數學思想方法在初中方程教學中的應用

摘 要：初中方程從研究的課題來說，涉及到方程的概念、方程的解法、列方程解應用題、方程的討論。這四個方面，方程的概念在課本中比較弱，沒有什么展開，講方程的同解的目的在于提供解方程的依據，而不在于研究解方程每步的同解性。關鍵詞：數學思想方法；初中方程；滲透

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）22-029-01

方程的討論，只對一元二次方程根的情況作些討論，對于二元、三元方程組的討論根本沒有提，所以從整體上來看，方程的討論不是重點的課題，剩下就是方程的解法和列方程解應用題，所以從研究的課題來說，初中方程教學應以解方程和列方程解應用題作為重點。

一、方程和方程組解題的數學思想

方程的同解理論是解方程的重要依據，有的書把它們稱為同解變換（也稱同解變形）或等價變換。

①同解變換與恒等變換。恩格斯在《自然辯證法》中曾說過：“這種從一個形態到另一個相反的形態之轉變，并不是一種無聊的游戲，它是數學科學的最有力的杠桿之一，如果沒有它，今天就無法進行一個較為復雜的計算。”[1]。

首先，變換的對象不同，恒等變換是將一個表達式（在初中階段主要是指代數式）變為與它恒等的另一個表達式。通常是脫括號、合并同類項或添括號、分解因式等，即形變值不變。而同解變換則是移項、各邊乘以或除以非零的數等，即整個方程的形變而解不變；

其次是進行變換的依據不同。恒等變換一般用乘法公式等恒等變換公式；而在進行同解變換時，則以方程的同解理論為依據；

第三是變換的目的不同。恒等變換的目的是將一個代數式變成與恒等的便于我們研究的其它形式；而同解變換的目的是為了便于方程求解。

②同解方程的性質。

定理一、方程兩邊同加或同減去一個數或整式，所得的新方程和原方程同解。

定理二、方程的兩邊同乘或同除以一個不為零的數，所得的新方程和原方程同解。

定理三、如方程一邊可以分解為若干因式的乘積，另一邊為零，則使各因式分別為零，得到的幾個方程與原方程同解。

二、數學思想方法在初中方程教學中的滲透

在教學時，需要說明這樣幾個問題：如果在方程的兩邊同乘一個數零，所得新方程一般和原方程不同解，這是因零乘任何數都等于零，把原方程的解集擴大為整個實數集。所以在定理二中添了“不為零的數”的條件。第二個要說明的是，如果方程兩邊同加或同減去一個分式或根式，有可能改變原方程的定義域，破壞了同解性。第三，如果方程兩邊同乘以一個代數式，所得新方程與原方程不一定同解[2]。

1、 理解題意（審題） 理解題意是列方程的第一步，如果題都讀不懂，列方程就無從談起.審題應注意：

（1）明確題中哪些是已知的，哪些是來知的，已知量與未知量之間有什么關系：這些關系是直接給出的呢（如和、差、倍、分）？還是由物理、化學定律給出的（如s=vt；溶質=溶液×濃度）？是由生產實際給出的呢（如鍛壓等積變換問題）？還是由常識給出的（如一去、一回所走距離一樣）？

（2）如果所求的未知量不只一個，那么它們之間有什么關系？

審題是很重要的一步，如果仔細審題有時連方程都不必列就可找出答案。例如“一桶油連桶共重8公斤，油用去一半后，連桶還重4.5公斤，原有油多少公斤？”仔細審題后發現，一桶油連桶重8公斤，半桶油連桶重4.5公斤，那么半桶油是8—4.5=3.5公斤，一桶油是多少公斤。

2、未知數的選擇（選元） 根據第一步的分析，從各個未知數里選一個未知數，這個未知數必須和已知數、其他來知數的關系比較多，而且用它來表示其他未知數和布列方程比較方便，把它作為“元”，一般用字母x來表示。為了區別于一般未知數，我們把確定為“元”的未知數稱為未知元。

選擇未知元是布列方程過程中非常重要的一環，如果等式中不含有未知元，則就不成其為方程了。可見，未知元不僅是探求的目的，：也是分析問題的核心.同時所選擇的未知元還關系到所列方程的簡與繁，因此，在布列方程時，應正確地選擇未知元。未知元的選擇通常有兩種方法，一種叫直接設元法，就是指實際問題中要求什么數，就選它為未知元，在多數情況下都是采用直接設元法。另一種叫間接設元法，它不是直接將問題中所求的數設為未知元，而是根據題意選定和幾個未知數都有密切關系的未知數作為未知元，使解題簡便[3]。

3、代數式的組成 在上一步中我們已經看出，一旦選定了未知元，那么其他的未知數應該用它表示出來，即將實際問題中的要求的數（或被選定的未知元）和別的未知數之間的關系用代數式表示出來，這也就是將實際問題中的數量關系譯成代數式。

4、方程的建立 方程的建立是列方程解應用題中的關鍵一步，根據等量關系，將表示“等量”的兩個含有未知元的代數式用等號連結起來，就是所列的方程。

5、解方程 根據一般的方程的解法，求出方程的所有解，并且進行檢驗，判別經過變形后所得方程的解是不是原來方程的解，以及是否失去解。

參考文獻

[1] 宮杰，金海峰. 談如何在課堂教學中提高教學效果[J]. 學生之友（初中版），2011（04）

[2] 史瑩. 淺談七年級數學興趣教學[J]. 科教新報（教育科研），2010（39）

[3] 楊未梅. 初中數學教學中培養學生反思能力的策略[J]. 時代教育（教育教學），2010（07）