利用三角形解圓四點突破

摘 要：圓是初中數(shù)學學習的基礎(chǔ)和重要內(nèi)容，它對學生學習平面幾何，開拓學生的邏輯思維，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力具有非常重要的意義.然而，有些圓類解答題通常需要很強的技巧性和靈活性，這就給解決此類問題帶來了更大的困難.本文從大量實例出發(fā)，在總結(jié)和歸納的基礎(chǔ)上，利用做輔助線的方法，針對圓類問題的解答，提出了四點建議.

關(guān)鍵詞：圓；三角形；輔助線

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）22-008-01

圓是中考考查的重要內(nèi)容，以往的中考主要體現(xiàn)對知識的考查，但是近幾年來發(fā)生了明顯的變化，考察的重點開始由知識層面向能力層面轉(zhuǎn)化.這無疑對學生解決問題的能力提出了更高的要求.圓類問題通常“變化多端”，不少學生由于缺少一雙“火眼金睛”而“退避三舍”，那么怎樣才能讓學生突破這一障礙，實現(xiàn)游刃有余的作答呢？筆者提出了以下建議.

1、直角三角形，基本常通行

直角三角形是初中幾何中最常見的圖形，實踐表明，勾股定理、三角比等性質(zhì)在解決圓類問題時通常是行之有效的.因此，在圓類問題中通過添加輔助線，成功的構(gòu)造直角三角形，并利用直角三角形的性質(zhì)去解決問題的確是解決圓類問題的良策.構(gòu)造直角三角形可以從以下三個方面入手.

（1）見切線作半徑

例1 AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點E，CF⊥AF且CF=CE（如圖1）.

①求證：CF是⊙O的切線.

解 （1）連接OC，由CF=CE得AC是∠BAF的角平分線.于是∠FAC=∠CAB.又∠CAB=∠ACO.故∠FAC=∠ACO.于是OC∥AF

因為CF⊥AF，所以OC⊥CF.

即CF是⊙O的切線.

（2）見弦作弦心距

例2 （如圖2）⊙O的半徑為2，弦 ，點C在弦AB上， 求OC的長.

解 過點O作OD⊥AB，

，OD⊥AB，

.

又⊙O的半徑為2，故在RtΔBOD中有.

于是在RtΔBOD中有 ，

.

（3）見直徑作圓周角

例3 AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點E，K為 上一動點，AK，DC的延長線相較于點F，連接CK，KD.

①求證：∠AKD=∠CKF；

②若AB=10，CD=6求tan∠CKF的值.

.

評析：以上幾例，看起來無從下手，但是利用添加輔助線的方法構(gòu)造直角三角形便可以進行簡便作答.可見，構(gòu)造直角三角形的確是突破解題障礙的有效策略.

2、相似三角形，適時會使用

結(jié)合學生學習實際可知，相似三角形常用于解決長度問題.因此，在解決圓類問題時，學生要根據(jù)圓類問題的“變化多端”而“靈活多變”，適時、巧妙的利用相似三角形解答.

3、等腰三角形，頻頻現(xiàn)蹤影

等腰三角形也是圓類問題中常見的平面圖形.等腰三角形兩底角相等，而且“三線合一”，這些特殊性質(zhì)的恰當使用常會讓原本束手無策的問題變得思路清晰起來.因此，對于圓類問題，利用半徑構(gòu)造等腰三角形，常會讓問題“柳暗花明”.

4.知識善經(jīng)營，解題有明鏡

解決圓類問題的第四個突破點就是善于經(jīng)營知識.知識的管理就像企業(yè)的經(jīng)營，不僅要做到條理分明，而且還要適時組合.中學階段，有關(guān)圓的基礎(chǔ)知識學生容易混淆，這就要求他們平時要善于梳理知識，將相關(guān)知識進行分類，努力實現(xiàn)知識在大腦中有條理的存儲.此外，在平時的學習過程中，一方面學生要注意解題經(jīng)驗的積累，另一方面也要主動建構(gòu)自己的解題策略.基于以上經(jīng)驗，學生定能夠突破解題障礙，從而自信從容作答。.