線性代數(shù)教學(xué)中的實(shí)用案例

摘 要：本文討論了將線性代數(shù)在各領(lǐng)域內(nèi)的一些應(yīng)用作為案例引入線性代數(shù)的教學(xué)之中，從而提高教師的授課質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，增加課堂教學(xué)的開放性。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；實(shí)用案例；教學(xué)創(chuàng)新

中圖分類號(hào)：G420 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2013）29-002-01

線性代數(shù)已經(jīng)作為一門成熟的理論被諸多學(xué)科廣泛應(yīng)用，但在教學(xué)過(guò)程中很容易發(fā)現(xiàn)，由于這門學(xué)科研究問(wèn)題的抽象性，雖然在理論深度上可能不及高等數(shù)學(xué)，但在學(xué)習(xí)難度上則有過(guò)之而無(wú)不及。

為了解決這個(gè)問(wèn)題國(guó)內(nèi)外很多教師嘗試著將線性代數(shù)的實(shí)際案例編入線性代數(shù)教材，用行列式，矩陣等知識(shí)得具體應(yīng)用來(lái)引發(fā)學(xué)生的想象力，而由于國(guó)內(nèi)教材大多數(shù)仍采用傳統(tǒng)的線性代數(shù)教材，因此作為教師則須將一些案例作為引入或應(yīng)用舉例加入教學(xué)過(guò)程之中，來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，激發(fā)學(xué)生的獨(dú)立思考。在這里可以舉出一些線性代數(shù)的具體應(yīng)用，來(lái)作為教學(xué)中的案例參考。

一、線性代數(shù)與經(jīng)濟(jì)學(xué)

為了研究現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)錯(cuò)綜復(fù)加的各種關(guān)聯(lián)與影響，經(jīng)濟(jì)學(xué)家們往往將經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域各因素錯(cuò)綜復(fù)雜的相互關(guān)系簡(jiǎn)化，并嘗試通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型的方式來(lái)進(jìn)行研究。

一般均衡理論假設(shè)，當(dāng)市場(chǎng)中商品的供給量與需求量恰好相當(dāng)時(shí)，市場(chǎng)實(shí)現(xiàn)均衡，而華西里，列昂惕夫提出了一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述這種問(wèn)題：

假設(shè)一個(gè)經(jīng)濟(jì)由煤炭，電力，鋼鐵三個(gè)部門組成，各部門之間的分配如表1-1所示，其中每一列中的數(shù)表示該部總產(chǎn)出的比例，如表中第二列，將電力的總產(chǎn)出分配如下：40%給煤炭部門，50%給鋼鐵部門，剩下10%給電力部門，因所有產(chǎn)出都必須分配，每一列的分?jǐn)?shù)之和等于1。記符號(hào)PC，PE，PS分別代表煤炭，鋼鐵電力部門年度總產(chǎn)出的價(jià)格，求平衡價(jià)格使各部門的收支平衡。

表1-1 一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題

而此類問(wèn)題，實(shí)際可以通過(guò)建立以PC，PE，PS為自變量的線性方程組進(jìn)行求解，當(dāng)涉及經(jīng)濟(jì)部門較少時(shí)，我們?nèi)匀豢梢圆捎孟?，但一旦要考慮到國(guó)民經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的諸多部門時(shí)，則需利用線性代數(shù)中的克拉默法則通過(guò)計(jì)算機(jī)來(lái)進(jìn)行計(jì)算。

二、線性代數(shù)與密碼學(xué)

密碼學(xué)是一門古老又神秘的科學(xué)，從古羅馬時(shí)代開始，羅馬人就開始利用將字母后移四位的方式來(lái)給信息加密，比如：GIFT，通過(guò)加密可以變成：KMJX。然而這種方法由于無(wú)法改變字母出現(xiàn)的頻率，因此實(shí)際上很容易破譯，在1912年希爾提出了用矩陣給信息加密的方法，通過(guò)將字母在字母表中的位置所對(duì)應(yīng)的數(shù)字來(lái)表示字母，將文字信息轉(zhuǎn)化成矩陣，進(jìn)而用一個(gè)可逆矩陣來(lái)左乘信息矩陣，從而得到加密之后的信息，一旦需要解碼，則用逆矩陣左乘加密之后的矩陣則得到原始信息。例如：ALREADY GO 對(duì)應(yīng)數(shù)字為 利用矩陣加密后

如果不知道加密矩陣則無(wú)法識(shí)別信息，而要解密，則必須通過(guò)求出加密矩陣的逆矩陣來(lái)左乘加密后的信息矩陣。這種加密方式就是所謂的希爾密碼，也是線性代數(shù)在密碼學(xué)中的一項(xiàng)重要應(yīng)用。

三、線性代數(shù)與生態(tài)學(xué)

1900年美國(guó)政府計(jì)劃采伐太平洋西部的廣闊森林，而環(huán)境保護(hù)學(xué)家嘗試說(shuō)服政府放棄這一計(jì)劃，因?yàn)榇罅坎煞ド郑锌赡軐?dǎo)致居住在森林里的斑點(diǎn)貓頭鷹面臨滅絕的風(fēng)險(xiǎn)，而木材商們則認(rèn)為即使一部分森林被采伐，貓頭鷹種群仍然可以生存下來(lái)，雙方爭(zhēng)執(zhí)不下，而最后還是數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)家利用特征值理論建立了數(shù)學(xué)模型為這場(chǎng)爭(zhēng)論提供了科學(xué)參考。

綜上所述，線性代數(shù)本身作為一門實(shí)用性很強(qiáng)的理論工具，在諸多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，在傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)過(guò)程中加入具體的案例，會(huì)引起學(xué)生的興趣，也使教學(xué)更為生動(dòng)活潑，希望上述案例能夠?yàn)閺氖戮€性代數(shù)教學(xué)工作的教師提供一些參考。

參考文獻(xiàn)：

[1] Davide.C.Lay著.線性代數(shù)及其應(yīng)用.機(jī)械工業(yè)出版社.2005.

[2] 邱森編著.線性代數(shù)探究性課題精編.武漢大學(xué)出版社，2011.

[3] 劉衛(wèi)鋒，周長(zhǎng)芹.線性代數(shù)教學(xué)中的矩陣應(yīng)用實(shí)例.中國(guó)科技信息.2009.12.