簡述素數定理與哥德巴赫猜想

摘 要：素數定理和哥德巴赫猜想歷來就是數學家們為之長期奮斗的數學難題，也是高校數學教師較為頭痛的問題，本文主要闡述了關于素數的定理及證明、中外數學家對哥德巴赫猜想的研究等。

關鍵詞：素數定理；哥德巴赫猜想；高校數學；理論

中圖分類號：G712 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）29-005-01

關于素數的第一個問題是，有多少個素數，這個問題約在2300年前已由希臘人回答了，其解答見于歐幾理得的《幾何原本》第九卷素數定理20。

一、關于素數定理及證明

素數定理1 素數有無窮多個

證：歐幾里得的證法是反證法，假定素數只有有限個，將它們羅列如下：P1=2，P2=3，…，PN

那么數P1P2…PN+1將不為上述素數中任一個所整除。因此，或者它本身是素數，或者它有不同于上述素數的新的素因子。這與假定矛盾，素數定理證畢。

由歐幾里得的證明我們引出另一個有趣的問題。對一個素數P，用p#表示所有小于等于P的素數的乘積。我們把形如P#+1的數叫做歐幾里得數，因為這些數出現在素數是無窮的歐幾里得證法中。有趣的是，前五個歐幾里得數都是素數：

都不是素數。是否存在無窮多個素數P，使P#+1是素數，這個問題還沒有解決。是否存在無窮多個素數P，使P#+1是合數，這個問題也沒有解決。

素數定理2 相鄰素數的間距要多大有多大。

易見，第一個數能被2整除，第二個數能被3整除，…，最后一個數能被1000整除。這就造出了999個連續的自然數，其中沒有一個是素數。同樣的辦法可以造出更大的間隔，這就完成了素數定理的證明。下面研究素數分布的情況。

考察一下素數表就會發現素數的出現是無規則的。但是素數無序后面隱藏著有序。最終，素數的間隔也表現出某種秩序。

1791年高斯通過對素數表的調查注意到，雖然間隔呈無序狀態，但平均間隔增長得很慢。他猜測到如下的素數素數定理，但沒有證明。

用丌（x）表示不超過x的素數的個數。觀察下表：

二、關于哥德巴赫猜想

1742年，德國數學家哥德巴赫（1690—1764）在和他的好朋友、大數學家歐拉的幾次通信中，提出了關于正整數和素數之間關系的兩個推測，用現在確切的話來說，就是：

1、每一個不小于6的偶數都是兩個奇素數之和；

2、每一個不小于9的奇數都是三個奇素數之和。這就是著名的哥德巴赫猜想。

歐拉未能證明這兩個猜想，但對其正確性深信不疑。因而，二百多年來這兩個猜想一直吸引了許多數學工作者和愛好者，特別是著名數學家的注意和興趣，并為此作出了巨大的努力。

1921年，英國數學家哈代在哥本哈根數學會作的一次講演中認為：哥德巴赫猜想可能是沒有解決的數學問題中的最困難的一個。但是他們沒料到，或者沒意識到對哥德巴赫猜想的研究正在開始從幾個不同方向取得了重大的突破。

1937年，蘇聯數學家維諾克拉多夫（Vinogradov.A.I 189l—1983）證明了：每一個充分大的奇數都是三個奇素數之和。巴雷德金算過，布郎1920年證明（9，9）：素數定理5（布郎）每一個充分大的偶數都可以表示為素因數個數不超過9的兩個殆素數之和。

從1937年維諾克拉多夫的工作開始到現在已經60多年了。這期間哥德巴赫猜想了得了巨大的進展。盡管如此，人們還不能預測哥德巴赫猜想解決的最后日程。研究哥德巴赫猜想產生的方法不僅對數論有廣泛的應用，對數學的其它分支也有廣泛的應用。