用構造法巧證明不等式

摘 要：在數學解題中，利用觀察、分析、聯想，恰當地構造出一個與原問題有關的輔助問題，從而將原問題轉化為比較簡單或易于求解的新問題，并通過對新問題的求解使原問題獲解，這種以“構造”為主要特點的解題方法，稱為“構造法”解題方法。“構造法”體現了一種數學基本思想，一種解題技巧。用“構造法”解題，能達到直觀形象、簡潔明快的效果。需要以我們已有的知識作為基礎，要求我們充分展開聯想，靈活運用所學知識，下面舉例用“構造法”證明不等式。

關鍵詞：構造法；巧；證明；不等式

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）29-136-02

一、構造函數證明不等式

理解和掌握函數的思想方法有助于實現數學從常量到變量的這個認識上的飛躍。很多數學命題繁冗復雜，難尋入口，若巧妙運用函數思想，能使解答別具一格，耐人尋味。

二、構造復數證明不等式

復數是實數的延伸，一些難以解決的實數問題通過構造轉化為復數問題，雖然數的結構會變復雜，但常使問題簡明化，正所謂“退一步海闊一空”。

三、構造數列證明不等式

相當多的數學問題，尤其是證明不等式，嘗試一下“構造數列”能產生意想不到的效果。

四、構造幾何圖形證明不等式

一般來講，代數問題較為抽象，若能通過構造將之合理轉化為幾何問題，利用“數形結合”這一重要思想方法，往往可增強問題的直觀性，使解答事半功倍或獨具匠心。

分析：拿到此題，聯想到長方體對角線與三條棱所成角的性質，可構造長方體.設三度長分別為a、b、c，且交于頂點B的三棱與對角線BD1的夾角分別為α、β、γ.于是，原有三角不等式轉化為代數不等式，通過構造幾何模型，把三角函數的值轉化為線段的長度，通過解三角形巧妙地求得三角函數的值.

五、構造向量證明不等式

新教材的一個重要特點是引入向量，代數、

幾何、三角中的很多問題都可以利用向量這一工具來解決.

六、“構造法”解題的一點小結

1、“構造法”解題方法的意義

在數學解題中，善于觀察分析聯想，恰當地構造出一個與原問題有關的輔助問題，從而將原問題轉化為比較簡單或易于求解的新問題，并通過對新問題的求解使原問題獲解，這種以“構造”為主要特點的解題方法，稱為“構造法”解題方法。一般說來，如果輔助問題比原問題更簡單、更直觀，這種方法就可能獲得成功。

2、“構造法”解題方法的基本思想

“構造法”解題方法的基本思想是“轉化”。通過“轉化”，達到化繁為簡、化難為易的目的，蘇聯數學家C.A.婭諾夫斯卡亞在題為《解題意味著什么》的演講中指出：解數學題，“意味著將所要解的問題轉化為已經解過的問題”。這充分體現了“轉化”思想在解數學題中的重要性。“轉化”即把要解決的問題歸結到一類已經解決或者比較容易解決的問題中去，最終獲得原問題的解。

3、“構造法”解題對數學能力的培養

21世紀的數學教育要求我們的教學必須培養學生的獨立工作能力；培養處理自然、社會的能力；培養具有創新意識的創造性人才。而“構造法”解題方法就是一種能較好地開發學生創造性思維，在培養學生靈活性、創造性方面具有積極作用的方法。“構造法”解題方法的教學不失為一種培養創造性工作人才的好途徑，符合21世紀的教學要求。

4、“構造法”解題體現了數學美

數學是一門創造性的藝術，蘊含著豐富的美，而靈活、巧妙的“構造法”令人拍手叫絕，能為數學問題的解決增添色彩，更具研究和欣賞價值。充分體現了數學美。