淺談含參量一元二次不等式的解法

在江蘇高考數(shù)學(xué)學(xué)科考試說明中，共有八個(gè)C級知識(shí)點(diǎn)，一元二次不等式是其中一個(gè)。含有參數(shù)的一元二次不等式是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)，同時(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，一般涉及分類討論的思想與方法不易掌握。含有參數(shù)的一元二次不等式可以根據(jù)參數(shù)出現(xiàn)的位置進(jìn)行討論，把問題轉(zhuǎn)化為一般的一元二次不等式，化繁為簡，從而加以解決。本文僅考慮一元二次不等式的一般形式，分析如下：

一、參數(shù)出現(xiàn)在一次項(xiàng)x的系數(shù)b或常數(shù)c位置

參數(shù)出現(xiàn)在b或c的位置，首先應(yīng)將最高次前的系數(shù)化為正，接著求出不等式所對應(yīng)一元二次方程的兩根，兩根必定含有參數(shù)，根據(jù)參數(shù)的范圍求出兩根的大小關(guān)系，求出不等式的解集。

例1：設(shè)a<0，解關(guān)于x的不等式42x2+ax-a2<0

解：先十字相乘（6x+a）（7x-a）<0

求出兩根x1=-■，x2=■

根據(jù)a<0判斷兩根大x1>x2，ax2+bx+c=0（a≠0）

由不等式的解法得解集為：

x∈（■，-■）

點(diǎn)評：本題無需分類討論，因?yàn)轭}目已經(jīng)告知a<0，從而很容易判斷兩根-■>■.

例2：解不等式（x-1）（x-a）<0.

分析：不等式對應(yīng)的兩根分別為1，a。因?yàn)椴恢繿的取值范圍所以應(yīng)對a分三種情況考慮a>1，a<1，a=1.

解：當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為{x|1

當(dāng)a=1時(shí)，不等式的解集為x∈？準(zhǔn)；

當(dāng)a<1時(shí)，不等式的解集為{x|a

變式：解關(guān)于x的不等式（x-a）（a2-x）<0.

分析：此不等式二次項(xiàng)為負(fù)，首先應(yīng)將系數(shù)化為正，其次解出不等式對應(yīng)的方程的兩根分別是a，a2。接著比較兩根大小分五種情況：a>1，a=1，1>a>0，a=0，a<0.a>1，a<0此兩種情況可以合并，a=1，a=0可以合并，最后只有三種情況，總結(jié)結(jié)論。

例3：原不等式可化為（x-a）（x-a2）<0.

a>1時(shí)，a2>a，不等式的解集為{x|x>a2或x

0a或x

a<0時(shí)，a2>a，不等式的解集為{x|xa2}；

a=0時(shí)，a2=a，不等式的解集為{x|x≠a}；

a=1時(shí)，a2=a，不等式的解集為{x|x≠a}.

綜上：當(dāng)a>1或a<0時(shí)，不等式的解集為{x|x>a2或x

當(dāng)0a或x

當(dāng)a=0或a=1時(shí)，不等式的解集為{x|x≠a}.

二、參數(shù)出現(xiàn)在a的位置

對參數(shù)a分情況討論，分a>0，a<0，a=0三種情況。若a=0單獨(dú)考慮，可能是一元一次不等式，可能是恒成立的式子，也有可能不成立的不等式；若a<0將不等式兩邊同乘以-1，將二次項(xiàng)系數(shù)化為正，接著解出不等式對應(yīng)的方程的兩根，比較兩根大小歸為第一種類型。

例4：解關(guān)于x的不等式ax2-（a+1）x+1<0（a∈R）.

解：（ax-1）（x-1）<0.

a>1時(shí)，不等式的解集為x|■

a=1時(shí)，不等式的解集為？準(zhǔn)；

0

a=0時(shí)，不等式的解集為x|x>1；

a<0時(shí)，不等式的解集為x|x<■或x>1

含參量不等式的解法，要求分類討論，討論的標(biāo)準(zhǔn)一是根據(jù)兩根的大小，二是根據(jù)開口方向。