“電工學（少學時）”課程擴展性教學探索與實踐

摘要：針對非電類專業學生理工基礎知識相對薄弱及教學內容淺、雜、不連貫的特點，采用適當擴展相關基礎及原理的教學方法。通過對幾個知識點擴展性教學的探討，包括疊加定理、正弦交流電的相量表示、交流電路的無功功率、邏輯代數以及觸發器，使學生在充分了解支撐知識點的數學原理基礎上易于理解和掌握各知識點，提高了教學效果。

關鍵詞：教學；電工學；數學原理

作者簡介：劉劍（1982-），男，江西贛州人，南京航空航天大學自動化學院測試工程系，講師。（江蘇 南京 210016）

中圖分類號：G642.1 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0079（2013）27-0108-03

“電工學（少學時）”主要針對非電類專業學生開設，[1]如經管類的工業工程專業等。由于該課程是電學知識普及性課程，雖然內容十分廣泛，但學時較短，知識點的編排呈現淺而雜的特點。盡管對知識點的掌握要求不太深入，但非電類專業中不少學生在中學階段選修文科，理工基礎及邏輯思維能力相對薄弱，對一些知識點的理解和掌握存在一定困難，且學習的連貫性不強。

為了使非電類學生在學習電學知識時更好地理解和掌握知識點，筆者在教學過程中對一些知識點進行適當擴展。具體地，通過適當擴展基礎知識和基本原理，使學生能夠由淺入深地學習，協助他們對知識點理解和掌握，提高學習效率。結合筆者的教學實踐，本文對疊加定理、正弦交流電的相量表示、交流電路的無功功率、邏輯代數以及觸發器的擴展性教學進行介紹。

一、疊加定理

疊加定理是用來分析和計算線性電路的最基本方法之一。所謂疊加定理，即在含有多個有源元件的線性電路中，任一支路的電流和電壓等于電路中各個有源元件分別單獨作用時在該支路中產生的電流和電壓的代數和。[1]在教學過程中，應強調疊加定理僅適用于線性電路。實際上，利用疊加定理分析和計算線性電路，在列寫電路方程后，等同于線性方程組的求解問題。因此，為了讓學生更容易理解疊加定理及其適用范圍，可以結合線性方程組的特點，擴展講解疊加定理的數學原理。[2]

圖1所示的電路分別是含有兩個獨立電源的完整電路、一個電壓源單獨作用和一個電流源單獨作用的電路。其中，US、IS、R1和R2已知。

首先，根據圖1（a），利用支路電流法求解電流I1和I2。分別對上節點和左網孔列KCL和KVL，得方程組：

（1）

同理，根據圖1（b）和（c），利用支路電流法，有：

（2）

（3）

將式（2）和式（3）相加得：

（4）

比較式（1）和式（4）可知，兩式有相同的系數和非齊次項。根據線性方程組的性質，在有唯一解的條件下，兩式的解相同，即：

（5）

由此便得出疊加定理的內容。若電路是非線性的，如電阻R1和R2是非線性電阻，則在式（2）和式（3）中它們的阻值發生變化。也就是說，在式（2）和式（3）相加時，系數不能夠提出，將得不到式（4）。因此，疊加定理不適用于非線性電路。當然，在特定情形，也可以使用疊加定理分析計算非線性電路，如分析基本放大電路。[3]筆者在講解基本放大電路動態分析的教學過程中，也像文獻[3]一樣，利用疊加定理解釋了放大電路的直流供電電壓源為何在交流通路中相當于短路。

類似地，對于電壓U1和U2，有：

（6）

二、正弦交流電的相量表示

正弦交流電的三要素為最大值、角頻率和初相位，其瞬時表達式為正弦三角函數形式。復平面上初始位置固定的旋轉矢量在虛軸上的投影即為正弦量，該旋轉矢量的模、旋轉角頻率和初始位置對應于正弦量的最大值、角頻率和初相位。因此，正弦交流電可以用復平面上的旋轉矢量去表示。考慮到具有相同旋轉角頻率的旋轉矢量的相對位置是固定的，且可以通過初始位置確定；另一方面，對于線性電路，電路任何位置的電流和電壓其頻率與激勵源的頻率相同。這樣，可以忽略角頻率要素，用復平面上初始位置固定的矢量去表示正弦交流電，即相量。相量本質上是復數，在交流電路的計算和分析中，利用相量表示，可以將正弦三角函數運算轉化為復數運算。靈活采用復數的代數式、三角式、指數式和極坐標式，將使得交流電路的計算和分析更加簡便。

根據學生的反饋，普遍認為利用相量計算和分析交流電路不容易理解和掌握。為此，筆者在課堂上擴展了用相量表示正弦交流電的數學原理，即相量與正弦量之間的變換原理。[4]通過知識的擴展，使學生對相量與正弦交流電之間的聯系有清晰的認識，便于他們對知識的理解和掌握；也讓學生知道，工科專業中的知識內容，都有相應的數學原理作支撐，使學生感受到數學在工科專業知識學習中的重要性。

從數學角度看，相量其實就是正弦量的一種變換，稱之為P變換。對于一個最大值為Am、角頻率為ω、初始相位為φ0的正弦量，其有效值為A，則得到其有效值相量的P變換記為：

（7）

其中，，為該正弦量的周期。

因為

（8）

將式（8）代入定義式（7），得：

（9）

顯然，相量是一個復常量，其模等于正弦量的有效值，輻角等于的初相位。不難得到，零的P變換等于零。

與定義（7）對應的相量反變換為

（10）

即等于旋轉矢量在復平面虛軸上的投影，旋轉的初始位置為相量所在的位置。

三、交流電路的無功功率

在交流電路中，當有儲能元件電容或電感存在時，它們不消耗功率，但會與電源之間發生功率交換，這種功率交換的程度用無功功率來衡量。無功功率定義為儲能元件瞬時功率的最大值。對于純電容或純電感電路（如圖2所示），其無功瞬時功率均為：

（11）

而對于純電阻電路（如圖2所示），其有功瞬時功率為：

（12）

對于任意復阻抗電路（如圖3所示），其瞬時功率為：

（13）

其中，第一項2UIcosφsin2ωt為Z中阻性元件消耗的瞬時有功分量，第二項UIsinφsin2ωt為Z中容性和感性元件與電源交換的瞬時無功分量。這說明，瞬時功率由兩部分組成，即純阻性元件消耗的瞬時有功功率和儲能元件與電源交換的瞬時無功功率。上式中，φ為電壓u與電流i的相位差，且Icosφ和Isinφ分別為電流i有效值的有功分量和無功分量。[1]

根據有功功率和無功功率的定義，不難得出圖3所示電路的有功功率P和無功功率Q分別為：

（14）

（15）

四、邏輯代數

邏輯代數是分析和設計邏輯電路的工具，其運算法則與普通代數不同。在具備基本門電路知識的基礎上，學生能夠容易掌握邏輯代數的部分相對簡單的運算法則，如自等律、0-1律、交換律、結合律、重疊律、互補律及復原律。但對于相對復雜的運算法則，如分配率、吸收律和反演律，學生理解起來相對吃力，也不容易記憶。其實，教材在介紹這些運算法則時，均是以對偶形式給出的，而教材并沒有介紹對偶定理。因此，為讓學生更好地理解和掌握邏輯代數的運算法則，有必要對教學內容進行擴展，詳細介紹對偶定理。

若原邏輯恒等式成立，則其對偶式也成立，這就是對偶定理。所謂對偶式是這樣定義的：對于任一邏輯式，將其中的邏輯乘（·）換成邏輯加（+），邏輯加（+）換成邏輯乘（·），得到一個新的邏輯式，即為原邏輯式的對偶式。

有了對偶定理，再學習一些相對復雜的運算法則就不難，如：

已有分配律

（16）

對上式兩邊同時取對偶式，便得到另一個分配律

（17）

同理，對于吸收律和反演律有

（18）

（19）

（20）

（21）

五、觸發器

觸發器是邏輯電路的重要部件之一，有基本觸發器和鐘控觸發器。基本觸發器指基本RS觸發器，對于鐘控觸發器，教材中介紹了RS觸發器、JK觸發器、D觸發器以及T觸發器。對于非電類專業，在學習觸發器時，重點放在觸發器的邏輯功能以及觸發方式上，而不必關心觸發器內部的電路結構。當然，為了讓學生更好地理解觸發器的邏輯功能和觸發方式，不能剝離對電路結構的了解。此外，觸發器的邏輯功能完全可以通過邏輯表達式進行描述，然而教材中并未給出，也并沒有要求學生掌握這些內容。描述觸發器邏輯功能的邏輯表達式即為觸發器的特性方程或狀態方程，從學習效果看，適當擴展講解特性方程，有助于學生理解、記憶觸發器的邏輯功能。

對于基本觸發器，無論是低電平有效還是高電平有效，它們的特性方程均為：[5]

（22）

避免不定狀態出現的約束條件為SR=0。

鐘控觸發器的輸入信號均為高電平有效。其中，RS觸發器其特性方程與式（22）相同，約束條件仍為SR=0，只是輸出狀態觸發方式為時鐘脈沖CP高電平或低電平觸發。因此，RS觸發器的特性方程可統一為：

（CP=1或CP=0有效） （23）

根據特性方程（22）和（23），學生不難得出基本觸發器和RS觸發器的邏輯功能是相同的，即：RS=S=0，輸出保持原態；R=0，S=1，輸出置1；R=1，S=0，輸出置0。約束條件用來避免觸發器輸入出現R=S=1的情形，從而避免出現多次翻轉，破壞觸發器的邏輯功能。

JK觸發器的觸發方式為主從觸發，包括后沿主從觸發和前沿主從觸發，且以后沿主從觸發應用最多。后沿主從觸發的JK觸發器其特性方程為：[5]

（CP有效） （24）

從特性方程（24）可以得出：J=K=0，輸出保持原態；J=0，K=1，輸出置0；J=1，K=0，輸出置1；J=K=1，輸出狀態翻轉。

對于主從觸發方式，在CP有效期間，不允許輸入信號發生變化。原因在于，這可能導致一次翻轉，將破壞觸發器的邏輯功能。關于這一點，教材中只是一筆帶過，并未做出詳細的分析說明。為了解除學生的疑慮，有必要對此進行擴展講解。圖4所示為后沿主從觸發JK觸發器輸入信號及輸出狀態波形。其中，Q'為主觸發器狀態波形，Q為從觸發器狀態波形，也是整個JK觸發器的狀態波形。由于從觸發器的狀態由主觸發器決定，而主從觸發方式決定當時鐘脈沖CP=1時接收輸入信號，當CP從1跳變到0時觸發輸出。因此，從圖中可以看到，在第4個時鐘有效期間，輸入信號發生了變化，使得在CP下降沿來臨之前，Q'=0，最終決定觸發器狀態在CP下降沿來臨之后變為0，與JK觸發器的邏輯狀態表不相符。因此，在CP有效期間，不允許輸入信號發生變化。

D觸發器邏輯功能相對簡單，其觸發方式為邊沿觸發。以上升沿觸發為例，其特性方程為：[5]

（CP有效） （25）

教材中講解T觸發器時，首先給出觸發器的邏輯功能，即：T=0時，狀態保持原態；T=1時，狀態翻轉。T觸發器可以通過其他觸發器改接而成，觸發方式由改接觸發器的觸發方式決定。T觸發器的特性方程表述為：[5]

（26）

教材中給出了分別由JK觸發器和D觸發器改接成T觸發器的改接方式。實際上，比較式（24）和式（26）不難得出：只要將JK觸發器的J和K輸入端同時接T即得到主從觸發的T觸發器。對于將D觸發器改接成T觸發器，也可以從特性方程找到改接方法。由式（26）可知，Qn+1是T和Qn的異或，即：

（27）

比較式（25）和式（27）可知，將T和D觸發器的輸出Qn先作異或運算再接入輸入端D即得到由D觸發器改接的T觸發器。

不同邏輯功能的觸發器，通過外部接線可以相互轉換。轉換后，邏輯功能改變，但觸發方式不變。T觸發器可以由JK觸發器或D觸發器改接轉換而得，實際上，D觸發器同樣可以通過JK觸發器改接轉換而得。運用邏輯代數的運算規律，可將式（25）改寫為：

（28）

令式（24）與式（28）相等，得到J=D，。因此，只要將D接JK觸發器的J輸入端，將D通過一個非門后再接JK觸發器的K輸入端即得到由JK觸發器改接轉換而來的D觸發器。當然，這時得到的D觸發器其觸發方式由JK觸發器決定。

六、結論

對于非電類專業學生，對一些電路知識理解存在一定困難。幸運的是，電路知識理論受常用基礎數學的支撐，通過對電路知識本身以及相應數學原理的擴展性講解，能夠有效協助學生對知識點的記憶、理解和掌握。本文僅列舉了部分知識點的擴展性講解，還有眾多知識點可通過類似方法講解。

參考文獻：

[1]唐介.電工學（少學時）[M].第三版.北京：高等教育出版社，2009.

[2]陳希有，劉鳳春，董維杰，等.在電路教學中培養學生的數學應用能力[J].電氣電子教學學報，2010，32（5）：51-55.

[3]邵力耕，付艷萍，孫燕楠，等.應用疊加定理分析基本放大電路[J].電氣電子教學學報，2012，（34）：42-44.

[4]陳希有，盛賢君，劉鳳春.相量與正弦量的數學變換原理[J].電氣電子教學學報，2007，29（2）：36-39.

[5]董爾令.電子技術[M].北京：科學出版社，2006.