教師其實也充當了推波助瀾的角色，在平常教學當中，講了一種類型的題目后，教師往往喜歡用大量的同類型的題目給學生練習，以達到鞏固知識的目的；但大量的重復的機械訓練容易使數學思維活動傾向于單一的方向，容易產生固定不變的思維方式從而導致思維定勢。為突破這種思維定勢，筆者認為可以有意識地進行以下兩方面的訓練：一方面可以啟發學生從多角度，多層面去看問題，力求做到一題多解，拓寬思路，發散思維；另一方面引導學生進行解題經驗總結時，提倡多解歸一，但不能過分強調解題模式，否則就會限制思維，畫地為牢。這就要求解題者“入能寫之，出能觀之”。入題時心中要有常規的解題思想方法，但常規思路無法得出結論時又要有不囿于經驗，不循于常規的勇氣，如此才能觀之而后快。

參考文獻：

[1] 張奠宙.情真意切話數學[M]北京：科學出版社，2011.

[2] 宋凡忠.精彩生成，不容“滑”過中學數學教學參考.2011.6.