數學解題錯誤分類例析
2013-12-31 00:00:00劉淵樞
課程教育研究·中 2013年12期
【摘要】數學解題錯誤是學生在數學學習過程中的普遍性行為。本文旨在通過對錯誤進行合理分類，從心理上、知識上、邏輯上和策略上等進行系列分析，精確歸因，從而有的放矢，既為教師提供可靠的教學反饋，以便適時調整教學方案；又可提升學生自我糾錯能力，并獲得有益的心理發展。
【關鍵詞】解題錯誤 認知結構 知識性錯誤
【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）12-0160-02
數學中的知識性錯誤是指，數學概念理解不清，定理、公式的適用條件模糊，圖形圖象的性質模棱兩可，分類討論不全，題目書寫過程冗長（相關知識運用不當），問題歸類失誤，題意理解不正確，等等。表現方式各不相同，以幾個案例分別說明如下：
一、概念、性質混淆不清
綜上四點分析來看，學生出錯都和概念（算術平方根、絕對值、三角函數值）、圖象（正弦曲線、余弦曲線、單調性）、公式（輔助角公式）等有關，是學生頭腦中的“已知”出現漏洞，完全是知識上的，不可以用“粗心大意”來說明。
初看著實讓人費解，f（x）>0與y=f（x）單調性沒有任何關聯，難道由函數值的符號就可以判斷函數的單調性嗎？仔細分析，不難發現其中的問題所在。單調性定義如是說：一般地，設函數y=f（x）的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1 此外，通過本例可以引導出“分子有理化”的技巧，即 二、忽視公式、定理成立的條件 學生對公式、定理只是形式化地記憶，而達不到對本質的深刻理解，因此在解題過程中對適用條件考慮不完備，生硬套用，從而出錯。 例4. （1）已知直線l過點（-4，-1），且橫截距是縱截距的兩倍，求直線l的方程。 （2）過點P（1，1）作直線l，設l與兩坐標軸圍成的三角形的面積為10，這樣的直線有____條。 對公式、定理等的學習是數學解題的重中之重，只有對公式、定理本質的充分把握，才會實現“直接套用→設法湊用→構造巧用→變換活用”的解題功夫。 三、不能正確理解題意 例5. 在平面直角坐標系中，定義d（P，Q）=|x1-x2|+|y1-y2|為兩點P（x1，y1），Q（x2，y2）之間的“折線距離”。在這個定義下，給出下列命題： 2.圓（x-4）2+（y-3）2=4上一點與直線x+y=0上一點的“折線距離”的最小值是7； 3.到原點的折線距離等于1的點的集合是一個正方形； 4.到原點的折線距離等于1的點的集合是一個圓。 其中正確的命題是： A. ②③④ B.①③ C.②③ D.①③④ 這是考查學生知識理解和方法遷移的信息題，但歸根結底是考查學生對題意的理解能力，學生不能理解題目中“折線距離”d（P，Q）=|x1-x2|+|y1-y2|的幾何意義，從而不知如何下手，或受已知的直線距離的影響而出錯。如圖，P（x1，y1），Q（x2，y2）之間的“折線距離”為|PM|+|QM|（也可以看成是Rt△PQM兩直角邊的和），定義弄清楚了，問題就變得非常簡單，詳細過程不在此贅述，正確答案是B。 數學解題的知識因素是基礎功夫，至少要達到兩個要求：（1）熟練掌握數學基礎知識的體系，能如數家珍地說出教材的概念系統、定理系統和符號系統；（2）深刻理解數學概念，準確掌握數學公式、定理和法則。知識性錯誤和傳統數學教學中的“重解題技巧，輕概念生成”有關，事實上，知識是數學解題訓練的原材料，是思維訓練的載體，豐富的知識并加以優化的結構能為題意的本質理解與思路的迅速尋找創造最佳條件，解題研究的一代宗師玻利亞說：“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本。”新課程理念要求我們的教與學重過程和情感，學習最好的途徑是自己去發現”，所以在知識教學過程中要尊重學生的主體性，辨證地處理好預設和生成的關系，讓學生親歷每個概念的形成過程，引導學生自主探索、發現、抽象概括、歸納，進而理清新知識與鄰近概念的關系，充分挖掘新知的內涵與外延，這才是預防數學解題知識性錯誤的正途。 參考文獻： [1]戴再平.《數學習題理論》.上海：上海教育出版社，1996第二版 [2]張奠宙，過伯祥.《數學方法論稿》.上海：上海教育出版社，1996 [3]羅增儒.《數學解題學引論》.陜西：陜西師范大學出版社 1992 [4]波利亞（美）. 《怎樣解題》.上海：上海科技教育出版社 2011
