培養(yǎng)計算技能需重視“過程”

很多教師在計算教學時存在只重視算理，忽視算法抽象過程，只重視計算結果，忽視對錯誤原因的探究，只重視解決問題的訓練，忽視計算價值的體驗等等誤區(qū)，這是只重視結果，卻忽視過程的教學。其實計算教學和其他的教學塊一樣，有很多我們需要精加工部分，在計算的學習和練習過程中有很多環(huán)節(jié)需要我們加以重視和控制。

一、從算理到算法，建構意義

有些教師認為學習計算，教師講明算理后只要學生通過反復練習，學會怎么算，掌握計算的程序就是達到了計算教學的目標，忽視算理直觀到算法抽象的過程，這樣的理解是片面和狹隘的，不利于學生計算技能的形成和數(shù)學知識網(wǎng)絡的自主建構。

以著名特級教師徐斌所上的蘇教版教材第四冊《兩位數(shù)乘一位數(shù)》為例（圖1）：

圖1

當學生說出要求兩只猴子一共采了多少個桃子的算式后，教師直接提問：“這道題應當怎樣算呢？同桌之間可以商量一下?！睂W生討論完以后讓學生說說是怎樣想出結果的。

生：我是用乘法來算的，10乘2等于20，4乘2等于8，20加8等于28。

師：（指著屏幕）剛才有位同學說4乘2等于8，其實就是指哪一部分??？

生：是圖上右邊框里的8個桃。

師：那計算左邊兩個框里的桃子就是算什么呢？

生：10乘2等于20。

師：剛才我們先算了個位上的，再算了十位上的，接下來該怎么辦呢？

生：相加。

接下來教師根據(jù)剛才的計算思路逐步板書如下豎式。

然后讓學生用豎式計算13×2，11×7，32×3，并列出如下算式：

師：大家來看黑板上的豎式，這些算式有什么共同的地方？

生：第一次乘下來都得一位數(shù)，第二次乘下來都得兩位數(shù)。

生：我發(fā)現(xiàn)第二次乘下來都得整十數(shù)。

生：我發(fā)現(xiàn)得數(shù)個位上的數(shù)就是第一次乘得的數(shù)，十位上的數(shù)就是第二次乘得的數(shù)。

師：大家觀察都很仔細，那么你覺得像這樣寫怎么樣？

生：比較清楚。

生：清楚是清楚，不過有點繁，有些好像是不要寫兩次的。

師：是啊，要是能簡單些就好了。

生：其實這些豎式里都是個位加0，十位上的數(shù)就不加，還是他自己，這個0就不用寫了。

師：噢，你的想法挺好，大家聽明白了嗎，一起來看。師邊說計算過程邊如下板書。是不是簡單了？大家以后列豎式時就可以選擇簡單的寫法。剛才寫的三道算式你們能不能改成簡單的寫法。

這個片段中，從算理到算法有兩個核心過程值得我們學習。

核心過程一：教師通過“剛才有位同學說4乘2等于8，其實就是指哪一部分啊”和“左邊兩個框里的桃子就是算什么呢”這兩個設問巧妙地將豎式和主題圖聯(lián)系起來，數(shù)形對應，使學生很直觀地理解算理，初步建立豎式計算的模型。

核心過程二：教師結合主題圖列出豎式后，沒有急于推出這個豎式的簡化寫法，而是讓學生用這個看似笨拙的豎式方法計算三個題，再對三個題進行比較，同時適時引導“這些算式有什么共同的地方”，“你覺得這樣寫怎么樣”等幾個問題把學生的思維引向“化繁為簡”。這正是老師的高明之處，當原始豎式計算時，學生還在形象的主題圖中流連，此時需要幫助學生在生動的主題圖和抽象的簡化算式之間架一座橋梁，這座橋梁就是被徐老師精描細繪的沒有簡化的豎式，這樣的處理符合學生從動作思維到形象思維再到抽象思維的心理學規(guī)律。

計算算法的抽象性決定了教師在進行計算教學時必須把知識組織成有意義的命題，抓住新舊知識之間的生長點，讓學生經(jīng)歷計算知識的產(chǎn)生，發(fā)生，發(fā)展過程，才有利于學生實現(xiàn)知識結構重組，從而幫助學生從意義上理解知識。

數(shù)學技能學習初始階段屬于概念學習，是學生對技能是什么的學習，是認知思維過程，所以對于計算技能的習得首先是對數(shù)學知識的理解，需要讓學生完整經(jīng)歷從算理理解到算法抽象的過程，這個過程不應該是飛越過程，而應該是一個自然銜接的過程。徐斌老師正是通過細膩的教學設計，在算理的直觀和算法的抽象之間讓學生充分體驗，感悟，使學生知其然更知其所以然，促進學生對知識的意義建構。

二、細化練習過程，形成技能

“數(shù)學技能是指通過練習而形成的，順利完成數(shù)學活動的一種動作方式，往往表現(xiàn)為完成數(shù)學任務所需要的動作協(xié)調(diào)和自動化[1]”。重視基本技能一直是我國數(shù)學教學的特色，形成基本技能也是新課標中學生數(shù)學學習的主要目標之一。學生計算技能的習得不是機械重復的訓練，而應當是遵循基本的心理學規(guī)律和學生的身心發(fā)展特點的，有邏輯的，有層次的，有具體目標的，高效的訓練。

1.課前重點鋪墊。以蘇教版教材第五冊《三位數(shù)乘一位數(shù)豎式計算》為例，教學實踐中我們發(fā)現(xiàn)學生計算時的常見錯誤是先乘后加時出錯。如下面算式所示：

“乘加”環(huán)節(jié)出錯妨礙了學生的技能形成的準確性。顯然在明確算法基礎上進行適量合理的練習是必要的，但是如果此處進行重復的豎式練習既不能有重點地解決問題，也增加了學生的負擔。所以在教學這個單元的知識之前，我們先行對學生進行了乘加的口算練習。乘加口算練習在教材中沒有單獨列為計算要求，但不等于就不需要練習。列舉了計算中會出現(xiàn)的有進位的乘加口算，進行專項的練習后，學生在計算三位數(shù)乘一位數(shù)的豎式計算的正確率和速度明顯提高。

小學階段的計算知識中還有如兩位數(shù)除以一位數(shù)的豎式計算，如果先行進行表內(nèi)有余數(shù)的除法口算練習，對提高學生試商的正確率有很大幫助，再如學習三位數(shù)除以兩位數(shù)時，如果先掌握了百以內(nèi)的兩位數(shù)乘一位數(shù)乘法，可以明顯提高學生的正確率和速度。

2.課中難點聚焦。以蘇教版教材二年級退位減豎式計算為例。眾所周知，隔位退位減是教學減法的難點，為什么學生在計算的時候這么難呢？是因為抽象化的算法和形象化的撥珠動作之間學生難以跨越。是不是每個步驟都這么難呢？仔細分析學生的做題過程不難發(fā)現(xiàn)，其實難點就在三位數(shù)減一位數(shù)的隔位退位減。教學中針對這個難點展開專項練習，必將取得事半功倍的效果。一位教師是這樣上的：

師：在計數(shù)器上你會撥出402嗎？

生：會?。ㄔ谟嫈?shù)器上撥出402。）

師：會撥出402-3的計算過程嗎？我們一起來試一試。（師生共同撥珠，同時多媒體展示過程。這個過程中，學生在老師的步步引領下自然地說出個位不夠，向十位借一，可是十位也沒有就向百位借一，就在十位上撥10，再從十位上撥去一，在個位上撥10個珠，最后從個位上去掉3。）

師：真不錯。再來一個。在計數(shù)器上一邊撥一邊說一說201—4的計算過程。

學生獨立進行計算。

師：我這里還有一個，不知你還能不能做。

生饒有興趣地回答：能！

楊老師出示：1000—3，并請生上來板演。

生：板演并口述過程。

板演的學生一邊說一邊撥的過程，很自然地引起學生的共鳴，很多學生跟著一起說：個位上0減3不夠減，從十位退，十位沒有，從百位退，百位還是沒有，從千位退；千位退給百位，百位退給十位，十位退給個位……學生能很快地把這個過程撥出來，說出來。

這個片段中教師在難點處聚焦，通過專項的撥珠練習，數(shù)形結合，幫助學生在難點處形成清晰的表象，借助表象把外部的動作轉化為內(nèi)部的思考過程，促進計算技能的形成。

《標準》對計算技能提出了具體的可量化目標。筆者這里所談的訓練方法并不是要拔高對學生計算的要求，是把一個知識塊分解成若干個環(huán)節(jié)或步驟，放大關鍵性的細節(jié)，有目標地通過對某項計算知識的各個節(jié)點的專項訓練，幫助學生拾階而上，提高計算的準確性和速度，逐步達到計算技能的自動化，也使學生學得有條理，學得輕松。教師在教學過程中只有抓住了教學的重點和難點，把握住了學生技能形成的規(guī)律，才能避免教學資源的浪費，達到培養(yǎng)技能的目標。

三、重視改錯辨析過程，積累經(jīng)驗

學生在計算時會犯一些常見的錯誤，教材針對這些問題安排了多個改錯題，這些題對于學生掌握計算規(guī)則，積累計算經(jīng)驗有著重要作用，教學這些錯題時“改”不是目的，目的在于教師要通過分析算理，明晰算法幫助學生找到錯誤的根本原因，從意義上理解計算知識，積累計算經(jīng)驗，從而提高技能。一位教師對于錯題的教學過程值得推薦。以兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算為例：

師：13×4到底等于42，還是等于52呢？看來有不同意見了，下面我們來討論一下：（1）算出13×4的準確得數(shù)；（2）猜一猜算錯的人是怎么想的；（3）怎樣避免再次發(fā)生這樣的錯誤。

學生通過豎式計算，發(fā)現(xiàn)得數(shù)是52。

師：你知道算錯的同時是怎么想的嗎？

生：我想他們是計算3乘4的時候沒有進位，用1乘4等于4，沒有加進上來的1，所以得數(shù)就等于42了。

師：那我們以后怎么避免自己忘記進位呢？

生：我們可以在十位上寫一個小小的1，做為記號以后就不會算錯了。

生：老師，我想他們在計算的時候是算成了14乘3了，14乘3就是42，可是13乘4卻是52。

師：嗯，有道理。像這樣會錯的題還有嗎？

經(jīng)過思考學生說出了14×5和15×4，16×5和15×6，24×5和25×4，14×6和16×4等等題，教師也都一一板書······

在這個片段中，教師面對學生的錯誤，不是一改了之，而有明確的指導目標，通過“猜猜做錯的同學是怎么想的”幫助學生暴露錯誤，找到錯誤的根源，通過“怎么避免這樣的錯誤”引導學生在更高層次上思考以后避免這種錯誤的根本辦法，一個簡單的錯題改正從個別問題上升為共性問題，使學生積累了學習經(jīng)驗，提升了學生思維。在這個改錯的過程中教師沒有越俎代庖，只是在適當時候適時點撥，把舞臺留給了學生，放開了學生的思維，才有了多元的思考，不同的見地。

教師在教學活動中應當引導學生充分開展自主的、獨立的活動，建立順利完成某種數(shù)學活動所必須的活動方式或心智活動方式的親身體驗，并且盡量讓學生自己進行概括，以豐富學生的學習體驗過程，促進學生自主地完善自己的知識系統(tǒng)，提升技能。

四、體驗估算過程，活學活用

《標準》在第一學段和第二學段的總要求分別提出了“加強估算”，數(shù)學學科中的運算已經(jīng)由過去只注重筆算拓展到筆算、口算、估算并重。事實上實際生活中估算比精確計算有更廣的應用范圍。教材中教學計算的例題和習題里都有明確的估算要求。

估算的教學和其余計算的教學不同之處在于，估算沒有獨立的章節(jié)和課時，而是嵌入其他教學環(huán)節(jié)中，這不是把估算的地位擺在精確計算之后，而是體現(xiàn)了估算對于矯正計算結果，探索計算方法，解決實際問題的重要作用。隨著新課程改革的深入，估算教學在課堂里已經(jīng)越來越被老師們所重視，但是也應當看到學生們學習了估算，在實際解決問題過程中卻很少使用估算。分析其原因，一是教材中的估算習題大多是指令性的，對估算的評價方式單一，是為估算而估算，沒有激發(fā)起學生的估算的內(nèi)在需求；二是進行的估算練習較少，除了教材上出現(xiàn)，在試卷上和習題中一般難覓蹤跡；三是學生自學習計算以來已經(jīng)習慣了精確計算，估算知識還沒有被學生納入自己的計算系統(tǒng)中。針對這樣的情況，教師在教學估算知識時就不能孤立地教，應以具體問題為載體，注意和實際問題相結合；針對不同問題進行不同估算方法的指導；創(chuàng)新估算習題的設計；既重視明確估算題的教學，更注重估算意識的滲透；評價時不僅重視估算方法的掌握，也重視估算意識的形成。筆者認為以下的兩點做法在促進學生估算意識的形成有明顯的作用。

1.發(fā)掘教材習題中的估算價值，拓展思維。例如蘇教版第八冊教材有這樣的習題：

這一題是《用商不變的規(guī)律進行簡便計算》想想做做的改錯題，學生觀察豎式之后大多能發(fā)現(xiàn)這樣的計算是錯誤的，教師此時可以追問一句：“不看豎式，有誰看出這題算錯了嗎？”來啟發(fā)學生用估算的方法判斷，感受估算對檢驗結果的作用。教師在教學中不可囿于教材的安排，如果能在平時的教學中發(fā)掘習題的估算價值，注重估算意識的滲透，引導學生從多個角度思考，長此以往可以使學生面對類似的問題時更主動地進行估算，使思維更趨開放和靈活。

2.重視間接經(jīng)驗，積極評價。不可否認我們的學生中總有一些思維活躍，能力較強的孩子，這些孩子往往也具有靈活使用估算方法解決問題的能力。對于這樣的孩子我們應當表示出贊賞和鼓勵，并把他們的解題經(jīng)歷展示給其余學生，通過積極的評價引導，強化學生對估算的認同。

教學三位數(shù)乘一位數(shù)有這樣一題：小麗家到少年宮路程有1千米，她騎自行車從家去少年宮，每分鐘行170米，7分鐘能到少年宮嗎？在學生們正埋頭計算時，我發(fā)現(xiàn)一個孩子沒有動筆，就把手舉了起來，詢問之后知道他用了估算的方法較快知道了答案。在反饋的時候我有意先讓那個孩子來說說自己的想法：“170乘7，如果100乘7就是700，離1000還差300米，70乘7等于490，已經(jīng)超過了300，所以我知道他能到少年宮的?！边@是多么有價值的思考方法啊，我對他進行了濃墨重彩的點評，這樣的例子在課堂中應該不少，教師有意把估算方法擺在重要的位置上，讓其余學生間接經(jīng)歷估算過程，在此過程中體會估算的價值，久而久之，估算必能在學生的思維中扎根。

學會估算是技能形成的認知階段，會靈活進行估算是技能的自動化階段，從學會方法到靈活使用方法，需要教師引領學生經(jīng)歷估算過程，體驗估算價值，積累估算經(jīng)驗。所以學生的估算意識和估算能力的培養(yǎng)不是一朝一夕能完成的，要成為一線教師的長期教學目標。由于學生認知發(fā)展水平的限制，要使學生形成估算的技能，需要教師有估算教學的意識，并有方法地啟發(fā)與引導才能使學生熟練掌握估算技能，自覺運用估算解決問題。

學生計算技能的習得不是通過單一的機械重復訓練就能在內(nèi)部自動形成的，心理學的理論告訴我們技能的習得必須經(jīng)歷認知階段、練習階段、自動化階段。在這個過程中教師的引導作用不容忽視。教師必須理解學生學習的心理過程和數(shù)學知識是內(nèi)在邏輯規(guī)律，給學生提供多樣化的活動方式，讓學生經(jīng)歷計算知識發(fā)生發(fā)展過程，主動操作，積極實踐，自我總結，從而培養(yǎng)計算能力，并從中學會數(shù)學地思考，感受數(shù)學的價值。

參考文獻：

[1]曹才翰.數(shù)學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2006.

（單敏、陳濤，宜興市陶城實驗小學，214200）

責任編輯：趙赟